Дипломная работа: Некоторые задачи оптимизации в экономике

min

Ответ: Чтобы получить оптимальный доход, нужно выпускать 83 ед. изделия В, 14 ед. изделия С, а изделие А не выпускать. Оптимальный доход составит 1330 у.е. По решению задачи видим, что у предприятия остаются свободными 85 кг. второго вида ресурсов, 1 и 3 вид полностью расходуются            [5]

3) Двойственная задача.

Каждой задаче линейного программирования соответствует другая задача, называемая двойственной или сопряжённой по отношению к исходной. Теория двойственности полезна для проведения качественных исследований ЗЛП. В главе I пункте 2) рассмотрена задача об использовании ресурсов. Предположим, что некоторая организация решила закупить ресурсы и необходимо установить оптимальные цены на эти ресурсы y1,y2,y3. Очевидно, что

покупающая организация заинтересована в том, чтобы затраты на все ресурсы Z в количествах 180, 210, 236 по ценам соответственно y1,y2,y3 были минимальными, т.е. Z= 180y1+210y2+236y3→min. С другой стороны, предприятие, продающее ресурсы, заинтересовано в том, чтобы полученная выручка была не мене той суммы, которую предприятие может получить при переработке ресурсов в готовую продукцию. На изготовление единицы продукции А расходуется 4кг. ресурса 1, 3кг. ресурса 2, 1кг. ресурса 3 по цене соответственно y1,y2,y3. Поэтому, для удовлетворения требований продавца затраты на ресурсы, потребляемые при изготовлении единицы продукции, должны быть не менее её цены 10у.е., т.е. 4 y1+3 y2+ y3≥10.

Аналогично можно составить ограничения в виде неравенств по каждому виду продукции. Экономико-математическая модель исходной задачи и полученной двойственной задачи приведены в таблице.             

 Обе задачи, представленные в таблице обладают следующими свойствами:

1.     В одной задаче ищут максимум линейной функции,  в другой минимум.

2.       Коэффициенты при переменных в линейной функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений в другой.

3.     Каждая из задач задана в стандартной форме, причём в задаче максимизации – все неравенства вида «≤», а в задаче минимизации – все неравенства вида «≥».

4.     Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений обеих задач являются транспонированными друг к другу.

Для задачи I А=, для задачи II А=

5.     Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом переменных в другой задаче.

6.     Условия неотрицательности переменных имеются в обеих задачах.

Две задачи I и II  линейного программирования, обладающие указанными свойствами, называются симметричными взаимодвойственными задачами.

Исходя из определения, можно предложить следующий алгоритм составления двойственной задачи.

1.                      Приводят все неравенства системы ограничений исходной задачи к одному смыслу: если в исходной задач ищут максимум линейной функции, то все неравенства системы ограничений приводят к виду «≤», а если минимум – к виду «≥».

2.                      Составляют расширенную матрицу системы А1, в которую включают матрицу коэффициентов при переменных, столбец свободных членов системы ограничений и строку коэффициентов при переменных в линейной функции.

3.                      Находят матрицу А, транспонированную к матрице А1.

4.                      Формулируют двойственную задачу на основании полученной матрицы Аи условия неотрицательности переменных.

Связь между оптимальными решениями двойственных задач устанавливается с помощью теорем двойственности. Вначале рассмотрим вспомогательное утверждение.

Основное неравенство теории двойственности. Пусть имеется пара двойственных задач I и II. Покажем, что для любых допустимых решений Х= (x1,x2, …,хn) и У=(y1,y2,…,ym)исходной и двойственной задачи справедливо неравенство F(X) ≤ Z(Y) или ≤                                                       (3.6)

□ Возьмём неравенства системы ограничений исходной задачи ≤bi и умножим соответственно на переменные y1,y2,…,ym и, сложив правые и левые части полученных неравенств, имеем

≤.                                  (3.7)

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8