т. е. 1—cos x при х → 0 есть бесконечно малая высшего порядка малости, чем х.
Дифференциал функции
1°. Определение. Дифференциалом (dy) функции y=f(x) называется произведение значения производной f '(х) на произвольное приращение ∆x аргумента х, т. е.
|
(I)
2°. Для получения значения дифференциала функции необходимо знать два числа: начальное значение аргумента, х, и его приращение, ∆x.
Пример. Вычислить дифференциал функции у = x2 при изменении значения аргумента х от 3 до 3,1.
Решение. dy=f '(х)* ∆х. Найдем dy сначала для произвольных значений х и ∆x.
f '(x) = (x2)' =2x.
Поэтому
dy=2x*∆x.
Начальное значение аргумента х=3, приращение его ∆x = 3,1 — 3 = 0,1. Подставляя эти значения в выражение dy находим:
dy =2*3*0,1=0,6.
Для данного значения независимого переменного х дифференциал функции f(x) есть линейная функция приращения независимого переменного ∆х.
3°. Рассмотрим геометрический смысл дифференциала функции. На черт. в точке х проведена касательная к графику функции y=f(x). Из ∆MPT следует, что
PT = MP*tgφ = ∆x*f '(x).
Но по определению f '(х) *∆x = dy, поэтому PT = dy.
Дифференциал функции f(x) при данном значении х геометрически выражается приращением ординаты касательной к графику функции y=f(x) в точке х.
4°. Дифференциал dy и приращение ∆у вообще не равны между собой. На черт. dy = PT менее ∆y=PQ.
Очевидно, dy может быть и более ∆y. Это будет, например, если поднимающаяся кривая MN будет вогнута вниз.
5°. Пример. Для функции у=x2 при изменении х от 3 до 3,1 приращение ∆y = 2x*∆x + + ∆x2 = 2*3*0,1 + 0, 12 = 0, 61 Дифференциал dy = 2х *∆x = 2*3 * 0, 1 = 0,6. Принимая dy за приближенное значение ∆у, имеем: абсолютная погрешность приближения равна разности ∆у—dy=0,01, а относительная погрешность приближения есть отношение:
(∆y—dy)/dy=00,1/0,60=1,7%
6°. Разность между приращением и дифференциалом функции, ∆у—dy, высшего порядка малости, чем приращение аргумента, ∆x.
Действительно, отношение ∆y/∆x отличается от своего предела f '(x) на бесконечно малую α, причем α → 0 при стремлении ∆x к нулю,
∆y/∆x — f '(x)= α.
Производя вычитание в левой части равенства, получаем:
(∆y-f '(x)*∆x)/∆x = α, или (∆у - dy) ∆x= α,
|
7°. Из сказанного следует: дифференциал функции есть приближенное значение ее приращения с относительной погрешностью, стремящейся к нулю вместе с приращением аргумента.
8°. Из изложенного следует, что дифференциал dy функции y=f(x) обладает двумя свойствами:
1) dy пропорционален ∆x (dy = k∆x, где k=y');
2) отношение (∆y—dy)/∆x стремится к нулю при стремлении ∆x к нулю.
Обратно. Если величина z обладает двумя свойствами:
1) z=k∆x и 2) то z есть дифференциал функции у.
Доказательство. Внося из (1) значение z во (2), имеем:
т. е. k = y',
а следовательно,
z = k∆x = y’∆x,
т. е. z есть дифференциал функции у.
Таким образом, эти два условия полностью определяют дифференциал.
Дифференциал аргумента. Производная как отношение дифференциалов
1°. Определение. Дифференциалом (dx) аргумента х называется, его приращение, ∆x:
dx = ∆х (II)
Может быть, некоторым основанием к этому служит то, что дифференциал функции у=х и приращение ее аргумента совпадают. Действительно,
dy = (x)' ∆x, или dy = ∆x.
Но так как
dy = dx, то dx = ∆x,
т.е. дифференциал функции у =х и приращение ее аргумента совпадают.
2°. Внеся в формулу (I) значение ∆x=dx, получаем:
|
(III)
т. е. дифференциал функции есть произведение ее производной на дифференциал аргумента.
3°. Формула (III) обладает замечательным свойством, именно: формула dy = f '(x)dx справедлива и в том случае, если x не является независимой переменной величиной, а является функцией другого аргумента, например и.
Действительно, если х есть функция от и, то f(x) есть сложная функция от u приращение dx обусловлено приращением ∆u, и dy надо вычислять по формуле;
dy = f 'u (x)* ∆u.
Но
f 'u (x)= f’x (x)* x’u
Значит,
dy = f’(x)—x'u * ∆u.
Но так как, по определению,
x'u ∆u = dx,
то, следовательно,
dy = f '(x)dx.
4°. Пример. Найти дифференциал функции:
_____________________
у = √ (e2x—1).
Решение. По формуле (III)
dy = у'*dx.
Находим у': ________ ________
y’ = e2x*2/( 2√ (e2x—1)) = e2x/ √ (e2x—1).
Значит _______
dy = e2x*dx/ √ (e2x—1)
5°. Из формулы (III) следует;
f’(x)=dy/dx,
т. е. производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента. Это иллюстрирует черт., где
dy/dx = PT/MP = tgφ=f '(x)
для произвольного значения dx = MP.
Приложения понятия дифференциала к приближенным вычислениям
1°. Разность ∆y—dy—бесконечно малая высшего порядка малости, чем ∆x, поэтому при достаточно малом ∆x
|
(IV)
Это означает, что при малых изменениях аргумента (от начального значения х) величину изменения функции y=f(x) можно приближенно считать пропорциональной величине изменения аргумента с коэффициентом пропорциональности, равным значению производной f '(x); кривую y=f (x) при этом можно приближенно заменить касательной к ней в точке х.
Так как ∆у = f(х + ∆x)—f (x), то, заменяя в формуле (IV) ∆у его выражением, имеем: f(x+∆x) - f(x) ≈ f '(x)* ∆x
|
(V)
В математике производную применяют для:
1. Исследования функции на монотонность, экстремумы.
2. Нахождения касательной к графику.
3. Нахождения наибольших, наименьших значений функций.
4. Нахождения дифференциала для приближенных вычислений.
5. Для доказательства неравенств.
Задача 1. Найти сумму 1+2*1/3+3(1/3)2+…+100(1/3)99;
Решение.
Найду сумму g(x)=1+2x+3x2+…+100x99 и подставлю в нее x=1/3.
Для этого потребуется вспомогательная функция f(x)=x+x2+…+x100.
Ясно, что f ’(x)=g(x).
f(x) — сумма геометрической прогрессии.
Легко подсчитать, что f(x)=(x—x101)/(1—x). Значит,
g(x) = f ’(x) = ((1—101x100)(1—x)—(x—x100)(-1))/(1—x)2=(1—102x100+101x101)(1—x)2.
Подставлю x = 1/3.
Ответ: 0,25(9—205*3-99)
Задача 2. Найти сумму 1+2*3+3*32+…+100*399;
Решение.
Найду сумму g(x)=1+2x+3x2+…+100x99 и подставлю в нее x=1/3.
Для этого потребуется вспомогательная функция f(x)=x+x2+…+x100.
Ясно, что f ’(x)=g(x).
f(x) — сумма геометрической прогрессии.
Легко подсчитать, что f(x)=(x—x101)/(1—x). Значит,
g(x) = f ’(x) = ((1—101x100)(1—x)—(x—x100)(-1))/(1—x)2=(1—102x100+101x101)(1—x)2.
Подставлю x = 3.
Ответ: ≈ 2,078176333426855507665737416578*1050.
Задача 3. Найдите площадь треугольника AMB, если A и B — точки пересечения с осью OX касательных, проведенных к графику y = (9—x2)/6 из точки M(4;3).
Решение.
т. A = укас1∩OX Решение:
т. B = укас2∩OX укас =y(x0)+у’(x0)(x—x0);
y = (9—x2)/6 y’(x0) = -2x*1/6 = -x/3;
M(4;3)________ т.к. укас проходит через M(4;3), то
SAMB —? 3 = (9—x02) — (4—x0)* x0/3 | *3
18 = 9—x02—2x0(4—x0);
x02—8 x0—9 = 0;
Д/4 = 16 + 9;
x0 = 4+5 = 9;
x0 = 4—5 = -1
укас1 = -12 — (x—9)*9/3 = -3x+15;
укас1 = 4/3 + (x+1)*1/3 = x/3+5/3;
A(5;0); B(-5;0);
AM = √10 (ед.);
AB = 10 (ед.);
BM = 3√10 (ед.);
p — полупериметр; __
p = (4√10 + 10)/2 = 2√10 + 5;
__ __ __ __ __ __
S = √(2√10 + 5) (2√10 + 5—√10) (2√10 + 5—3√10) (2√10 + 5—10) =
= √(2√10 + 5)(√10 + 5)(5—3√10)(2√10—5) =
= √(40—25)(25—10) = 15 (ед2);
Ответ: 15 (ед2).
Задача 4. Какая наименьшая плоскость может быть у треугольника OAB, если его стороны OA и OB лежат на графике функции y = (|x|—x)/2, а прямая AB проходит через точку M(0;1).
Решение:
-x, x<0
y =
0, x>0
A(a;-a); B(b;0);_
AO = |a|√2 = -a√2 (т.к. a<0);
BO = b;
Для т. B:
у1 = kx +z;
т.к. у1—график линейной пропорциональности, проходящий через т M(0;1), то z = 1.
0=kx+1;
k=-1/b;
Для т. A:
у1=kx+1;
-a=kx+1;
k=(-1-1a)/a;
у1A= у1B
(-a—a)/a = -1/b;
b+ab=a;
a(1—b)=b;
a = b/(1-b);