Быстрый поиск

Курсовая работа: Алгебраические группы матриц

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ МАТРИЦ

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-42

Мариненко В.В.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Скиба С.В.

Гомель 2003

Содержание

Введение

1. Алгебраические группы матриц

1.1 Примеры алгебраических групп матриц

1.2 О полугруппах

1.3 Компоненты алгебраической группы

1.4 О -группах

2 Ранг матрицы

2.1 Возвращение к уравнениям

2.2 Ранг матрицы

2.3 Критерий совместности

3 Линейные отображения. Действия с матрицами

3.1 Матрицы и отображения

3.2 Произведение матриц

3.3 Квадратные матрицы

Заключение

Список использованных источников

Введение

Множество матриц -ой степени над будем рассматривать как аффинное пространство с имеющейся на ней полиномиальной топологией. Алгебраические группы матриц определяются как невырожденные части алгебраических множеств из , являющиеся группами относительно обычного матричного умножения. Простейший пример такой группы - общая линейная группа . В настоящем параграфе мы начнем систематическое изучение алгебраических матричных групп.

Все топологические понятия относятся к полиномиальной топологии; черта обозначает замыкание в , диез - замыкание в , бемоль - взятие невырожденной части, т. е. - совокупность всех невырожденных матриц из . Иногда, допуская вольность, мы употребляем для групп те же понятия, что и для подлежащих алгебраических множеств, - например, говорим об общих точках групп; это не должно вызывать недоразумений.

1. Алгебраические группы матриц

1.1 Примеры алгебраических групп матриц

Классические матричные группы - общая, специальная, симплектическая и ортогональная:

где

- единичная матрица и штрих обозначает транспонирование.

Диагональная группа , группы клеточно-диагональных матриц данного вида. Треугольная группа (для определенности --- с нижним нулевым углом), унитреугольная группа (треугольные матрицы с единичной диагональю), группы клеточно-треугольных матриц данного вида.

Централизатор произвольного множества из в алгебраической группе , нормализатор замкнутого множества из в .

Пересечение всех алгебраических групп, содержащих данное множество матриц из --- алгебраическая группа. Она обозначается и называется алгебраической группой, порожденной множеством .

Каждую алгебраическую линейную группу из можно изоморфно --- в смысле умножения и полиномиальной топологии --- отождествить с замкнутой подгруппой из в силу формулы

Такое отождествление позволяет при желании ограничиться рассмотрением только таких групп матриц, которые сами являются алгебраическими множествами (а не их невырожденными частями). Это дает другое оправдание тем вольностям в терминологии, которые упоминались в начале параграфа.

Множество всех матриц из , оставляющих инвариантной заданную невырожденную билинейную форму на .

Пусть --- алгебра над конечной размерности (безразлично, ассоциативная или нет), --- группа всех ее автоморфизмов. Фиксируя в какую-нибудь базу и сопоставляя автоморфизмам алгебры их матрицы в этой базе, мы получим на строение алгебраической группы. Действительно, пусть

т. е. --- структурные константы алгебры . Пусть далее

где . Тогда задается в матричных координатах очевидными полиномиальными уравнениями, вытекающими из соотношений

Указать в приведенных выше примерах определяющие уравнения, найти общую точку, если она есть.

В дальнейшем нам встретится еще много примеров и конструкций алгебраических матричных групп.

1.1.1 Если матричная группа содержит алгебраическую подгруппу конечного индекса, то сама алгебраическая.

Доказательство. Пусть - аннулятор группы в , - его корень в . Надо показать, что . Пусть, напротив, . Пусть - смежные классы по . Для каждого выберем многочлен

и положим

Очевидно, , . Получили противоречие.

Пусть --- алгебраическая группа, , --- подмножество и замкнутое подмножество из . Тогда множества

где , замкнуты. Если тоже замкнуто и --- общее поле квазиопределения для , , , то , , квазиопределены над . В частности, если существует хотя бы одно с условием (соответственно, , ), то можно считать, что (см. 7.1.5).

Если на множестве выполняется теоретико-групповое тождество , то оно выполняется и на его замыкании . В частности, коммутативность, разрешимость, нильпотентность матричной группы сохраняются на ее замыкании в полиномиальной топологии.

1.2 О полугруппах

Определим действие элементов из на рациональные функции из , , полагая

Для каждого отображение (сдвиг аргумента) есть автоморфизм поля . Отображение есть изоморфизм полной линейной группы в группу автоморфизмов расширения .

Имеет место следующее предложение.

1.2.1 Все замкнутые (в полиномиальной топологии) полугруппы из являются группами. Более общно: замыкание произвольной полугруппы --- группа. Более точно: если --- аннулятор в , то совпадает с

Здесь вместо можно написать .

Доказательство. Во-первых, и, значит, . Действительно, если , и , то , т. е. . Подпространство многочленов из степени отображается оператором на себя, так как оно конечномерно, а опрератор обратим. Но тогда и всё отображается на себя, как объединение всех .