скачать рефераты
  RSS    

Меню

Быстрый поиск

скачать рефераты

скачать рефератыРеферат: Операторы в вейвлетном базисе

Реферат: Операторы в вейвлетном базисе

Белорусский государственный университет

Факультет прикладной математики и информатики


Кафедра математической физики


ГРОМОВА МАРИЯ МИХАЙЛОВНА


ОПРЕАТОРЫ В ВЕЙВЛЕТНОМ БАЗИСЕ


Курсовая работа студентки 4 курса


Научный руководитель:

Глушцов Анатолий Ильич

кафедры МФ

кандидат физ.-мат. наук


Минск 2004

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………..………………………………………………………..3

1.   МНОГОМАСШТАБНЫЙ АНАЛИЗ И ВЕЙВЛЕТЫ………………...5

2.   БЫСТРОЕ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ….……………………...9

3.   ДВУМЕРНЫЕ ВЕЙВЛЕТЫ…………………………………………..12

4.   МАТРИЧНЫЕ ОПЕРАЦИИ………………………………………….13

    4.1. Матричное умножение………………………………………...13

    4.2. Обращение матрицы…………………………………………...16

    4.3. Вычисление экспоненты, синуса и косинуса от матрицы.….16

      ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………………18


ВВЕДЕНИЕ

Вейвлет-преобразование сигналов (wavelet transform), теория которого оформилась в начале 90-х годов, является не менее общим по областям своих применений, чем классическое преобразование Фурье. Принцип ортогонального разложения по компактным волнам состоит в возможности независимого анализа функции на разных масштабах ее изменения. Вейвлет-представление сигналов (функций времени) является промежуточным между полностью спектральным и полностью временным представлениями.

Компактные волны относительно независимо были предложены в квантовой физике, физике электромагнитных явлений, математике, электронике и сейсмогеологии. Междисциплинарные исследования привели к новым приложениям данных методов, в частности, в сжатии образов для архивов и телекоммуникаций, в исследованиях турбулентности, в физиологии зрительной системы, в анализе радарных сигналов и предсказании землетрясений. К сожалению, объем русскоязычной научной литературы по тематике вейвлет-преобразований (да и нейронных сетей) относительно невелик.

Базовая идея восходит к временам 200-летней давности и принадлежит Фурье: аппроксимировать сложную функцию взвешенной суммой простых функций, каждая из которых, в свою очередь, получается из одной функции-прототипа. Эта функция-прототип выполняет роль строительного блока, а искомая аппроксимация получается комбинированием одинаковых по структуре блоков. При этом, если "хорошая" аппроксимация получается при использовании небольшого числа блоков, то тем самым достигается значительное уплотнение информации. В качестве таких блоков Фурье использовал синусоиды с различными периодами.

Что прежде всего отличает вейвлет-анализ от анализа Фурье? Основным недостатком Фурье-преобразования является его "глобальная" чувствительность к "локальным" скачкам и пикам функции. При этом модификация коэффициентов Фурье (например, обрезание высоких гармоник с целью фильтрации шума) вносит одинаковые изменения в поведение сигнала на всей области определения. Это особенность оказывается полезной для стационарных сигналов, свойства которых в целом мало меняются со временем.

При исследовании же нестационарных сигналов требуется использование некоторых локализованных во времени компактных волн, коэффициенты разложения по которым сохраняют информацию о дрейфе параметров аппроксимируемой функции. Первые попытки построения таких систем функций сводились к сегментированию сигнала на фрагменты ("окна") с применением разложения Фурье для этих фрагментов. Соответствующее преобразование - оконное преобразование Фурье - было предложено в 1946-47 годах Jean Ville и, независимо, Dennis Gabor. В 1950-70-х годах разными авторами было опубликовано много модификаций времени-частотных представлений сигналов.

В конце 70-х инженер-геофизик Морли (Jean Morlet) столкнулся с проблемой анализа сигналов, которые характеризовались высокочастотной компонентой в течение короткого промежутка времени и низкочастотными колебаниями при рассмотрении больших временных масштабов. Оконные преобразования позволяли проанализировать либо высокие частоты в коротком окне времени, либо низкочастотную компоненту, но не оба колебания одновременно. В результате был предложен подход, в котором для различных диапазонов частот использовались временные окна различной длительности. Оконные функции получались в результате растяжения-сжатия и смещения по времени гаусиана. Морли назвал эти базисные функции вейвлетами (wavelets) - компактными волнами. В дальнейшем благодаря работам Мейера (Yves Meyer), Добеши (Ingrid Daubechies), Койфмана (Ronald Coifman), Маллы (Stephane Mallat) и других теория вейвлетов приобрела свое современное состояние.

Среди российских ученых, работавших в области теории вейвлетов, необходимо отметить С.Б. Стечкина, И.Я. Новикова, В.И. Бердышева.

1. МНОГОМАСШТАБНЫЙ АНАЛИЗ И ВЕЙВЛЕТЫ

Определение 1. Многомасштабный анализ (multiresolutional analysis) – разложение гильбертова пространства L2(Rd), d³1, в  последовательность замкнутых подпространств

                                       ,                                               (1.1)

обладающих следующими свойствами:

1.     ,  и     полно в L2(Rd),                                                 

2.     Для любого fÎ L2(Rd), для любого jÎ Z,   f(x)ÎVj   тогда и только тогда, когда

f(2x) ÎVj-1,

3.     Для любого fÎ L2(Rd), для любого kÎ Zd,   f(x)ÎV0   тогда и только тогда, когда         f(x-k)ÎV0,

4.     Существует масштабирующая (scaling) функция jÎV0, что {j(x-k)}kÎZd образует                                 

базис Ритца в V0.

Для ортонормальных базисов можно переписать свойство 4 в виде:

4’. Существует масштабирующая функция jÎV0, что {j(x-k)}kÎZd образует         ортонормальный базис в V0.

Определим подпространство Wj как ортогональное дополнение к Vj в Vj-1,

                                                              ,                                                       (1.2)

и представим пространство L2(Rd) в виде прямой суммы

                                                                                                                 (1.3)

            Выбирая масштаб n, можем заменить последовательность (1.1) следующей последовательностью:

                                                                              (1.4)

и получить

                                                                                                            (1.5)

            Если имеем конечное число масштабов, то, не нарушая общности, можно положить j=0 и рассматривать

                                                ,   V0Î L2(Rd)                                   (1.6)

вместо (1.4). В числовой реализации подпространство V0 конечномерно.

            Функция j - так называемая масштабирующая (скейлинг-) функция. С ее помощью можно определить функцию y - вейвлет - такую, что набор  {y(x-k)}kÎZ  образует ортонормальный базис в W0. Тогда

                                                     , m=0..M-1.                                            (1.7)  

Из свойства 4’ непосредственно следует, что, во-первых, функция j может быть представлена в виде линейной комбинации базисных функций пространства V-1 . Так как функции  {jj,k(x)=2-j/2j(2-jx-k)}kÎZ   образуют ортонормальный базис в Vj, то имеем

                                                         .                                           (1.8)

Вообще говоря, сумма в выражении (1.8) не обязана быть конечной. Можно переписать (1.8) в виде

                                                          ,                                            (1.9)

где

                                                         ,                                         (1.10)

а 2p-периодическая функция m0 определяется следующим образом:

                                                            .                                            (1.11)

            Во-вторых, ортогональность {j(x-k)}kÎZ подразумевает, что

                                                                         (1.12)

и значит

                                                                                           (1.13)

и                                                      .                                                    (1.14)

Используя (1.9), получаем

                                                                                   (1.15)

и, рассматривая сумму в (1.15) по четным и нечетным индексам, имеем

     .   (1.16)

Используя 2p-периодичность функции m0 и (1.14), после замены x/2 на x, получаем необходимое условие

                                                                                                  (1.17)

для коэффициентов hk в (1.11). Заметив, что     

                                                                                                       (1.18)

и определив функцию y следующим образом:       

                                                 ,                                                (1.19)     

где

                                            ,      k=0,…,L-1 ,                                           (1.20)

или преобразование Фурье для y

                                                ,                                                    (1.21)

где

                                                   ,                                                     (1.22)

можно  показать,      что   при    каждом    фиксированном    масштабе   jÎZ     вейвлеты

{yj,k(x)=2-j/2y(2-jx-k)}kÎZ  образуют ортонормальный базис пространства Wj.

            Равенство (1.17) определяет пару квадратурных зеркальных фильтров (quadrature mirror filters, QMF) H и G, где  и . Коэффициенты QMF H и G вычисляются с помощью решения системы алгебраических уравнений. Число L коэффициентов фильтра в (1.11) и (1.22) связано с числом исчезающих моментов М, и  всегда четно.

            Выбранный фильтр Н  полностью определяет функции j и y и, таким образом, многомасштабный анализ. Кроме того, в правильно построенных алгоритмах значения функций j и y почти никогда не вычисляются. Благодаря рекурсивному определению вейвлетного базиса, все операции проводятся с квадратурными зеркальными фильтрами H и G, даже если в них используются величины, связанные с j и y.

           

                                                         


4. ОПЕРАТОРЫ


Сжатие операторов или, другими словами, представление их в разреженном виде в ортонормированном базисе непосредственно влияет на скорость вычислительных алгоритмов.

Нестандартная форма оператора Т с ядром K(x,y) достигается вычислением следующих выражений:

                                                                           (4.1)

                                                                           (4.2)

                                                                            (4.3)

4.1 Оператор d/dx в вейвлетном базисе

Нестандартные формы некоторых часто используемых операторов могут быть вычислены явно. Построим нестандартную форму оператора d/dx. Матричные элементы , ,  матриц , ,  и  матрицы , где i, l, jÎ Z для оператора d/dx легко вычисляются как

                                                             (4.4)         

                                                             (4.5)

                                                             (4.6)

                                                                (4.7)

где

                                                                                                   (4.8)

                                                                                                   (4.9)

                                                                                                  (4.10)

                                                                                                    (4.11)

Страницы: 1, 2


Новости

Быстрый поиск

Группа вКонтакте: новости

Пока нет

Новости в Twitter и Facebook

  скачать рефераты              скачать рефераты

Новости

скачать рефераты

© 2010.