Дипломная работа: Повышение эффективности процессов обжима трубчатых заготовок давлением импульсного магнитного поля

2) приращение пластической деформации может быть получено из ассоциированного закона пластического течения

.       (2.12)

В данной задаче в качестве условия текучести принят критерий Мизеса

.

Здесь  - напряжения в элементе,  - предел текучести, Аp - работа пластического формоизменения.

Для описания нагрева проводников при условии адиабатности процесса применимо выражение

,

(2.13)

где r плотность материала; с – удельная теплоемкость материала; t - время процесса.

Приведенные выше уравнения достаточны для расчета электромагнитного поля, плотности тока, перемещений, напряжений и деформаций в любой точке исследуемой электромеханической системы, если задать начальные и граничные условия.

Спецификой уравнений Максвелла является то, что выделяют 2 типа граничных условий: условия сшивания полей в разных областях, являющиеся следствием интегральной формы уравнений Максвелла, и граничные условия на бесконечности. Первые выполняются автоматически после перехода от дифференциальных уравнений к интегральным уравнениям относительно потенциалов, а вторые - за счет рассмотрения токов в конечной области.

Граничные условия задачи механики сводятся к заданию на части поверхности Г1 напряжений, а на части Г2 перемещений:

.

(2.14)

Начальные условия задают распределения плотности тока , напряженности стороннего электрического поля , перемещений  и скоростей  в момент начала процесса:

.

(2.15)

где r – радиус-вектор, u0 - начальное перемещение; v0 - начальная скорость.

В уравнения Максвелла входят параметры электромагнитного поля. Оно существует не только в проводниках, но и в окружающей элементы электромеханической системы среде. Чтобы исключить необходимость рассмотрения поля вне проводников, в системе уравнений электродинамики параметры магнитного поля были выражены через плотность тока. С целью обеспечить тождественное выполнение равенства (2.1), введем векторную функцию , называемую векторным потенциалом магнитного поля, так что

.

(2.16)

Тогда уравнение (2.2) перепишется в виде

.

(2.17)

Или, полагая  и m=const,

,

(2.18)

где - оператор Лапласа.

Уравнение (2.4) преобразуется следующим образом:

.

(2.19)

Решение уравнения (2.18), исчезающее на бесконечности, имеет вид:

,

(2.20)

где а, b радиус-векторы двух произвольных точек, принадлежащих проводникам, V – объем, занимаемый проводниками.

Подставим  и в выражение закона Ома

(2.21)

Используя выражение (2.20) и преобразовывая двойное векторное произведение, дифференцируя (2.20) по времени и пренебрегая скоростями, получим

или после преобразований

     (2.22)

Получили интегральное по пространству и дифференциальное по времени уравнение относительно плотности тока. Все дальнейшие уравнения для математической модели электродинамических процессов будут основаны на (2.22).

2.2 Математическая модель электродинамических процессов в одновитковом индукторе

Как отмечалось выше, задачу электродинамики для МИОМ можно считать осесимметричной. При этом одновитковый индуктор (или виток) представляется кольцом прямоугольного сечения, а многовитковый - набором таких колец. Так как токи текут исключительно по окружности (следствие осевой симметрии), вектор плотности тока характеризуется только одной компонентой. Тогда можно перейти от векторных уравнений к скалярным, проинтегрировав (2.22) по длине витка индуктора и представив объемный интеграл в виде интеграла по площади и интеграла по контуру и перейдя к цилиндрическим координатам. С учетом того, что

,        (2.23)

еще раз проинтегрируем (2.22) по контуру и получим

       (2.24)

Выражение  есть ни что иное, как взаимная индуктивность двух элементарных круговых контуров l1 и l2. Перепишем (2.24) с учетом этого

,     (2.25)

где - плотность тока, – напряжение на конденсаторной батарее, - удельная проводимость,  - емкость конденсаторной батареи,  – общая площадь сечения индуктора и заготовки.

Дополнительно к (2.25) требуется уравнение изменения напряжения на конденсаторе со временем. Оно получается с использованием закона сохранения заряда на пластинах конденсатора и выглядит так:

     ,       (2.26)

где– площадь сечения витка индуктора.

Интегрирование в (2.26) осуществляется по площади сечения витка индуктора. Таким образом, полная система дифференциальных по времени и интегральных по пространству уравнений относительно плотности тока и напряжения на конденсаторе, описывающая электрические процессы в одновитковом индукторе и заготовке, выглядит следующим образом:

   (2.27)

Для решения системы (2.27) необходимо задать начальные условия–распределение плотности тока и напряжение на конденсаторной батарее в начальный момент времени:

   

2.3 Математическая модель электродинамических процессов в многовитковом индукторе

Для обобщения математической модели (2.27) на случай многовиткового индуктора необходимо учесть дополнительно закон сохранения заряда между витками. Интегральная форма приведена ниже

    ,        (2.28)

где – номер витка индуктора, а – площадь витка с номером , S1 – площадь витка под номером один.

Для учета закона сохранения заряда между витками был использован метод множителей Лагранжа, т.к. другие способы приводили к нарушению закона сохранения энергии. Функционал невязки для уравнения (2.27) с учетом дополнительных слагаемых имеет вид:

   (2.29)

где -множители Лагранжа, а  и -плотности тока в первом и n-м витках.

Дифференциальная по времени форма записи множителей Лагранжа была выбрана для удобства их включения в систему дифференциальных по времени уравнений, получаемую после дискретизации.

2.4 Математическая модель электромеханических процессов в системе «индуктор-заготовка»

Решение задачи механики для индуктора не является целью данной работы, поэтому индуктор будем считать неподвижным. С точки зрения электродинамики индуктор является набором электрически связанных цилиндрических колец, а заготовка – цилиндрической оболочкой. В заготовке отсутствуют другие электрические поля, кроме индуцированных. Поэтому уравнение для распределения плотности тока в заготовке можно получить из уравнения для одновиткового индуктора (2.22), приняв равным 0 напряжение на конденсаторной батарее:

.

Пондеромоторные силы вычислялись как производные от энергии по координате при неизменных токах [31]

    (2.30)

где fr, fz – плотности пондеромоторных сил по осям r и z.

Так как структура уравнений для индуктора и заготовки одна и та же, после дискретизации возможно сформировать общую систему уравнений, описывающую изменение распределения плотности тока и напряжения на конденсаторной батарее со временем.

Заготовку будем рассматривать осесимметричную, материал которой, упруго-пластическим.

Рассмотрим малые деформации заготовки. Связь между компонентами деформаций и перемещений в случае осесимметричной деформации имеют вид [50],

.

Будем использовать теорию пластического течения для моделирования поведения заготовки. Основные ее соотношения с учетом малости деформаций приведены в формулах (2.11) – (2.12).

Вариационное уравнение Лагранжа с учетом даламберовых сил инерции и пондеромоторных сил имеет вид [8, 14, 15, 50]:

,    (2.31)

где  - плотность материала; - тензоры напряжений и приращений деформаций соответственно, , - векторы ускорений, перемещений, пондеромоторных сил соответственно;  - объем заготовки.

В задаче об осесимметричной деформации, когда состояния по угловой координате  однородны после интегрирования по получим

.    (2.32)

Здесь интегрирование ведется по площади  сечения заготовки.

2.5 Построение численной модели для задачи электродинамики

2.5.1 Одновитковый индуктор и установка

Для численного интегрирования полученной системы интегро-дифференциальных уравнений (2.27) применялся метод конечных элементов. Были использованы треугольные конечные элементы нулевого порядка, т.е. распределение плотности тока по элементу считалось равномерным. Разбиение индуктора и заготовки на конечные элементы показано на рис. 2.2.

Интегрирование по площади поперечного сечения системы «индуктор‑заготовка» было заменено суммированием интегралов по элементам, вычисляемых по формуле:

,

где - координаты центров масс двух конечных элементов.

Рис. 2.2.Схема разбиения одновиткового индуктора и заготовки на конечные элементы и обозначение сечений

 

Для получения уравнений, наиболее близких по форме к уравнениям теории цепей был осуществлен переход от плотностей токов к токам, протекающим по элементу

,

где In – ток, протекающий через сечение элемента n; jn– плотность тока на элементе n; Sn– площадь конечного элемента;

Была получена система линейных дифференциальных по времени уравнений с постоянными коэффициентами. В данном случае конечных элементов нулевого порядка она совпадает с системой, получаемой в рамках метода магнитно-связанных контуров

      (2.33)

где .

с начальными условиями

В системе уравнений (2.33) приняты следующие обозначения:

,

— ток в k-м контуре индуктора, - сопротивление j-го контура,   — число контуров (элементов) с неизвестными токами, . При  в формуле (2.33) в знаменателе оказывается бесконечность. Однако можно показать, что эта особенность устранима при интегрировании по площади элемента. Диагональные коэффициенты матрицы индуктивностей вычислялись по формуле:

     (2.34)

Интегралы по углу и по площади вычислялись по методу Гаусса с 10-ю абсциссами, что обеспечило погрешность порядка 0,5%. Правильность вычисления интегралов подтверждается преобладанием диагональных компонент в матрице индуктивностей и ее положительной определенностью, что гарантирует положительность энергии магнитного поля.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13