Курсовая работа: Абелевы универсальные алгебры
Это означает 
.
Для 
получаем, что
откуда 
.
Согласно работе [3]
Определение 3.2. Алгебра 
называется нильпотентной,
если существует такой ряд конгруэнции
называемый центральным, что
Лемма 3.1. Любая подалгебра нильпотентной алгебры нильпотентна.
Доказательство:
Пусть 
– подалгебра
нильпотентной алгебры 
. Так как 
обладает центральным рядом
то для любого 
на
алгебре 
существует конгруэнция 
удовлетворяющая
определению 2.1. А именно, из
всегда следует
и
1) для любого элемента
всегда выполняется
2) если
и
то
Заметим, что в дальнейшем, для сокращения записи, будем учитывать тот факт, что
тогда и только тогда, когда
Построим следующий ряд конгруэнции на алгебре 
:
где
Покажем, что этот ряд является центральным. Для этого на алгебре 
для любого 
определим бинарное
отношение 
следующим образом:
тогда и только тогда, когда
Покажем, что 
конгруэнция на алгебре 
. Пусть
Тогда
и для любой 
-арной
операции 
имеем
Следовательно,
Итак, 
– подалгебра
алгебры 
.
Очевидно, что для любого элемента 
имеет
место
Таким образом, согласно лемме 2.3, 
конгруэнция на алгебре 
.
Пусть
Тогда 
и так как 
, то
Если 
, то 
и, значит,
т.е.
Пусть, наконец,
Тогда
и так как
Следовательно,
Итак, конгруэнция 
удовлетворяет
определению 2.1. для любого 
. Лемма
доказана.
Лемма 3.2. Пусть 
и 
– конгруэнции на алгебре 
,
и 
– изоморфизм,
определенный на алгебре 
.
Тогда для любого элемента 
отображение
определяет изоморфизм алгебры 
на
алгебру 
, при котором
Доказательство:
Очевидно, что 
изоморфизм алгебры 
на алгебру 
, при котором конгруэнции 
и 
изоморфны соответственно
конгруэнциям 
и 
.
Так как 
, то существует
конгруэнция 
на алгебре 
, удовлетворяющая
определению 2.1. Изоморфизм 
алебры 
на алгебру 
индуцирует в свою очередь
изоморфизм 
алгебры 
на алгебру 
такой, что
для любых элементов 
, 
.
Но тогда легко проверить, что 
конгруэнция на алгебре 
изоморфная
конгруэнции 
. Это и означает, что
Лемма доказана.
Лемма 3.3. Фактор-алгебра нильпотентной алгебры нильпотентна.
Доказательство:
Пусть
центральный ряд алгебры 
.
Покажем, что для любой конгруэнции 
на
алгебре 
ряд
является центральным, т.е.
для любого 
. В силу
известных теорем об изоморфизмах для алгебр (см., например, теоремы II.3.7,
II.3.11 [5]) и леммы 3.2., достаточно показать, что
Пусть 
– конгруэнция на
алгебре 
, удовлетворяющая
определению 2.1. Определим бинарное отношение 
на
алгебре 
следующим образом
тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы 
, что
и
Непосредственной проверкой убеждаемся, что 
– конгруэнция на алгебре 
.
Таким образом осталось показать, что 
удовлетворяет
определению 2.1.
Пусть
тогда из соотношения
следует, что
Так как
то 
. Итак,
Пусть 
. Тогда для
некоторого элемента 
, 
и 
.
Таким образом,
следовательно,
Так как 
, то это
означает, что
Пусть
где
Покажем, что 
. В
силу определения 
найдутся 
, что
и
При этом имеют место следующие соотношения:
Следовательно,
Но тогда по определению 3.2.
А так как 
, то
Теперь из того, что
следует, что
Лемма доказана.
Доказательство следующего результата осуществляется простой проверкой.
Лемма 3.4. Пусть 
– конгруэнция на алгебре 
, 
. Пологая
тогда и только тогда, когда 
для
любого 
, получаем конгруэнцию 
на алгебре 
.
Лемма 3.5. Прямое произведение конечного числа нильпотентных алгебр нильпотентно.
Доказательство:
Очевидно, достаточно показать, что если 
, 
и 
– нильпотентные алгебры,
то 
– нильпотентная алгебра.
Пусть
центральные ряды алгебр 
и 
соответственно. Если 
, то, уплотнив первый ряд
повторяющимися членами, получим центральный ряд алгебры 
длины 
. Таким образом, можно
считать, что эти ряды имеют одинаковую длину, равную 
.
Построим теперь ряд конгруэнции на алгебре 
следующим образом:
где 
тогда и только
тогда, когда 
, 
, 
.
Покажем, что последний ряд является центральным, т.е. 
для произвольного 
. Так как
то на алгебрах 
и 
соответственно заданы
конгруэнци 
и 
, удовлетворяющие
определению 2.1.
Определим бинарное отношение 
на
алгебре 
следующим образом:
