Реферат: Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике
S∆AOB=0,5*AO*OB*sin/_AOB
ÐAOB =180o—45o = 135o
S∆AOB=0,5*(√2/2)* (-a)b√2 = -ab/2;
S∆AOB = -b2/(2(1—b)) = b2/(2(1—b)); D(y): b>1(т.к. при b<1 не образует ∆AOB.);
т.к. функция непрерывна и дифференцируема на b>1, то найду ее производную:
S’ = (4b(b—1)—b2)/(4(b—1)2) = (4b2—4b—2b2)/(4(b—1)2) = 2b(b—2)/(4(b—1)2) =
= b(b—2)/(2(b—1)2);
S’ = 0;
точки экстремума:
b=0;
b=1;
b=2;
но b>1, значит
Sнаим =S(2) = 4/(2(2—1))=2(ед2);
Ответ: 2 ед2.
Задача 5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 с ребрами CD = 24, AD= 6 и DD1 =4 проведена плоскость через центр симметрии грани A1B1C1D1 , вершину А и точку Р, лежащую на ребре DC. Какую наименьшую площадь может иметь сечение параллелепипеда этой плоскостью? На какие части делит точка P ребро DC в этом случае?
Решение. Проведем плоскость и построим сечение (рис.). АО Î АA1C1С - линия, принадлежащая данной плоскости. Продолжим АО до пересечения с CC1 в точке S. Тогда SP - линия пересечения грани DD1C1C и данной плоскости, а сечение ANMP - параллелограмм. Sсеч = SAMNP = SK*AP/2 , потому что SK/2— высота параллелограмма ANMP. Это видно из следующего рассуждения.
В ΔASC ОC1 - средняя линия (значит SC1 = 4), в ΔPSC также средняя линия МC1, а плоскость A1B1C1D1 делит пополам любую линию между S и плоскостью ABCD, а значит и SK.
Пусть PC = x; ΔCLP подобен ΔDAP,
LC/AD = x/(24—x), LC = 6x/(24—x);_____________ ____________
Из ΔCLP: KC = (6x*x/(24—x))/(√(36x2/(24—x)2)+x2) = 6x/(√(36+ (24—x)2);
________ ___________________ __________________
Из ΔSCK: SK = √SC2+ KC2 = √64+36x2/(36+(24—x)2) = 2√16+9x2/(36+(24—x)2) ;
Из ΔADP: AP = √36+(24—x)2;_____ _________________ __________________
Sсеч = AP*SK/2 = 0,5*(√36+(24—x)2) 2√16+9x2/(36+(24—x)2) = √16(36+(24—x)2)+9x2;
Если S’(x) = 0, то 18x+16*2(24—x)(-1) = 0;
50x—32*24 = 0, x = 32*24/50 = 32*12/25 = 384/25 (это точка min);
Sсеч = 312;
DP = 24—16*24/25 = 216/25;
Ответ: 312 кв. ед.; DC: 384/25; 216/25.
Задача 6. Высота
пирамиды TABC с основанием ABC проходит
через середину ребра AC. Выберите на AC точку М
так, чтобы площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку M,
середину ребра TC и вершину B, была наименьшей,
если AB=BC=AC=TC=2.
Решение. HF=FC=1/2;
S∆BME = BM*EK*1/2;___ _
Из ∆TCH => TH = √4—1=√3;
EF = TH/2=√3/2;
Пусть MC = x.
Из ∆BMC по теореме косинусов MB2= x2+4—2*2*x*1/2;
MB = √x2—2x+4; _ _
S∆BMC = 0,5*MC*BC*sinC=(x/2)*2√3 /2 = x√3/2;
S∆BMC = 0,5*BM*PC, _ ________
PC = (2S∆BMC)/BM, PC = x√3/√x2—2x+4 ;
∆KMF подобен ∆PMC(по двум углам):
KF/PC = MF/MC(рис 2),_____ _ _________
KF = x√3(x—1/2)/(x√x2—2x+4) = √3(x—1/2)/(√x2—2x+4);
________ ______________________
Из ∆KEF => KE = √ KF2+EF2 = √3(x—1/2)2/(x2—2x+4)+3/4; _
S∆BME = 0,5√x2—2x+4 *√3(x—1/2)2/(x2—2x+4)+3/4 = 0,5√3(x—1/2)2+(x2—2x+4)*3/4;
Если S’(x) = 0, то
6(x—1/2)+(2x—2)*3/4 = 0;
15x—9 = 0;
x = 3/5; __
S(3/5) = √15/5 кв.ед.
Ответ: √15/5 кв.ед.
Задача 7. В сферу радиусом R вписана правильная треугольная пирамида, у которой боковое ребро образует с высотой пирамиды угол 60o. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник MBK, если точка M лежит на апофеме пирамиды, а BK — высота основания пирамиды, не пересекающая апофему?
Решение. TP = 2R, ÐATO = 60o.
Пусть AB = BC = CA = a(рис.)
Тогда AO = a√3/3,
AD = BK = a√3/2, _ _
TO = AO*ctg60o= a√3/3*1/√3 = a/3,
OD = a√3 /6,
AO2 = TO*OP = TO(2R - TO),
a2/3 = a(2R – a/3)/3, a = 3R/2.
S∆MBK = BK*LM*1/2, BK = const,
S∆MBK = f(LM),__
LM = √MN2+NL2
Пусть MD = x, тогда MN = x cos / NMD; _
cos Ð NMD = TO/TD = a/(3√a2/9+a2/12 = 2/√7, MN = 2x/√7 .
Из ∆ONL: LN = ON cos30o (ÐONL = 30o);
ON = OD – ND, _ _ _ _ _
ND = x sin ÐNMD = x √3/√7, ON = a√3/6 - x√3/√7,
LN = (a√3/6 - x√3/7)√3/2 = (a/4 – 3x/(2√7)),
LM = √4x2/7+(a/4 – 3x/(2√7))2. _ _
Если LM’(x) = 0, то 8x/7+2(a/4 – 3x/(2√7))(-3/2√7) = 0,
8x/7 – 3a/4√7 + 9x/14 = 0,
25x/14 = 3a/4√7,
x = 21a/50√7. __ __
MN = (21a/50√7)*(2/√7) = 3a/25,
LN = a/4 – (3/2√7)*(21a/50√7) = 4a/25,
LM = √a2/625 + 9a2/625 = a√10/25. _
S∆MBK = a√3/2*a/5*1/2 = a√3/20 = 9√3 R2/80.
Ответ: 9√3 R2/80.
Задача 8. В сферу радиусом R вписана правильная треугольная пирамида, высота которой в 1,5 раза меньше высоты основания. Между боковой гранью пирамиды и сферой расположена правильная четырехугольная призма, одно из оснований которой (ближнее к центру сферы) лежит в плоскости боковой грани пирамиды, а вершины другого основания принадлежат сфере. Какой должна быть высота призмы, чтобы ее объем был наибольшим? Найти этот объем.
Решение. SABC – правильная треугольная пирамида (рис), вписанная в сферу радиусом R,
SO*1,5 = AD,
LMN – правильная четырехугольная призма.
Найти. Vпр = f(LM).
Пусть SO = H, тогда AD = 1,5H;
SO1 = R – радиус сферы; LM = x –высота призмы.
∆SKO1 подобен ∆SOD => O1K/OD = SO1/SD => OK1 = OD*SO1/SD.
Из ∆AO1O: R2 = AO2 + O1O2 = (2AD/3)2 + (AD*2/3 - R)2,
R2 = 4AD2/9 + 4AD2/9 –AD*R*4/3,
8AD2/9 = AD*R*4/3 => AD = 3R/2.
Отсюда OD = R/2;
AO1 = R и SO1 = R; _
SD = √R2 + R2/4 = R√5/2, _
OK1 = 2*R*R/(2R√5) = R√5/5;
O1K = R√5/5.
Из ∆O1FN => R2 = (O1K + x)2 + NF2,
NF = √R2 – R2/5 – 2x(√5)2/5 – x2 ,
Sосн = 2NF2. _
Vпр = Sосн*x = 2(R2 – R2/5 – 2x√5 R/5 - x2)*x;
Vпр = 2(4R2x/5 – 2x2√5 R/5 - x3);
V’пр(x) = 2(4R2/5 – 2x√5 R/5 - 3x2) = 0; _
x 1,2 = (2R√5/5 + √4R2/5 + 12R2/5)/(-3) = (2R√5/5 + 4R/√5)/(-3);
x = 2√5 R/15 _ _
Vпр.max = 2(4R2*2√5R/(5*15) – 2√5R*4R2/(45*5) - _ 40√5R3/(225*15)) = 16R3√5(1 – 1/3 – 5/45)/75 = 16√5R3/135.
Ответ: 16√5R3/135 м3 при H = 2√5R/15.
Задача 9. В конус вписан цилиндр, одно из оснований которого лежит в плоскости основания конуса, а окружность другого основания принадлежит боковой поверхности конуса. Правильная четырехугольная призма расположена так, что ее нижнее основание лежит в плоскости верхнего основания цилиндра, вершины верхнего основания принадлежат боковой поверхности конуса. Отношение длины диагонали основания призмы к ее высоте равно отношению длины диаметра цилиндра к его высоте. При какой высоте цилиндра объем призмы будет наибольшим? Найти этот объем призмы, если высота конуса – H и радиус основания – R.
Дано. ASO – конус;
SO = H;
AO = R;
CL/CM = BK/BN;
Найти. BN, чтобы Vпр = max
Решение. BN = x, CM = h, Vпр = Sосн CM = CL2h/2.
∆CSD подобен ∆ASO: CD/AO = SD/SO;
CD/R = (H – x - h)/H;
CD = R(H – x -h)/H.
∆BSE подобен ∆ASO: BE/AO = SE/SO;
BE/R = (H - h)/H;
BE = R(H - h)/H.
Находим отношение CD/BE = (H – x - h)/(H - x).
Исходя из условия (CL/CM = BK/BN) задачи делаем вывод,
что CD/BE = h/x, т. е. (H – x - h)/(H - x) = h/x => h = (Hx – x2)/H
Тогда CD = R(H – x – (Hx – x2)/H)/H = R(H2 – Hx – Hx +x2)/H2 = R(H - x)2/H2,
CL = 2CD = 2R(H - x)2/H2.
V = 4R2(H - x)4(H - x)x/(2H*H4) = 2R2(H - x)5x/H5;
V’(x) = 2R2((H - x)5 – 5(H - x)4 x)/H5 = 0,
(H – x) – 5x = 0, x = H/6.
V = 2HR2(5H/6)5/(6H5) = 2R2H*55/66.
Ответ: при H/6, Vmax = 2R2H*55/66.
В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или наименьших значений для каких-либо величин.
Задача 1.Потенциальная энергия U поля частицы, в котором находится другая, точно такая же частица имеет вид: U = a/r2 – b/r, где a и b — положительные постоянные, r — расстояние между частицами.
Найти:
а) значение r0 соответствующее равновесному положению частицы;
б) выяснить устойчиво ли это положение;
в) Fmax значение силы притяжения;
г) изобразить примерные графики зависимости U(r) и F(r).
U = a/r2 – b/r; Решение:
a и b — counts; Для определения r0 соответствующего равновесному
r0 — ? положению частицы исследуем f = U(r) на экстремум.
Fmax — ? Используя связь между потенциальной энергией поля
U и F, тогда F = -dU/dr, получим F = -dU/dr = - (-2a/r3+b/r2) = 0;
при этом r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b;
Устойчивое или неустойчивое равновесие определим по знаку второй производной:
d2U/dr02= dF/dr0=-6a/r04 + 2b/r03 = -6a/(2a/b)4+2b/(2a/b)3=(-b4/8a3)<0;
равновесие устойчивое.
Для определения Fmax притяжения исследую на экстремумы функцию:
F = 2a/r3— b/r2;
dF/dr = -6a/r4 + 2b/ r3 = 0;
при r = r1 = 3a/b;
подставляя, получу Fmax = 2a/r31 — b/r31 = - b3/27a2;
U(r) = 0; при r = a/b; U(r)min при r = 2, a/b = r0;
F = 0; F(r)max при r = r1 = 3a/b;
Задача 2. Три резистора сопротивлениями R1, R2, R3 соединены параллельно. Сопротивление R1 в 9 раз больше сопротивления R2. Если все три резистора соединить последовательно, то сопротивление цепи равно R.
Определить сопротивления резисторов при которых сопротивление исходной цепи будет наибольшим.
R1 = 9 R2 Решение:
При параллельном соединении резисторов эквивалентное
R1, R2, R3 сопротивление по формуле:
1/Rэкв = 1/R1+1/R2+1/R3;
Rэкв max— ? выражу R3 через R2:
R3 = R— R1—R2=R—10R2;
тогда 1/Rэкв = (10R—91R2)/(9R2(R—10R2));
Задача сведена к определению наименьшего значения функции в интервале [0;R/10].
Возьмем производную от f(1/Rэкв) по R2 и преобразуем ее:
(1/Rэкв)’ = -910(R2—R/7)(R2—R/13)/(9R22 (R-10R2)2);
В интересующем нас интервале только одна точка R2 = R/13 в которой эта производная меняет знак с “—” слева на ”+”справа. Поэтому в точке R2 = R/13 достигается минимум функции 1/Rэкв и максимум функции Rэкв, при этом
R1 = 9R/13; R2 = 1R/13; R3 = 3R/13;
Rэкв max = 9R/169;
Задача 4. В магнитном поле с большой высоты падает кольцо, имеющее диаметр d и сопротивление R. Плоскость кольца все время горизонтальна. Найти установившуюся скорость падения кольца, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля изменяется с высотой H по закону B = B0(1 + αH), где α = const (черт.).
Решение. Пусть n – нормаль к плоскости кольца, тогда магнитный поток, созданный вертикальной составляющей магнитного поля.,
Ф = BS = B0(1 + αH)S, где S = πd2/4 – площадь контура.
ЭДС индукции, возникающая в кольце,
E = - Ф’(t) = - (B0(1 + αH)S)’ = - B0SαH’(t).
Производная H’(t) = νн – это проекция скорости кольца на ось H. Таким образом,
Ei = - B0Sα( - νн).
Так как скорость кольца направлена против оси H, то νн = - ν, где ν – модуль скорости кольца и Ei = B0Sαν.
По кольцу протекает индукционный ток
J = Ei /R = B0Sαν/R.
В результате в кольце за промежуток времени Δt выделяется количество теплоты
Q = J2RΔt.
На высоте H1 кольцо обладает механической энергией
W1 = mgH1 + mν2/2,
на высоте H2
W2 = mgH2 = mgH2 + mν2/2
(ν = const, т. е. скорость кольца не меняется). По закону сохранения энергии
W1 = W2 + Q => mgH1 = mgH2 + J2RΔt => mg(H1 - H2) = (B0Sαν/R)2RΔt =>
mg(H1 - H2) = (B0Sαν)2Δt/R (*)
Разность (H1 - H2) есть расстояние, пройденное кольцом при равномерном движении, поэтому H1 - H2 = νΔt, и уравнение (*) примет вид:
mgνΔt = (B0Sαν)2Δt/R => mg = (B0Sα)2ν/R =>
ν = mgR/(B0Sα)2 = 16mgR/(B0πd2α)2.
Ответ: ν = mgR/(B0Sα)2 = 16mgR/(B0πd2α)2.
Задача 6. Цепь с внешним сопротивлением R = 0,9 Ом питается от батареи из k=36 одинаковых источников, каждый из которых имеет ЭДС E=2 В и внутреннее сопротивление r0 = 0,4 Ом. Батарея включает n групп, соединенных параллельно, а в каждой из них содержится m последовательно соединенных аккумуляторов. При каких значениях m, n будет получена максимальная J во внешнем R(см. рис.).
Решение:
При последовательном соединении аккумуляторов Eгр = m*E; rгр = r0*m;
а при параллельном соединении одинаковых rбат = r0m/n; Eбат = m*E,
По закону Ома J = mE/(R+ r0m/n) = mEn/(nR + r0m)
Т.к. k – общее число аккумуляторов, то k = mn;
J = kE/(nR + r0m) = kE/(nR + kr0/n);
Для нахождения условия при котором J тока в цепи максимальная исследую функцию J = J(n) на экстремум взяв производную по n и приравняв ее к нулю.
J’n-(kE(R—kr0/n2))/ (nR + kr0/n)2 = 0;
n2 = kr/R; .
n = √kr/R = √3,6*0,4/0,9 = 4;
m = k/n = 36/4 = 9;
при этом Jmax = kE/(nR + mr0) = 36*2/(4*0,9 + 9*0,4) = 10 А;
Ответ: n = 4, m = 9.
Задача 7. Платформа массой М начинает двигаться вправо под действием постоянной силы F. Из неподвижного бункера на нее высыпается песок. Скорость погрузки постоянна и равна m кг/с. Пренебрегая трением, найти зависимость от времени ускорения а платформы в процессе погрузки. Определить ускорение а1 платформы в случае, если песок не насыпается на платформу, а из наполненной высыпается через отверстие в ее дне с постоянной скоростью m кг/с.
Решение.
Рассмотрим сначала случай, когда песок насыпается на платформу
Движение системы платформа-песок можно описать с помощью второго закона Ньютона:
dP/dt = FS
P – импульс системы платформа-песок, FS – сила, действующая на систему платформа-песок.
Если через p обозначить импульс платформы, то можно написать:
dp/dt = F
Найдем изменение импульса платформы за бесконечно малый промежуток времени Dt:
Dp = (M+m(t+Dt))(u+Du) – (M+mt)u =FDt
где u – скорость платформы
Раскрыв скобки и, проведя сокращения получаем:
Dp = muDt + MDu+mDut+ mDuDt =FDt
Разделим на Dt и перейдем к пределу Dt ®0
Mdu/dt+mtdu/dt+mu=F
или
d[(M+mt)u]/dt = F
Это уравнение можно проинтегрировать, считая начальную скорость платформы равной нулю:
(M+mt)u = Ft
Следовательно:
u = Ft/(M+mt)
Тогда, ускорение платформы:
a = du/dt = (F(M+mt)-Ftm)/(M+mt)2 = FM / (M+mt)2
Рассмотрим случай, когда песок высыпается из наполненной платформы.
Изменение импульса за малый промежуток времени:
Dp = (M-m(t+Dt))(u+Du) +mDtu – (M-mt)u = FDt
Слагаемое mDtu есть импульс количества песка, которое высыпалось из платформы за время Dt
Тогда:
Dp = MDu - mtDu - mDtDu = FDt
Разделим на Dt и перейдем к пределу Dt ®0
(M-mt)du/dt = F
или
a1=du/dt= F/(M-mt)
Ответ: a = FM / (M+mt)2 , a1= F/(M-mt)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. М64 И. Ф. Суворов “Курс высшей математики для техникумов”. М.: Просвещение, 1964.
2. М 71 В. В. Ткачук “Математика—абитуриенту”. М.: Просвещение, 1980.
3. P60 Д. Е. Родионов, Е. М. Родионов “Стереометрия в задачах”. М.: Учебный центр “Ориентир” – “Светоч”, 1998.
4. P60 В. А. Колесников. “Физика. Теория и методы решения конкурсных задач. Часть II”. М.: Учебный центр “Ориентир” – “Светоч”, 2000.
5. Л77 Л. М. Лоповок “1000 проблемных задач по математике”. М.: Просвещение, 1995.
6. М89 Д. Т. Письменный “Математика для старшеклассников. Теория\задачи”. М.: “Айрис”, “Рольф”, 1996.
7. С 82 М. Я. Выгодский “Справочник по элементарной математике”. Спб.: Союз, 1997.
8. В20 В. И. Васюков, И. С. Григорьян, А. Б. Зимин, В. П. Карасева “Три подсказки – и любая задача решена! Часть III”. М.: Учебный центр “Ориентир” при МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000.
9. Э 61 В. А. Чуянов “Энциклопедический словарь юного физика”. М.: Педагогическа-Пресс, 1999.
10. Б 27 А. Б. Басков, О. Б. Баскова, Н. В. Мирошин “Математика. Часть 2. Алгебра и начала анализа”. М.: МИФИ, 1997.
РЕЦЕНЗИЯ НА РАБОТУ