Курсовая работа: Абелевы универсальные алгебры
Многообразие называется мальцевским, если оно состоит из алгебр, в которых все конгруэнции перестановочны.
Все алгебры считаются принадлежащими некоторому фиксированному мальцевcкому многообразию. Используются стандартные обозначения и определения из[2].
В данной работе конгруэнции произвольной алгебры будем обозначать греческими буквами.
Если 
– конгруэнция на
алгебре 
, то
смежный класс алгебры 
по
конгруэнции 
. 
или 
– диагональ алгебры 
.
Для произвольных конгруэнции 
и
на алгебре 
будем обозначать 
множество всех конгруэнции
на алгебре 
таких, что
тогда и только тогда, когда
Так как 
, то множество 
не пусто.
Следующее определение дается в работе[2].
Определение 2.1. Пусть 
и 
– конгруэнции на алгебре 
. Тогда 
централизует 
(записывается: 
), если на 
существует такая
конгруэнция 
, что:
1) из
всегда следует
2) для любого элемента
всегда выполняется
3) если
то
Под термином «алгебра» в дальнейшем будем понимать универсальную
алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное
мальцевское многообразие 
.
Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом[3], сформулируем в виде леммы.
Лемма 2.1. Пусть 
. Тогда:
1) существует единственная конгруэнция 
,
удовлетворяющая определению 2.1;
2) 
;
3) если
то
Из леммы 2.1. и леммы Цорна следует, что для произвольной
конгруэнции 
на алгебре 
всегда существует
наибольшая конгруэнция, централизующая 
.
Она называется централизатором конгруэнции 
в
и обозначается 
.
В частности, если 
, то
централизатор 
в 
будем обозначать 
.
Лемма 2.2. Пусть 
, 
– конгруэнции на алгебре 
, 
, 
, 
. Тогда справедливы
следующие утверждения:
1) 
;
2) 
, где 
;
3) если выполняется одно из следующих отношений:
4) из 
всегда следует
Доказательство:
1) Очевидно, что 
конгруэнция на 
, удовлетворяющая
определению 2.1. В силу пункта 1) леммы 2.1. и 
.
2) 
– конгруэнция на
, удовлетворяющая
определению 2.1. Значит
3) Пусть 
. Тогда
Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор 
такой, что
Тогда получим
т.е.
Аналогичным образом показываются остальные случаи из пункта 3).
4) Пусть
Тогда справедливы следующие соотношения:
Следовательно,
где 
– мальцевский
оператор.
Тогда
то есть 
.
Так как
то 
.
Таким образом 
. Лемма
доказана.
Следующий результат оказывается полезным при доказательстве последующих результатов.
Лемма. 2.3. Любая подалгебра
алгебры 
, содержащая диагональ 
, является конгруэнцией на
алгебре 
.
Доказательство:
Пусть
Тогда из
следует, что
Аналогичным образом из
получаем, что
Итак, 
симметрично и
транзитивно. Лемма доказана.
Доказательство следующего результата работы [1] содержит пробел, поэтому докажем его.
Лемма 2.4. Пусть 
. Тогда 
для любой конгруэнции 
на алгебре 
.
Доказательство:
Обозначим 
и определим на
алгебре 
бинарное отношение 
следующим образом:
тогда и только тогда, когда
где
Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что 
– конгруэнция на алгебре 
, причем
Пусть
то есть
Тогда
и, значит
Пусть, наконец, имеет место
Тогда справедливы следующие соотношения:
применяя мальцевчкий оператор 
к
этим трем соотношениям, получаем
Из леммы 2.2 следует, что
Так как
то
Значит,
Но 
, следовательно, 
.
Итак,
и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.
Лемма 2.5. Пусть 
, 
– конгруэнции на алгебре 
, 
и 
– изоморфизм, определенный
на 
.
Тогда для любого элемента 
отображение
определяет изоморфизм
алгебры 
на алгебру 
, при котором 
.
В частности, 
.
Доказательство.
Очевидно, что 
изоморфизм алгебры 
на алгебру 
, при котором конгруэнции 
, 
изоморфны соответственно
конгруэнциям 
и 
.
Так как
то определена конгруэнция
удовлетворяющая определению 2.1.
Изоморфизм 
алгебры
на алгебру 
индуцирует в свою очередь
изоморфизм 
алгебры 
на алгебру 
такой, что
для любых элементов 
и 
, принадлежащих 
. Но тогда легко проверить,
что 
– конгруэнция на алгебре 
, изоморфная конгруэнции 
.
Это и означает, что
Лемма доказана.
Определение 2.2. Если 
и 
– факторы на алгебре 
такие, что
то конгруэнцию 
обозначим
через 
и назовем централизатором
фактора 
в 
.
Напомним, что факторы 
и 
назыавются перспективными,
если либо
либо
Докажем основные свойства централизаторов конгруэнции.
Теорема 6 Пусть
, 
, 
, 
– конгруэнции на алгебре 
. Тогда:
