Дипломная работа: Инверсия и ее применение
Следствие. Если две линии касаются в некоторой точке, отличной от центра инверсии, то при инверсии они преобразуются в две линии, которые касаются в соответственной точке.
1.8 Инверсия и осевая симметрия.
Можно установить далеко идущую аналогию в свойствах инверсии и осевой симметрии. Для этого напомним некоторые свойства инверсии.
1. Инверсия сохраняет угол пресечения двух линий, меняя при этом его ориентацию.
2. Прямая, ортогональная базисной окружности, преобразуется в себя.
3. Базисная окружность преобразуется в себя.
4. Всякая окружность, ортогональная базисной, преобразуется в себя.
5. Всякая окружность или прямая преобразуется в окружность или прямую.
6. Две точки тогда и только тогда инверсны относительно некоторой базисной окружности, если они являются вершинами пучка окружностей, ортогональных к базисной.
Если в этих предложениях слово «инверсия» заменить словами «осевая симметрия», выражение «базисная окружность» - через «ось симметрии» и «инверсные точки» - через «симметричные точки», то получим свойства осевой симметрии.
Покажем, что в известном смысле осевую симметрию можно рассматривать как предельный случай инверсии. Пусть базисная окружность инверсии щ (О, r) проходит через точку А (рис. 28), так что ОА = r. Обозначим через а касательную к окружности щ в точке А.
Рис. 28
Пусть, деле, Р – некоторая данная точка, Рґ - инверсная ей точка относительно окружности щ. Представим себе, что центр инверсии неограниченно удаляется от точки А вдоль луча Ао, так что радиус инверсии ОА неограниченно возрастает.
В известном смысле можно говорить, что при этом окружность щ (О, r) неограниченно приближается к прямой а, «вырождается» в эту прямую. Оказывается, что при этом точка Рґ будет перемещаться по плоскости, неограниченно приближаясь к точке Р1, симметричной с точкой Р относительно прямой А. Докажем это.
Для определенности положим, что точка Р и точка О лежат по разные стороны от прямой а (рис. 28). Опустим из точки Р перпендикуляр РN на прямую а и перпендикуляр РL на прямую ОА. Пусть РN = р, РL = m. Из точки Рґ, инверсной точке Р относительно окружности щ (О, r), также опустим перпендикуляры РґF и РґК на прямые а и ОА. Нам нужно показать, что РґF→ р и РґК→ m, если r → ∞. Действительно,
РґF = КА = r - ОРґ 
Cosб = r – 
Cosб = r – 
=
= r - 
= 
. Но
tgб = 
, и
поэтому
Sin2б = 
= 
= 
= 
.
Следовательно,
PґF = 
= 
.
Отсюда видно,
что РґF → р, когда r → ∞. С другой стороны,
РґК = = ОРґ 
Sinб = 
= 
= 
.
Отсюда ясно, что РґК→ m, когда r→ ∞.
Изложенные здесь изображения показывают, что целесообразно расширить понятие об инверсии так, чтобы можно было рассматривать осевую симметрию как специальный случай инверсии. Для этого условимся называть «окружностью в широком смысле слова» любую окружность и любую прямую. Тогда можно оба преобразования – инверсию и симметрию относительно прямой – объединить в одно понятие с помощью следующего определения. Точка Рґ называется обратной точке Р (или сопряженной точке Р) относительно окружности (в широком смысле) щ, если точки Р и Рґ являются вершинами пучка окружностей ортогональных к щ. Такое преобразование, при котором каждой точке Р сопоставляется сопряженная ей точка Рґ относительно окружности (в широком смысле) щ, назовем отражением от окружности щ. В том случае, когда щ является окружностью в узком (обычном) смысле, наше преобразование представляет инверсию относительно щ. Если же щ – прямая, то рассматриваемое преобразование является симметрией относительно этой прямой.
1.9 Инверсор
Существуют приборы с помощью которых можно без всяких вычислений и без привлечения обычных инструментов геометрических построений вычертить линию, инверсную любой данной линии.
Впервые инверсор был предложен французским капитаном Поселье в 1864 году. Этот прибор получил известность только через семь лет, когда он был зависимо от Поселье изобретен петербургским студентом Липкиным, видимо, под влиянием идей П. Л. Чебышева.
«Клетка Поселье», как принято называть этот инверсор, состоит из шести стержней, связанных шарнирами (рис. 29). Четыре из них составляют ромб PAQB. Остальные два стержня равны между собой, но каждый из них длиннее стороны ромба PAQB.
Обозначим РА через а, ОА
через l, а разность l2 – a2
через R2. Предположим, что точка О закреплена
на плоскости. Тогда при любом положении точки Р на плоскости точка Q будет ей инверсна относительно
окружности щ (О, R). В самом деле:
1) Р и Q лежат на одном луче, исходящем из
точки О, и 2) ОР 
ОQ = (ОС - РС) 
(ОС + РС) = ОС2 – РС2 = (l2 – АС2) – (а2 – АС2) = l2 – а2 = R2.
Рис. 29
Когда точка описывает какую-нибудь линию г, точка Q описывает инверсную ей линию гґ. В частности, когда Р описывает окружность, проходящую через точку О, точка Q опишет прямую. Таким образом, инверсор Поселье позволяет преобразовать вращательное движение в прямолинейное. Если нужно преобразовать в инверсии окружность радиуса r, то к инверсору в точке Р шарнирно присоединяется стержень МР длины r. Если точки О и М закреплены неподвижно так, что стержни ОА и ОВ могут вращаться около точки О, а стержень МР - около точки М (рис. 30), то точка Р опишет дугу некоторой окружности, а точка Q дугу инверсной ей окружности или прямолинейный отрезок (в случае, если ОМ = МР).
Рис. 30
Инверсор Гарта. Пусть
четыре стержня связаны шарнирно так, как указано на рисунке 31. узлы А, В, С и D являются здесь вершинами равнобочной трапеции, причем АВ = СD = d, АD = СВ
= l. Пусть О, Р, и Q три точки на этих стержнях, причем 
= 
= 
.
В таком случае точки О, Р и Q
лежат на одной прямой, параллельной основанию трапеции АСDВ. Предположим, что точка О
закреплена на плоскости, а четыре стержня как-то расположены на этой плоскости.
Оказывается, что при любом расположении механизма произведение ОР 
ОQ постоянно.
Рис. 31
Покажем это. Обозначим 
через с1, 
через с2; отсюда 
= с1, 
= с2. Поэтому ОР 
ОQ = с1
с2 
ВD 
АС.
Опустим из В и D перпендикулярны ВВ1 и DD1 на АС.
Тогда АС 
ВD = АС 
В1D1 = (AD1 + D1C) 
(AD1 - AB1) = (AD1 +D1C) 
(AD1 – D1C) = AD12 – D1C2 = (AD2 – D1D2)
(CD2 – DD12) = AD2 – CD2 = l2 – d2.
Поэтому ОР 
ОQ = с1 
с2 
( l2 – d2). Обозначим с1 
с2 
( l2 – d2) через r2.
тогда ОР 
ОQ = r2, так чтобы точки Р и Q инверсны относительно окружности щ
(О,r). Когда точка Р опишет какую-либо
линию, точка Q опишет инверсную ей линию. В
частности, если точка Р будет перемещаться по окружности, проходящей через
точку О, инверсная ей точка Q
будет перемещаться по прямой.
Для удобства инверсного преобразования окружности, проходящей через центр инверсии, присоединяют к четырем рассмотренным стержням еще один стержень МР, который шарнирно связан со стержнем АD в точке Р и может вращаться около неподвижной точки М, причем МР = МО. Расположение стержней в механизме видно из рисунка 32.
Рис. 32
2. Инверсия и ее применение
2.1 Решение задач на построение методом инверсии
Сущность метода инверсии заключается в следующем.
Наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваем фигуры, инверсные им или их частям. Иногда этого оказывается уже достаточно для нахождения таких связей между искомыми и данными, которые нужны для решения задачи. В большинстве случаев решение задачи сводится к построению фигуры, инверсной искомой, в предположении, что уже построена фигура, инверсная данной. Эта последняя задача, при удачном выборе базисной окружности, может оказаться проще данной задачи. Построив фигуру, инверсную искомой, затем строят искомую фигуру. Метод инверсии дает возможность решить ряд наиболее трудных конструктивных задач элементарной геометрии.
Недостатком этого метода является его громоздкость, связанная с необходимостью выполнить большое число построений.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Через две данные точки А и В провести окружность, ортогональную данной окружности щ (О,r) (рис. 33).
Анализ. Если примем окружность щ за базисную окружность, то при инверсии искомая окружность г преобразуется в себя, а точки А и В перейдут в точки Аґ и Вґ на этой окружности. Но окружность г вполне определяется, если известны три точки на ней, например А, В и Аґ. Отсюда вытекает построение.
Построение.
1) Строим точку Аґ, инверсную точке А относительно окружности щ.
2) Строим окружность г, проходящую через точки А, В и Аґ. Г – искомая окружность.
Доказательство. Доказательство вытекает из анализа и построения.
Рис. 33
Исследование. Если точка А лежит на окружности щ, то точка Аґ совпадает с точкой А и указанный путь решения непригоден. В этом случае нужно провести аналогичное построение относительно точки В. если обе точки А и В лежат на окружности щ, то построение можно выполнить так: через А и В проводим касательные к окружности щ и отмечаем точку их пересечения О1. О1 – центр искомой окружности.
Эти построения непригодны, если точки А, В и О расположены на одной прямой. Если при этом точки А и В не инверсны, то задача не имеет решения. Если же точки А и В инверсны относительно окружности щ, то задача имеет бесконечное множество решений: любая окружность, проходящая через точки А и В, ортогональна окружности щ.
Пример 2. Даны: точка О и две не проходящие через нее прямые a и b. Провести через точку О такой луч, чтобы произведение его отрезков от точки О до точек пересечения с данными прямыми было равно квадрату данного отрезка.
Анализ. Пусть О – данная
точка, а и b – данные прямые, ОАВ – искомый луч,
так что ОА 
ОВ = r2, где r – данный отрезок (рис. 34).
Рис. 34
Инверсия относительно окружности щ (О, r) переведет точку А в точку В, а прямую а – в некоторую окружность аґ, проходящую через точку В. таким образом, В ≡ аґ*b.
Построение. Строим последовательно:
1) Окружность щ (О, r);
2) Образ аґ прямой а в инверсии относительно щ;
3) Точку В ≡ аґ*b;
4) Луч ОВ, который и удовлетворяет условию задачи.
Доказательство. Пусть А ≡
ОВ 
а. Тогда А – прообраз
точки В в инверсии относительно щ (О, r), так как прямая а – прообраз окружности аґ. Следовательно, по
определению инверсии, ОА 
ОВ
= r2.
Исследование. Возможны следующие случаи:
1) окружность аґ пересекает прямую b; два решения;
2) окружность аґ касается прямой b; одно решение;
3) окружность аґ не имеет общих точек с прямой b; решений нет.
Так как искомая точка В обязательно соответственна точке А в инверсии относительно щ (О, r), то точка В должна быть общей точкой прямой b и окружности аґ. Отсюда следует, что других решений, кроме найденных, задача не может иметь.
Пример 3. Построить окружность, касательную к данной окружности г и проходящую через две данные точки А и В вне данной окружности.
Анализ. Пусть б (рис. 35) искомая окружность. Желательно преобразовать фигуру так, чтобы окружность б (или окружность г) преобразовалась в прямую.
Рис. 35
С этой целью примем точку В за центр инверсии, а отрезок ВА – за радиус инверсии. Тогда окружность г преобразуется в некоторую окружность гґ, точка А преобразуется в себя, искомая окружность б – в прямую бґ. Прямая бґ должна пройти через точку А, а также касаться окружности гґ, так как окружность б касается окружности г (рис. 36). Таким образом, задача сводится к построению касательной из построенной точки (Аґ) к построенной окружности (гґ).
Построение. Строим последовательно:
1) Окружность щ с центром в точке В радиуса ВА;
2) Окружность гґ, инверсную окружности г относительно окружности щ;
3) Прямую бґ, проходящую через точку А и касающуюся окружности гґ;
4) Окружность б, инверсную прямой бґ относительно окружности щ. Окружность б искомая.
Рис. 36
Доказательство. Прямая б касается окружности гґ, поэтому соответствующая ей окружность б касается соответственной окружности г. Прямая бґ проходит через точку А, и поэтому окружность б проходит через ту же точку; во всех случаях, когда прямая бґ не проходит через центр инверсии, то есть через точку В.
Исследование. Из четырех шагов построения шаги 1) и 2) всегда выполнимы, притом однозначно. Рассмотрим построение 3).
Проведение касательной к окружности гґ через точку А зависит от расположения точки А относительно окружности гґ. Можно допустить три предположения: а) точка А на окружности гґ; б) точка А внутри окружности гґ; в) точка А вне окружности гґ.
Случай а) невозможен, так как из Аґ Є гґ следовало бы А Є г, что противоречит условию задачи.
Докажем, что случай б) также невозможен. Применим для этого доказательство «от противного». Допустим, что точка А располагается внутри окружности гґ (рис. 37). Так как точка В, по условию, вне г, то В также вне гґ (это следует из способа построения окружности гґ). Поэтому луч ВАґ встретит окружность гґ в двух точках, причем одна из них внутри окружности щ, а другая вне ее. Обозначим внутреннюю точку пересечения через Рґ, а внешнюю – через Qґ. При инверсии точки Рґ, Qґ и Аґ преобразуются в точки Р, Q и А, причем Q внутри щ, Р вне щ, А на щ, так что А лежит между Р и Q. Окружность гґ, проходящая через Рґ и Qґ, перейдет в окружность г, проходящую через Р и Q. И так как точка А принадлежит хорде РQ окружности г, то А внутри г, вопреки условию задачи.
