Дипломная работа: Инверсия и ее применение

Анализ. щ1 (О1, R1), щ2 (О2, R2) – данные окружности. Пусть точка А – искомая, тогда АК = АМ = АN. АК – касательная к щ1, АМ – касательная к щ2, то есть точка А а12 – радикальная ось окружности щ1 и щ2 и А а20 – радикальная ось щ2 и точки N, отсюда следует, что А = а12  а20.

Построение.

1.                 щ1 (О1, R1), щ2 (О2, R2) данные окружности, N – данная точка;

2.                 а12 – радикальная ось щ1 и щ2;

3.                 а20 – радикальная ось щ2 и N;

4.                 А = а12  а20, А искомая точка (рис. 5).

Рис. 5

Доказательство. Точка А – радикальный центр щ1, щ2 и N.

Исследование.

1.                 Если щ1 и щ2 - концентрические, то задача не имеет решения.

2.                 Если N внутри щ1 (О1, R1) или щ2 (О2, R2), то решений нет.

3.                 Если радкальные оси параллельны, то решений нет.

4.                 Если радикальные оси совпадают, то задача имеет бесконечное множество решений.

Задача 6. Построить фигуру, инверсную сектору базисной окружности.

Анализ. Пусть щ (О, R) – данная базисная окружность, АmВО – данный сектор.

При инверсии точка А переходит в точку Аґ, часть луча ОА переходит во внешнюю его часть АґК∞. дуга АmВ при инверсии преобразуется в себя.

Точка В преобразуется в точку Вґ. ОВ преоюразуется в ВґL∞. Таким образом сектор базисной окружности АmВО преобразуется в фигуру, определяемую внешней частью луча, АґК∞, ВґL∞ и дугой АґmВґ.

Построение.

1.                 щ (О, R) – базисная окружность;

2.                 А ≡ Аґ, В ≡ Вґ;

3.                 ОА → АґК∞;

4.                 ОВ → ВL∞;

5.                 АmВ → АґmВґ;

6.                 К∞АґmВґL∞ - искомая фигура (рис. 6).

Доказательство. Доказательство следует из анализа и построения.

Исследование. Задача имеет всегда решение и притом единственное.

Рис. 6

Задача 7. Даны две окружности, касающиеся друг друга в точке А. приняв точку А за полюс инверсии построить фигуру, инверсную двум окружностям.

Анализ. Пусть щ1 (О1, R1), щ2 (О2, R2) данные окружности, щ (А, R) - базисная окружность. В = щ щ2, С = щ щ2, D = щ щ1, К = щ щ1. при инверсии точки В, С, D и К преобразуются в себя, так как они принадлежат щ (А, R). Так как окружности щ1 и щ2 проходят через центр базисной окружности, то они преобразуются в прямые : l1 B, l1  C, l2 D, l2  К.

Построение.

1.   щ1 (О1, R1), щ2 (О2, R2) – данные окружности, щ1  щ2 = А, щ (А, R) - базисная окружность;

2.   В = В = щ щ2, В → Вґ;

С = С = щ щ2, С → Сґ;

3. D = щ щ1, D → Dґ;

К = К = щ щ1, К → Кґ;

4. l1  Вґ, l1 Сґ, l2  Dґ, l2  Кґ, l1 и l2 – искомые прямые (рис 7).

Рис. 7

Доказательство.Доказательство следует из анализа и построения.

Исследование. Задача имеет единственное решение.

Задача 8. через данную точку А провести окружность, ортоганальную двум данным окружностям.

Анализ. щ1 (О1, R1), щ2 (О2, R2) – данные окружности, точка А - данная точка.

Примем щ1 и щ2 за базисные, тогда точка А при инверсии преобразуется в точку Аґ, Аґ О1А, и А преобразуется Аґґ, АґґО2А.

А, Аґ, Аґґ щ (О, ОА), щ – искомая окружность.

Построение.

1.     щ1 (О1, R1), щ2 (О2, R2) – данные окружности, А – данная точка;

2.     А → Аґ, АґО1А;

3.     А → Аґґ, АґґО2А;

4.     А, Аґ, Аґґ щ (О, ОА);

щ (О, ОА) искомая окружность (рис. 8).

Рис. 8

Доказательство. Окружность, проходящая через три взаимноинверсные точки, ортоганальна двум данным окружностям. А, Аґ, Аґґ - взаимноинверсные точки.

Исследование. Задача имеет единственное решение.

Задача 9. Зная радиус инверсии, расстояние двух точек А иВ от центра инверсии и расстояние АВ, вычислить расстояние между точками Аґ и Вґ, соответственно инверсными точкам А и В.

Анализ. щ (О,R) – базисная окружность, А и В – данные точки. ОА = а, ОВ = b, АС = с. При инверсии точка А преобразуется в точку Аґ, В преобразуется в Вґ.

Из подобия треуголиников ОАВ и ОАґВґ следует, что , АґВґ = ; ОАґОА = R2; ОАґ = , АґВґ =  (рис. 9).

Рис. 9

Доказательство. Доказательство следует из свойств взаимноинверсных точек А и Аґ, В и Вґ и подобия ОАВ и ОАґВґ.

Исследование. Задача имеет единственное решение.

Задача 10. Даны окружность щ1 (О1, R1) и прямая l. Построить окружность инверсии щ (О, R), относительно которой щ1 (О1, R1) и прямая l были бы взаимноинверсны.

Анализ. щ1 (О1, R1) – данная окружность, l данная прямая. m – произвольная прямая, m l. А m, А l.

При инверсии точка А преобразуется в точку Аґ, Аґщ1, Аґ = щ1  m. l ║lґ, l  m, lґА. О = m  щ1, В = щ2 (О2, )  lґ.

ОВ – радиус искомой окружности инверсии.

Построение.

1.     щ1 (О1, R1) – данная окружность, l данная прямая;

2.     m l, m произвольная прямая, m  l = А, m щ1 = О;

3.     l ║lґ, lґ  m, Аґ lґ;

4.     щ2 (О2, );

5.     В = щ2 lґ;

6.     щ (О, ОВ) – искомая окружность (рис. 10).

Рис. 10

Доказательство. Так как по условию щ1 (О1, R1) и прямая l взаимноинверсны, то щ1 (О1, R1) проходит через центр окружности инверсии, значит взяв произвольную точку А l, мы должны построить касательную к искомой окружности в точке В. АґВ О1Аґ, О1А, Аґ принадлежит одной прямой m.

Исследование. Задача имеет единственное решение.

Задача 11. Дана окружность щ (О, R) и АВС, где А, В, С щ. Построить фигуру, инверсную вписанному треугольнику АВС.

Анализ. АВС – данный треугольник, А, В, С щ (О, R). При инверсии точки, принадлежащие базисной окружности преобразуется в себя, то есть А ≡ Аґ, В ≡ Вґ, С ≡ Сґ. Прямая, не проходящая через центр инверсии преобразуется в окружность, проходящую через центр инверсии, то есть АВ преобразуется в дугу АmВ окружности г1, ВС преобразуется в дугу ВnС окружности г2, АС преобразуется в дугу АkС окружности г3. таким образом АВС преобразуется при инверсии в три дуги.

Построение.

1.     щ (О, R) – базисная окружность,  АВС, А,В,С щ;

2.     А ≡ Аґ, В ≡ Вґ, С ≡ Сґ;

3.     АВ → АmВ, АmВ г1 (О, R1),

ВС → ВnС, ВnС  г2 (О, R2),

АС → АkС, АkС  г3 (О, R3);

4.     АґmВґnCґkAґ - искомая фигура (рис 11).

Доказательство.

Доказательство следует из анализа.

Исследование.

Задача всегда имеет решение и притом единственное.

Рис 11

Задача 12. Даны точка О и две не проходящие через нее прямые а и b. Провести через точку О такой луч, чтобы произведение его отрезков от точки О до точек пересечения с данными прямыми было равно квадрату данного отрезка.

Анализ. Пусть точка О данная точка, а и b – данные прямые, ОВ - искомый луч, такой что ОАОВ = r2, где r – данный отрезок.

Инверсия относительно окружности щ (О, r) переведет точку А в точку В, а прямую а – в некоторую окружность г, проходящую через точку В. Таким образом, В ≡ г b.

Построение.

1.        щ (О,r) – базисная окружность;

2.        а → г;

3.        В ≡ г  b;

4.        ОВ – искомый луч (рис 12).

Доказательство.

Пусть А = ОВ  а, тогда А – прообраз точки В в инверсии относительно щ (О, r), так как прямая а – прообраз окружности г, то по определению инверсии ОАОВ = r2.

Исследование.

1.        Если г  b, то задача имеет два решения;

2.        Если окружность г касается b, то задача имеет одно решение;

3.        Если г не пересекается с b, то решений нет.

Заключение

Геометрические построения могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника. Задачи на построение, решаемые с помощью инверсии обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Такие задачи удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащиеся приобретают много полезных чертежных навыков.

В данной работе было рассмотрено понятие инверсии как метода, с помощью которого решаются некоторые задачи на построение, рассмотрены основные свойства и теоремы, на которые опирается данный метод. Также в дипломной работе рассмотрена задача Аполлония, решение которой и является основой метода инверсии, приведены примеры решения задач на построение с помощью инверсии. В приложении дипломной работы представлены решения некоторых более сложных задач.

Данная тема, на мой взгляд, подходит к проведению факультативных занятий по геометрии в 8 классе, т. к. в 7 классе были изучены основные моменты планиметрии, которые необходимо знать для решения задач на построение, но при этом следует для начала провести курс по изучению темы инверсии. Это имеет место, так как в это время лучше всего нужно развивать мыслительную деятельность учеников, учить ребят доказывать, размышлять, развивать основные навыки, необходимые для дальнейшего лучшего усвоения геометрии. Но это важно еще и потому, что на решение таких задач в курсе планиметрии практически нет времени.

Геометрические построения в настоящее время не связаны непосредственно с наиболее актуальными проблемами математики. Но в процессе изучения усваиваются понятия и приобретаются некоторые навыки, имеющие значения и за пределами этого вопроса. Одним из широко распространенных в современной математике понятий является понятие алгоритма. Изучение геометрических построений является хорошим средством подготовки к усвоению этого понятия. Действительно, цель решения каждой геометрической задачи как раз и состоит в получении некоторого алгоритма. Разрешимость геометрической задачи на построение понимается именно как алгоритмическая разрешимость. Весьма поучительно рассмотрение задач, связанных с доказательством невозможности выполнения какого-либо построения данными средствами, так как вопросы разрешимости той или иной задачи при тех или иных допущениях встречающихся в самых различных разделах математики. Геометрические построения играют также особую роль, как средство доказательства существования геометрической фигуры обладающей указанными свойствами. Геометрические построения составляют также теоретическую основу практической графики.

Список используемой литературы

1.      А. Адлер, Теория геометрических построений, М., Учпедгиз, 1940;

2.      Б. И. Аргунов, М. Б. Балк, Геометрические построения на плоскости, изд. 2, Учпедгиз, 1957;

3.      Н. Ф. Четверухин, Методы геометрических построений, М., Учпедгиз, 1952;

4.      Б. И. Аргунов, М. Б. Балк, Элементарная геометрия, М., Просвещение, 1966;

5.      А. В. Погорелов, Геометрия, изд.2, М., Наука, 1984;

6.      И. Я. Бакельман, Инверсия;

7.      С. Л. Певзнер, Инверсия и ее приложения, Хабаровск, 1988;

8.      И. М. Яглом, Геометрические преобразования, Т.П.М., Гостехиздат, 1956;

9.      Д. И. Перепелкин, Курс элементарной геометрии, И.Г.М., Гостехиздат, 1948;

10. Б.В. Кутузов, Геометрия. Пособие для учительских и педагогических институтов, М., Учпедгиз, 1950;

11. П. С. Моденов, А. С. Пархоменко, Геометрические преобразования, М., изд. ПГУ, 1961;

12. И. И. Александров, Сборник геометрических задач на построение, М., Учпедгиз, 1957;

13. В.В. Прасолов, И. Ф. Шарыгин, задачи по стереометрии, М., Наука, 1989;

14. Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом, Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Геометрия (планиметрия) ч. 2, М., Учпедгиз, 1958;

15. Л. С. Атанасян, Т. Б. Гуревич и др., Сборник задач по элементарной геометрии, М., Учпедгиз, 1958.