Курсовая работа: Алгебраические группы матриц
Единичному преобразованию , переводящему каждый столбец в себя, соответствует, очевидно, единичная матрица
Можно записать , где
- символ Кронекера. Правило (7) умножения матриц, в котором следует заменить на , показывает, что справедливы соотношения
Матричные соотношения (10), полученные вычислительным путем, вытекают, конечно, из соотношений для произвольного отображения , если воспользоваться теоремой 1 и равенством (8) с .
Как мы знаем (см. (5)), матрицы из можно умножать на числа, понимая под , где , матрицу .
Но умножение на скаляр (число) сводится к умножению матриц:
- известная нам скалярная матрица.
В равенстве (11) отражен легко проверяемый факт перестановочности с любой матрицей . Весьма важным для приложений является следующее его обращение.
3.3.1 Теорема. Матрица из , перестановочная со всеми матрицами в , должна быть скалярной.
Доказательство. Введем матрицу , в которой на пересечении -й строки и -го столбца стоит 1, а все остальные элементы --- нулевые. Если --- матрица, о которой идет речь в теореме, то она перестановочна,
Перемножая матрицы в левой и правой частях этого равенства, мы получим матрицы
с единственным ненулевым -м столбцом и соответственно с единственной ненулевой -й строкой. Их сравнение немедленно приводит к соотношениям при и . Меняя и , получаем требуемое.
Отметим еще соотношения , которые непосредственно вытекают из определения умножения матриц на скаляры или, если угодно, из соотношений (11) и из ассоциативности умножения матриц.
Для данной матрицы можно попробовать найти такую матрицу , чтобы выполнялось условие
Если матрица существует, то условию (12) в терминах линейных преобразований отвечает условие
означающее, что --- преобразование, обратное к . существует тогда и только тогда, когда --- биективное преобразование. При этом определено однозначно. Так как , то биективность означает, в частности, что
Пусть теперь --- какое-то биективное линейное преобразование из в . Обратное к нему преобразование существует, но, вообще говоря, не ясно, является ли оно линейным. Чтобы убедиться в линейности , мы введем векторы-столбцы
и применим к обеим частям этих равенств преобразование . В силу его линейности получим
Так как , то
откуда, в соответствии с импликацией (13), находим, что , --- нулевые векторы. Таким образом, выполнены свойства (i), (ii) из 3.1, определяющие линейные отображения. Имеем , где --- некоторая матрица. Переписав условие () в виде (см. (8)) и снова воспользовавшись теоремой 1, мы придем к равенствам (12).
Итак, матрица, обратная к , существует в точности тогда, когда преобразование биективно. При этом преобразование линейно. Биективность равносильна условию, что любой вектор-столбец записывается единственным образом в виде (1)
где --- столбцы матрицы (сюръективность приводит к существованию , для которого , а инъективность дает единственность : если , то , откуда, согласно (12), ). Значит, совпадает с пространством столбцов матрицы , так что .
Если матрица, обратная к , существует, то, согласно вышесказанному, она единственна. Ее принято обозначать символом . В таком случае (см. ())
Квадратную матрицу , для которой существует обратная матрица , называют невырожденной (или неособенной). Невырожденным называют и соответствующее линейное преобразование . В противном случае матрицу и линейное преобразование называют вырожденными (или особенными).
Резюмируем полученные нами результаты.
3.3.2 Теорема. Квадратная матрица порядка является невырожденной тогда и только тогда, когда ее ранг равен . Преобразование , обратное к , линейно и задается равенством (14).
Следствие. Невырожденность влечет невырожденность и . Если --- невырожденные --- матрицы, то произведение также невырождено и .
Для доказательства достаточно сослаться на симметричность условия .
Нами получено довольно много правил действий с квадратными матрицами порядка . Имеются в виду, ассоциативность (следствие теоремы 2), (10) и теорема 4. Обратим еще внимание на так называемые законы дистрибутивности:
где , , --- произвольные матрицы из .
Действительно, полагая , мы получим для любых равенство (используется дистрибутивность в ):
левая часть которого дает элемент матрицы , а правая --- элементы и матриц и соответственно . Второй закон дистрибутивности (16) проверяется совершенно аналогично. Необходимость в нем обусловлена некоммутативностью умножения в . Законы дистрибутивности
для линейных отображений , , из в можно не доказывать, ссылаясь на соответствие между отображениями и матрицами, но можно, в свою очередь, выводить (16) из (), поскольку в случае отображений, рассуждение столь же просто.
Заключение
Таким образом, в данной курсовой работе мы доказали, что связанная компонента единицы алгебраической группы содержится в любой замкнутой подгруппе конечного индекса. В работе была доказана теорема: Для любой прямоугольной -матрицы справедливо равенство (это число называется просто рангом матрицы и обозначается символом ).А также было получено эффективное средство для вычисления ранга матрицы , устраняющее необходимость приведения к ступенчатому виду, доказана теорема: Квадратная матрица порядка является невырожденной тогда и только тогда, когда ее ранг равен . Преобразование , обратное к , линейно и задается равенством (14) и следствие этой теоремы: невырожденность влечет невырожденность и . Если --- невырожденные --- матрицы, то произведение также невырождено и .
Список использованных источников
1. Шеметков Л.А., Скиба А.Н., Формации алгебраических систем. - М.: Наука, 1989. - 256с.
2. Русаков С.А., Алгебраические -арные системы. Минск, 1987. - 120с.
3. Кон П., Универсальная алгебра. М.:Мир, 1968.--351с.
4. Ходалевич А.Д., Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр// Вопросы алгебры.-1996.-Вып.10 с.144-152
5. Mонaxов В.С. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным.- В кн.: Конечные группы. Мн.: Наука и техника, 1975, с. 70 - 100.