Быстрый поиск

Курсовая работа: Алгебраические группы матриц

3. Линейные отображения. Действия с матрицами

3.1 Матрицы и отображения

Пусть и --- арифметические линейные пространства столбцов высоты и соответственно. Пусть, далее, --- матрица размера . Определим отображение , полагая для любого

где --- столбцы матрицы . Так как они имеют высоту , то в правой части (1) стоит вектор-столбец . Более подробно (1) переписывается в виде

Если ,

то .

Аналогично .

Обратно, предположим, что --- отображение множеств, обладающее следующими двумя свойствами:

(i) для всех ;

(ii) для всех .

Тогда, обозначив стандартные базисные столбцы пространств и соответственно символами и , мы воспользуемся свойствами (i), (ii) в применении к произвольному вектору

Соотношение (2) показывает, что отображение полностью определяется своими значениями на базисных векторах-столбцах. Положив

мы обнаруживаем, что задание равносильно заданию прямоугольной матрицы размера со столбцами , а соотношения (1) и (2) фактически совпадают. Стало быть, можно положить .

3.1.1 . Определение. Отображение , обладающее свойствами (i), (ii), называется линейным отображением из в . Часто, в особенности при , говорят о линейном преобразовании. Матрица называется матрицей линейного отображения .

Пусть , --- два линейных отображения с матрицами и . Тогда равенство равносильно совпадению значений для всех . В частности, , откуда и .

Резюмируем наши результаты:

3.1.2 Теорема. Между линейными отображениями в и матрицами размера существует взаимно однозначное соответствие.

Следует подчеркнуть, что бессмысленно говорить о линейных отображениях произвольных множеств и . Условия (i), (ii) предполагают, что и --- подпространства арифметических линейных пространств , .

Обратим внимание на специальный случай , когда линейное отображение , обычно называемое линейной функцией от переменных, задается скалярами :

Линейные функции (4), равно как и произвольные линейные отображения при фиксированных и можно складывать и умножать на скаляры. В самом деле, пусть --- два линейных отображения. Отображение

определяется своими значениями:

В правой части стоит обычная линейная комбинация векторов-столбцов.

Так как

то - линейное отображение. По теореме 1 можно говорить о его матрице . Чтобы найти , выпишем, следуя (3), столбец с номером :

Матрицу с элементами естественно назвать линейной комбинацией матриц и с коэффициентами и :

Итак, .

Особенно часто нами будет использоваться тот факт, что линейные комбинации линейных функций снова являются линейными функциями.

3.2 Произведение матриц

Соотношения (5) и (6) выражают согласованность действий сложения и умножения на скаляры в множествах матриц размера и отображений . В случае произвольных множеств имеется еще важное понятие произведения (композиции) отображений. Разумно ожидать, что композиция двух линейных отображений должна выражаться неким согласованным образом в терминах матриц. Посмотрим как это делается.

Пусть , --- линейные отображения, --- их композиция.

Вообще говоря, нам следовало бы предварительно проверить, что --- линейное отображение, но это довольно ясно:

(i) ;

(ii) ;

поэтому по теореме 1 с ассоциируется вполне определенная матрица .

Действие отображений на столбцы в цепочке запишем в явном виде по формуле ():

С другой стороны,

Сравнивая полученные выражения и памятуя о том, что --- произвольные вещественные числа, мы приходим к соотношениям

Будем говорить, что матрица получается в результате умножения матрицы на матрицу . Принято писать . Таким образом, произведением прямоугольной матрицы размера и прямоугольной матрицы размера называется прямоугольная матрица размера с элементами , задающимися соотношением (7). Нами доказана

3.2.1 Теорема. Произведение двух линейных отображений с матрицами и является линейным отображением с матрицей . Другими словами,

Соотношение (8) - естественное дополнение к соотношению (6).

Мы можем забыть о линейных отображениях и находить произведение двух произвольных матриц , , имея в виду, однако, что символ имеет смысл только в том случае, когда число столбцов в матрице совпадает с числом строк в матрице . Именно при этом условии работает правило (7) "умножения -й строки на -й столбец ", согласно которому

Число строк, матрицы равно числу строк матрицы , а число столбцов --- числу столбцов матрицы . В частности, произведение квадратных матриц одинаковых порядков всегда определено, но даже в этом случае, вообще говоря, , как показывает хотя бы следующий пример:

Умножение матриц, конечно, можно было бы вводить многими другими способами (умножать, например, строки на строки), но ни один из этих способов не сравним по важности с рассмотренным выше. Это и понятно, поскольку мы пришли к нему при изучении естественной композиции (суперпозиции) отображений, а само понятие отображения относится к числу наиболее фундаментальных в математике.

Следствие. Умножение матриц ассоциативно:

Действительно, произведение матриц соответствует произведению линейных отображений (теорема 2 и соотношение (8)), а произведение любых отображений ассоциативно. К тому же результату можно прийти вычислительным путем, используя непосредственно соотношение (7).