Курсовая работа: Абелевы универсальные алгебры
1) если 
, то
2) если 
, то
3) если 
, 
и факторы 
, 
перспективны, то
4) если 
– конгруэнции на
и 
, то
где 
, 
.
Доказательство.
1) Так как конгруэнция 
централизует
любую конгруэнцию и 
, то
2) Из первого пункта лемы 2.2 следует, что
а в силу леммы 2.4 получаем, что
Пусть 
– изоморфизм 
. Обозначим
По лемме 2.5 
, а по
определению
Следовательно,
3) Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнции 
и 
на алгебре 
имеет место равенство
Покажем вналале, что
Обозначим 
. Тогда, согласно
определению 2.1. на алгебре 
существует
такая конгруэнция 
, что выполняются
следующие свойства:
а) если 
, то
б) для любого элемента 
,
в) если
то
Построим бинарное отношение 
на
алгебре 
следующим образом:
тогда и только тогда, когда
и
Покажем, что 
конгруэнция на 
. Пусть
для 
. Тогда
и
Так как 
– конгруэнция,
то для любой 
-арной операции 
имеем
Очевидно, что
и
Следовательно,
Очевидно, что для любой пары 
Значит,
Итак, по лемме 2.3, 
конгруэнция на 
. Покажем теперь,
что 
удовлетворяет определению
2.1, то есть 
централизует 
. Пусть
Тогда
Так как 
,
и 
, то 
. Следовательно, 
удовлетворяет определению
2.1.
Если 
, то
значит,
Пусть, наконец, имеет место (1) и
Тогда 
Так как 
и 
, то 
, следовательно, 
. Из (2) следует, что 
, а по условию 
. Значит, 
и поэтому
Тем самым показано, что конгруэнция 
удовлетворяет
определению 2.1, то есть 
централизует
.
Докажем обратное включение. Пусть
Тогда на алгебре 
определена
конгруэнция
удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение 
на алгебре 
следующим образом:
тогда и только тогда, когда
и 
, 
.
Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что 
– конгруэнция на алгебре 
. Заметим, что из
доказанного включения в одну сторону следует, что 
.
Покажем поэтому, что 
централизует 
.
Так как
то
то есть 
удовлетворяет
условию 1) определения 2.1.
Если 
, то
следовательно,
Пусть имеет место (3) и 
.
Так как
то
Из (4) следует, что 
,
следовательно,
то есть
На основании леммы 2.2 заключаем, что
Следовательно, 
.
А так как 
, то 
, то есть
4) Обозначим 
. Пусть
и удовлоетворяет определению 2.1.
Определим бинарное отношение 
на
следующим образом
тогда и только тогда, когда
Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что 
– конгруэнция,
удовлетворяющая определению 2.1.
Это и означает, что
Теорема доказана.
Как следствия, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах.
3. Формационные свойства нильпотентных алгебр
Как уже отмечалось, все алгебры считаются принадлежащими некоторому фиксированному мальцевскому многообразию и используются стандартные обозначения и определения из[1].
Напомним, что для 
и 
– конгруэнции на алгебре 
– говорят, что 
централизует 
(записывается: 
), если на 
существует такая
конгруэнция 
, что:
1) из 
всегда следует
2) для любого элемента 
всегда
выполняется
3) если 
, то
Очевидно, что для любой конгруэнции 
на
алгебре 
конгруэнция 
централизует 
. В этом случае 
.
Заметим, что если 
и 
– конгруэнции на группе 
и 
, то для нормальных
подгрупп 
и 
группы 
и любых элементов 
, 
имеют место следующие
соотношения:
Тогда
и в силу транзитивности 
из этих
соотношений следует, что
По определению 2.1 получаем, что
Следующее определение центральности принадлежит Смиту [3].
Определение 3.1. 
, если существует такая 
, что для любого 
,
Докажем, что определение 2.1. эквивалентно определению 3.1. 
означает условие 1) из
определения 2.1. И наоборот, условие 1) означает, что 
.
Пусть 
и 
– конгруэнции,
удовлетворяющие определению 2.1. Из условия 2) следует, что для любого элемента
,
Докажем обратное включение.
Пусть 
. Так как 
, то из условия 2) следует,
что
В силу транзитивности 
имеем
и, значит, в силу условия 3) 
.
Итак
Покажем, что из определения 3.1. следуют условия 2) и 3)
определения 2.1. Если 
, то
