Реферат: Теория вероятностей

Х	x1	x2	...	xn	...
P	p1	p1	...	pn	...

В которой  x1, x2, ..., xn, ... - расположенные по возрастанию значения дискретной случайной величины X, а р1, р2, ..., рп, ... — отвечающие этим значениям вероятности: pi = Р{Х = хi), i= 1, 2, ..., п, ... . Число столбцов  в этой таблице может быть конечным (если соответствующая случайная величина принимает конечное число значений) или бесконечныи. Очевидно,S pi= 1.

Многоугольником распределения дискретной случайной величины X называется ломаная, соединяющая точки {xi; pi), расположенные в Порядке возрастания хi.

Вопрос 11

 Функцией распределения случайной величины Х называется функция FX(x)= P{X<x}, xÎR

Под {X<x}понимается событие, состоящее в том, что случайная величина Х принимает значение меньшее, чем число х. Если известно, о какой случайной величине идёт речь, то индекс, обозначающий эту случайную величину, опускается: F(x) º FX(x).

Как числовая функция от числового аргумента х, функция распределения F(x) произвольной случайной величины Х обладает следующими свойствами:

1)для любого xÎR: 0£ F(x) £ 1

2) F(-¥) = limx®¥ F(x) = 0 ; F(+¥) = limx®¥ F(x) = 1;

3) F(x)-неубывающая функция, т.е.для любых х1,х2 ÎR таких, что х1<х2: F(x1) £ F(x2);

4)для любого xÎR: F(x)= F(x-0)= lim z<x,z®xF(z).

Вопрос 12

Мат. Ожиданием Д.С.В. называют сумму произведений  всех ее возможных значений на их вероятности: М(Х)=х1р1+х2р2+…+хnpn. Если Д.С.В. принимает счетное множество возможных значений, то М(Х)=сумма по i от 1 до бесконечности xipi, причем мат. ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно. Мат. ожидание обладает следующими свойствами: 1) Мат. ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С. 2) Постоянный множитель можно выносить за знак мат. ожидания: М (СХ)=СМ (Х). 3) Мат. ожидание произведения взаимно независимых С.В. равно произведению мат. ожиданий сомножителей: М (Х1,Х2…Хn)=M(X1)*M(X2)…M(Xn). 4) Мат. ожидание суммы С.В. равно сумме мат. ожиданий слагаемых: М (Х1+Х2+Х3+…+Хn)=M(X1)+M(X2)+M(X3)+…+M(Xn).

 Вопрос13

 Дисперсией случайной величины х называется число: DX= M(X-MX)2 ,равное математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания. Для вычисления дисперсии иногда проще использовать формулу: DX=M(X2)-(MX)2 . Для дискретных св:

DX=∑(xi – MX)2 pi;

DX=∑xi2pi – (MX) 2.

Свойства дисперсии дискретной случайной величины: (X,Y-независимые д.св, с- неслучайная постоянная ÎR)

Dc=0;

D(cX)=c2DX;

D(X+Y)= DX + DY

Вопрос 14

Биномиальным называют закон распределения Д.С.В.  Х - числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р, вер-ть возможного значения Х=k (числа k появлений события) вычисляют по формуле Бернулли: Pn (k)=Cn^k* p^k *q^(n-k)

Вопрос 15

 Случайная величина Х наз.распределённой по геометрическому закону с параметром р (рÎ[0;1]), если она принимает значения 1,2,3… с вероятностями Р{Х=х}= р(1-р)х-1  (х = 1,2,3…).

Случайную величину Х можно интерпритировать как число испытаний Бернулли, которые придётся произвести до первого успеха, если успех в единичном испытании может произойти с вероятностью р.

Математическое ожидание случайной величины, имеющей геометрическое распределение: МХ=1/p.

Дисперсия: DX=1-p/p2

Вопрос 16

 Если число испытаний велико, а вероятность P повяления события в каждом испытнаии очень мала, то используют приближенную формулу

Pn(k)=l^k*e^(-l/k)

Где k – число появлений события в n независимых испытаниях, l = np (среднее число появлений события в n независимых испытаниях), и говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

Вопрос  17

С.В. Х называется непрерывной, если существует неотрицательная функция рх(х) такая, что при любых х функцию распределения Fx(x) можно представить в виде: Fx(x)=интеграл от –бесконечности до х px(y)dy. Рассматривают только такие С.В., для которых рх(х) непрерывна всюду, кроме, может быть, конечного числа точек. Плотностью распределения вероятностей непрерывной С.В. называют первую производную от функции распределения: f(x)=F’(x). Вероятность того, что Н.С.В. Х примет значение, принадлежащее интервалу (а,b), определяется равенством P(a<X<b)=интервал  от а до b f(x)dx. Зная плотность распределения можно найти функцию распределения F(x)=интеграл от –бесконечности до х f(x)dx. Плотность распределения обладает следующими свойствами: 1) П.Р. неотрицательна, т.е. f(x)>=0. 2) Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от –бесконечности до бесконечности равен единице: интеграл от –бесконечности до бесконечности f(x)dx=1.

Вопрос 18

Мат. ожидание Н.С.В. Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством: М(Х)=интеграл от –бесконечности до бесконечности хf(x)dx, где f(x) - плотность распределения С.В. Х. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно. В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу (а,b), то М(Х)=интеграл от а до b xf(x)dx. Все свойства мат. ожидания, указаны выше, для Д.С.В. Они сохраняются и для Н.С.В.

Дисперсия Н.С.В. Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством: D(X)=интеграл от –бесконечности до бесконечности [x-M(X)]*2f(x)dx, или равносильным равенством: D(X)=интеграл от –бесконечности до бесконечности x*2f(x)dx – [M(X)]*2. В частности, если все возможные значения х принадлежат интервалу (a,b),то D(X)=интервал от а до b [x – M(X)]*2f(x)dx,или D(X)=интеграл от a до b x*2f(x)dx – [M(X)]*2. Все свойства дисперсии Д.С.В. сохраняются и для Н.С.В.

 Вопрос  19

Моменты распределения. При решении многих практических задач нет особой необходимости в полной вероятностной характеристике каких-либо случайных величин, которую дает функция плотности распределения вероятностей. Очень часто приходится также иметь дело с анализом случайных величин, плотности вероятностей которых не отображаются аналитическими функциями либо вообще неизвестны. В этих случаях достаточно общее представление о характере и основных особенностях распределения случайных величин можно получить на основании усредненных числовых характеристик распределений.

Числовыми характеристиками случайных величин, которые однозначно определяются функциями распределения их вероятностей, являются моменты.

Начальные моменты n-го порядка случайной величины X (или просто моменты) представляют собой усредненные значения n-й степени случайной переменной:  mn º М{Xn}º =  xn p(x) dx, где M{Xn} и - символические обозначения математического ожидания и усреднения величины Хn, которые вычисляются по пространству состояний случайной величины Х.

Соответственно, для случайных дискретных величин: mn º М{Xn}º =xin pi.

Центральные моменты n-го порядка, это моменты относительно центров распределения (средних значений) случайных величин:

mn º M{(X-)n}º =(x-m1)n p(x) dx

mn º M{(X-)n}º =(xi-m1)n pi, где  - начальный момент 1-го порядка (среднее значение величины Х), X0 = X- - центрированные значения величины Х.

Связь между центральными и начальными моментами достаточно проста:

m1=0,    m2=m2-m12,    m3=m3-3m2m1+2m13,    m4=m4-4m1m3+6m12m2-3m14,  и т.д.

Соответственно, для случайных величин с нулевыми средними значениями начальные моменты равны центральным моментам.

По результатам реализации случайных величин может производиться только оценка моментов, т.к. количество измерений всегда конечно и не может с абсолютной точностью отражать все пространство состояний случайных величин. Результаты измерений - выборка из всех возможных значений случайной величины (генеральной совокупности). Оценка моментов, т.е. определение средних значений n-й степени по выборке из N зарегистрированных значений, производится по формулам:  = (1/N)xin », = (1/N)(xi-)n »

Вопрос 20

Равномерным называют распределение вероятностей Н.С.В. Х, если на интервале (а,b), которому принадлежат все возможные значения Х, плотность сохраняет постоянное значение, а именно f(x)=1/(b-a); вне этого интервала f(x)=0. Нетрудно убедиться, что интеграл от –бесконечности до бесконечности  р(х)dx=1. Для С.В., имеющей равномерное распределение , вероятность того, что С.В. примет значения из заданного интервала (х,х+дельта) прин. [a,b], не зависит от положения этого интервала на числовой оси и пропорциональна длине этого интервала дельта: P{x<X<x+дельта}=интеграл от х до х+дельта 1/b-adt=дельта/b-a. Функция распределения Х имеет вид: F(x)=0, при х<=a, x-a/b-a,при a<x<=b,1при х>b.

Вопрос 21

Случайная величина Х с функцией распределения

F(x)=  {0,         x<0,

           {1- e –μx  x³0

называется распределённой по показательному закону с параметром μ. Плотность распределения этой случайной величины получается путём дифференцирования:

f(x)={0,      x<0,

        {μe–μx  x³0.

Интервал времени между двумя последовательными появлениями некоторого редкого события описывается случайной величиной, распределённой по показательному закону.

MX=1/μ   DX=1/μ2

 

Вопрос 22

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.

Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает следующими тремя свойствами: стационарностью, «отсутст­вием последействия» и ординарностью.            

Свойство стационарности состоит в том, что вероятность появле­ния k событий в любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка времени и не зависит от начала его отсчета. Другими словами, вероятность появления k событий за промежуток времени длительностью t есть функция, за-висящая только от k и t.

Свойство «отсутствия последействия» состоит в том, что вероят­ность появления k событий в любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Другими словами, предыстория потока не влияет на вероятности появле­ния событий в ближайшем будущем.

Свойство ординарности состоит в том, что появление двух или более  событий   за  малый   промежуток  времени практически невозможно. Другими словами, вероятность появления более одного со­бытия за малый промежуток времени пренебрежимо мала по срав­нению с вероятностью появления только одного события.

Интенсивностью потока l  называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Если постоянная интенсивность потока l  известна, то вероят­ность появления k событий простейшего потока за время t опреде­ляется формулой Пуассона

Замечание.   Поток, обладающий   свойством   стационарности, называют стационарным; в противном случае—нестационарным.

 Вопрос 23

 (на отдельном листе)

Вопрос 24

Н.С.В. Х имеет нормальное распределение вероятностей с параметром а и сигма>0, если ее плотность распределения имеет вид: р(х)=1/(корень квадратный из 2пи *сигма) * е в степени –1/2*(x-a/сигма)*2. Если Х имеет нормальное распределение, то будем кратко записывать это в виде Х прибл. N(a,сигма). Так как фи(х)=1/(корень из 2пи)*е в степени –х*2/2 – плотность нормального закона распределения с параметрами а=0 и сигма=1, то функция Ф(х)=1/(корень из 2пи)* интеграл от –бесконечности до х е в степени –t*2/2dt, с помощью которой вычисляется вероятность P{a<=мюn-np/(корень из npq)<=b}, является функцией распределения нормального распределения с параметрами а=0, сигма=1.

Страницы: 1, 2, 3, 4