Реферат: Операторы в вейвлетном базисе

Кроме того, используя (1.8)  и (1.19), имеем

                                                                                                    (4.12)

                                                                                                     (4.13)

                                                                                                    (4.14)

Таким образом представление d/dx полностью определяется величинами  или, другими словами, отображением d/dx на подпространство V0.

Предложение 4.1.  1. Если существует интеграл (4.11), тогда коэффициенты , lÎ Z в (5.8) удлвлетворяют следующей системе линейных алгебраических уравнений:

                                                                            (4.15)

                                                                                                                          (4.16)

где

                                                                                      (4.17)

2. Если , тогда система (4.15)-(4.16) имеет единственное решение с конечным числом ненулевых , а именно с  и .

Замечание. Если М=1, тогда система (4.15)-(4.16) имеет единственное решение, но интеграл (4.11) может не быть абсолютно сходящимся. Для базиса Хаара () ,  мы получаем простейший конечный дифференциальный оператор .

Замечание 2. Заметим, что выражения (4.12) и (4.13) для  и  () могут быть упрощены с помощью смены порядка суммирования в (5.10) и (5.11) и введения коэффициентов корреляции ,   и  . Выражение для  особенно просто: .

Для доказательства Предложения 4.1 можно обратиться к [2].

Для решения системы (4.15)-(4.16) можно также воспользоваться итерационным алгоритмом. Начать можно с   и , а дальше итерировать, используя (4.15) для вычисления .

4.2 Оператор dn/dxn в вейвлетном базисе

 

Так же как и для оператора d/dx, нестандартная форма оператора dn/dxn полностью определяется своим отображением на подпространство V0, т.е. коэффициентами

                                       ,   lÎ Z,                                (4.18)

если интеграл существует.

Предложение 4.2. 1. Если интеграл в выражении (4.18) существует, тогда коэффициенты , lÎ Z удовлетворяют следующей системе линейных алгебраических уравнений

                                                                       (4.19)

                                                                                                            (4.20)

где   дано в формуле (4.17).

2. Пусть M ≥ (n+1)/2, где М – число исчезающих моментов. Если интеграл в (4.18) существует, тогда система (4.19)-(4.20) имеет единственное решение с конечным числом нулевых коэффициентов , а именно  для . Также для четных n

                                                                                                                           (4.21)

                                                                                           (4.22)

                                                                                                                         (4.23)

а для нечетных n

                                                                                                                        (4.24)

                                                                                        (4.25)

Замечание 3. Если M ≥ (n+1)/2, тогда решение линейной системы в Предложении 2 может существовать, когда интеграл в (4.18) не является абсолютно сходящимся.

       Интегральные уравнения второго рода

Линейное интегральное уравнение Фредгольма есть выражение вида

,

где ядро , а неизвестная функция f(x) и функция в правой части , . Для простоты будем рассматривать интервал и введём следующее обозначение для всех  и :

Предположим, что {φ1, φ1,…} – ортонормальный базис для ; ядро представимо в этом базисе в следующем виде:

где коэффициенты Kij вычисляются по формуле

, 

Аналогично функции f и g представимы в виде

,  ,

где коэффициенты fi и gi вычисляются по формулам:

,  ,   i=1,2,…

Интегральное уравнение в этом случае соответствует бесконечной системе уравнений

,   i=1,2,…

Представление ядра может быть урезано до конечного числа слагаемых, что приводит к представлению интегрального оператора R:

,  , ,

который аппроксимирует K. Тогда интегральное уравнение аппроксимируется системой n уравнений с n неизвестными:

,  i=1,2,…,n

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

function [a,r]=dif_r(wname)

[LO_D,HI_D,LO_R,HI_R] = wfilters(wname);

% вычисление коэффициентов a2k-1

len=length(LO_D);

a=zeros(len-1,1);

for k=1:len-1;

    for i=0:len-2*k;

        a(2*k-1)=a(2*k-1)+2*LO_D(i+1)*LO_D(i+2*k);

    end;

end;

% вычисление коэффициентов rl

f=zeros(len-2,1);

f(1)=-1/2;

R=zeros(len-2);

for l=len-2:-1:2;

    R(l,l)=-1;

    if (2*l<=len-2)

        R(l,2*l)=2;

    end;

    for n=1:2:len-1;

        if (abs(2*l-n)<len-2);

            if ((2*l-n)<0);

                R(l,abs(2*l-n))=-a(n)+R(l,abs(2*l-n));

            else

                R(l,2*l-n)=a(n)+R(l,2*l-n);

            end;

        end;

        if (abs(2*l+n)<len-2);

            if ((2*l+n)<0);

                R(l,abs(2*l+n))=-a(n)+R(l,abs(2*l+n));

            else

                R(l,2*l+n)=a(n)+R(1,2*l+n);

            end;

        end;

    end;

end;

for j=1:len-2;

    R(1,j)=j;

end;

r=inv(R)*f;

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

function [al, bet, gam]=difcoef(wname,N)

% извлечение коэффициентов rl

[LO_D,HI_D,LO_R,HI_R] = wfilters(wname);

[a,r]=dif_r(wname);

L=length(LO_D);

% вычисление значений αl, βl,  γl

J=length(r):-1:1;

R=[-r(J);0; r];

K=L+1;

al=zeros(2*L+1,1);

bet=al;

gam=al;

for i=-L+1:L+1;

for k=L+1:2*L;

    for k1=L+1:2*L;

        if(((2*i+k-k1+L)<length(R)+1)&&((2*i+k-k1+L)>0))

            al(i+L)=HI_D(k-L)*HI_D(k1-L)*R(2*i+k-k1+L)+al(i+L);

            bet(i+L)=HI_D(k-L)*LO_D(k1-L)*R(2*i+k-k1+L)+bet(i+L);

            gam(i+L)=LO_D(k-L)*HI_D(k1-L)*R(2*i+k-k1+L)+gam(i+L);

        end;

end;

end;

end;

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

1.    Вейвлет Добеши с M=2.
a1=1.1250 a3=-0.1250
r1=-0.6667  r2=0.0833

2.    Вейвлет Добеши с M=3.
a1=1.1719  a3=-0.1953  a5=0.0234

r1=-0.7452 r2=0.1452  r3=-0.0146  r4=-0.0003

3.    Вейвлет Добеши с M=4.
a1=1.19628906249870  a3=-0.23925781249914
a5=0.04785156250041  a7=-0.00488281249997

r1=-0.79300950497055  r2=0.19199897079726  r3=-0.03358020705113 

r4= 0.00222404967066  r5=0.00017220619000  r6=-0.00000084085054

4.    Вейвлет Добеши с M=5.
a1=1.21124267578280  a3=-0.26916503906311 a5=0.06921386718738

a7=-0.01235961914130  a9=0.00106811523422

r1=-0.82590601185686  r2=0.22882018706986  r3=-0.05335257193327

r4=0.00746139636621  r5=-0.00023923581985  r6=-0.00005404730164

r7=-0.00000025241171  r8=-0.00000000026960

5.    Вейвлет Добеши с M=6.

a1=1.22133636474683  a3=-0.29079437255810  a5=0.08723831176674

      a7=-0.02077102661228  a9=0.00323104858448  a11=-0.00024032592766

r1=-0.85013666156022  r2=0.25855294414318  r3=-0.07244058999853

      r4=0.01454551104340  r5=-0.00158856154379  r6=0.00000429689148

      r7=0.00001202657519  r8=0.00000042069120   r9=-0.00000000289967

      r10=0.00000000000070

6.    Вейвлет Койфмана с M=2.
a1=1.20035616471068  a3=-0.24753371156550  a5=0.05401594511476

a7=-0.00724698442340  a9=0.00043220193586  a11=-0.00002361577240

r1=-0.80177838961957  r2=0.20214744976459  r3=-0.03943577686925

r4=0.00404789045961  r5=-0.00008445623632  r6=0.00000255044096

r7=0.00000088836508  r8=0.00000000237860  r9=-0.00000000002099

r10=0.00000000000000

7.    Симлет с M=2.

a1=1.12499999999971  a3=-0.12499999999971

      r1=-0.66666666666616 r2=0.08333333333308

8.    Симлет с M=3.

a1=1.17187500000666  a3=-0.19531250000432  a5=0.02343749999766
r1=-0.74520547946903  r2=0.14520547945865  r3=-0.01461187214494
r4=-0.00034246575336

9.    Симлет с M=4.

a1=1.19628906249990  a3=-0.23925781249985  a5=0.04785156249993

a7=-0.00488281249998

r1=-0.79300950497424  r2=0.19199897079876  r3=-0.03358020705098

r4=0.00222404967071  r5=0.00017220619000  r6=-0.00000084085054

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

1.    Вейвлет Добеши с M=2.

α-3=-0.00520833333331	β-3 =-0.00139556871057	γ-3=0.01943776462271
α-2=0.04687500000004	β-2=0.02222890204378	γ-2=-0.04027109795592
α-1=0.71874999999873	β-1=-0.03887552924536	γ-1=0.00279113742108
α1=-0.71874999999873	β1=-0.00279113742108	γ1=0.03887552924536
α2=-0.04687500000004	β2=0.04027109795592	γ2=-0.02222890204378
α3=0.00520833333331	β3=-0.01943776462271	γ3=0.00139556871057

2.    Вейвлет Добеши с M=3.

α-5= -0.00000401327055	β-5 =0.00000042496289	γ-5=-0.00003790058109
α-4=0.00173507063342	β-4=-0.00018594182937	γ-4= 0.01618803080395
α-3= -0.01438088613327	β-3= 0.00249383057321	γ-3= -0.05023776816965
α-2= 0.09779091752885	β-2=-0.02225975249164	γ-2=0.03807446337594
α-1=0.84450449488848	β-1=0.05176823864378	γ-1=0.02782997442973
α1= -0.84450449488848	β1= -0.02782997442973	γ1=-0.05176823864378
α2=-0.09779091752885	β2= -0.03807446337594	γ2= 0.02225975249164
α3= 0.01438088613327	β3= 0.05023776816965	γ3= -0.00249383057321
α4= -0.00173507063342	β4=-0.01618803080395	γ4=0.00018594182937
α5=0.00000401327055	β5=0.00003790058109	γ5=-0.00000042496289

Вейвлет Добеши с M=4.

α-7=0.00000000205286	β-7 =0.00000000009443	γ-7=-0.00000004462725
α-6=-0.00000544992677	β-6 =-0.00000025123058	γ-6=0.00011822433115
α-5=-0.00041543477135	β-5 =-0.00001769213018	γ-5=0.00969983443149
α-4=0.00432716179594	β-4=0.00030224225713	γ-4= -0.04151919818136
α-3=-0.02134228538239	β-3=-0.00242879427312	γ-3= 0.05677199535135
α-2=0.14516544960962	β-2=0.01699891329704	γ-2=-0.00862627283270
α-1=0.93050197130889	β-1=-0.04758076037403	γ-1=-0.04917088083201
α1=-0.93050197130889	β1= 0.04917088083201	γ1=0.04758076037403
a2=-0.14516544960962	β2= 0.00862627283270	γ2=-0.01699891329704
a3=0.02134228538239	β3= -0.05677199535135	γ3=0.00242879427312
α4=-0.00432716179594	β4=0.04151919818136	γ4=-0.00030224225713
a5=0.00041543477135	β5=-0.00969983443149	γ5=0.00001769213018
a6=0.00000544992677	β6=-0.00011822433115	γ6=0.00000025123058
α7=-0.00000000205286	β7= 0.00000004462725	γ7=-0.00000000009443

3.    Симлет с M=2.

α-3=-0.00520833333331	β-3 =-0.00139556871057	γ-3=0.01943776462271
α-2=0.04687500000004	β-2=0.02222890204378	γ-2=-0.04027109795592
α-1=0.71874999999873	β-1=-0.03887552924536	γ-1=0.00279113742108
α1=-0.71874999999873	β1=-0.00279113742108	γ1=0.03887552924536
α2=-0.04687500000004	β2=0.04027109795592	γ2=-0.02222890204378
α3=0.00520833333331	β3=-0.01943776462271	γ3=0.00139556871057

ЛИТЕРАТУРА

1.    Beylkin G. Wavelets and Fast Numerical Algorithms

2.    Beylkin G. Wavelets, Multiresolution Analysis and Fast Numerical Algorithms

3.    Beylkin G. In The Representation.of Operators in Bases of Compactly Supported Wavelets

4.    Bradley K. Alpert   A Class of Bases in L2 for the Sparse Representation of Integral  Operators

5.    Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование          // Успехи физических наук – 2001, №5. – С.465-500