|
|
|
|
|
Комплексные числа и соответствующие им точки комплексной плоскости обозначают буквой z и пишут z = x + iy, где x – действительная часть (x = Rez), y – мнимая часть (y = Imz).
Модуль и аргумент комплексного числа
Комплексное число z = x + iy изобразим точкой z комплексной плоскости; точка z имеет координаты (x, y). Рассмотрим радиус-вектор этой точки (рис. 2). Модулем комплексного числа z называют длину г радиус-вектора данной точки. Модуль комплексного числа z обозначают через |z|. Следовательно, по определению
r = |z|, |z|0. (17)
Поскольку г = (получено из формулы для расстояния между двумя точками на плоскости: 0 (0, 0) и z (x, y)), то
|z| = . (18)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аргументом комплексного числа z = x + iy называют величину угла φ наклона радиус-вектора к положительной полуоси Ox. Аргумент комплексного числа z обозначают так: Argz. При изменении z этот угол может принимать любые действительные значения (как положительные, так и отрицательные; последние отсчитываются по часовой стрелке). Если модули двух комплексных чисел равны, а значения угла φ отличаются друг от друга на 2π, или на число, кратное 2π, то точки, соответствующие этим комплексным числам, совпадают; комплексные числа в этом случае равны между собой. Следовательно, аргумент комплексного числа z имеет бесконечное множество значений, отличающихся друг от друга на число, кратное 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0, модуль которого равен нулю: |0| =0. Среди значений аргумента комплексного числа z0 существует одно и только одно значение, заключенное между —π, +π, включая последнее значение. Его называют главным значением аргумента и обозначают argz. Итак, модуль и аргумент комплексного числа z удовлетворяют следующим соотношениям:
|z|0, -π < argz π, Argz = argz + 2πn (n = 0, 1, 2, …).
Главное значение аргумента положительного действительного числа равно 0, главное значение аргумента действительного отрицательного числа равно π, главное значение аргумента мнимого числа bi (b > 0) равно π/2, главное значение аргумента мнимого числа –bi (b > 0) равно –π/2.
Выразим действительную и мнимую части комплексного числа z = x + iy через его модуль и аргумент. Пусть точка z изображает число z = x + iy (рис. 2). Из прямоугольного треугольника ОAz получаем
x = r cosφ, y = r sinφ, (19)
где r = |z|. Отсюда и из формул (17), (18) следует:
cosφ = , sinφ = , tgφ = .
Например: 1) найдём аргумент числа z = 1 – i. Так как Re z = 1, Im z = -1, то точка z = 1 – i лежит в IV четверти. Поэтому достаточно найти такое решение одного из последних уравнений , которое является углом в IV четверти. Рассмотрим уравнение cosφ = . Находим
cos φ = , φ = + 2kπ (k = 0, 1, 2, …);
2) найдём аргумент числа -1- i. Точка -1-i лежит в III четверти. Найдём такое решение уравнения tg φ = , которое является углом в III четверти. Находим
tg φ = 1, φ = + 2kπ (k = 0, 1, 2, …).
Тригонометрическая форма комплексного числа
Рассмотрим комплексное число
z = x + iy. (20)
Подставляя сюда выражения для x и y через модуль и аргумент комплексного числа (см. формулы (19)), получаем z = r cosφ + ir sinφ, или
z = r (cosφ + isinφ) (r0). (21)
Запись комплексного числа z в виде (21) называют тригонометрической формой этого числа.
Замечание. Не всякая запись комплексного числа через тригонометрические функции является тригонометрической формой этого числа. Например, запись числа ί в виде
i = cos + isin, или i = (-1)(cos + isin)
не является тригонометрической формой числа i: в первом случае у косинуса и синуса разные аргументы, во втором - имеется отрицательный множитель. Поскольку аргументами комплексного числа i являются числа π/2 + 2kπ (k = 0, ±1, ±2, ...) и только они, и |i| = 1, то тригонометрическая форма числа i имеет вид
i = cos ( + 2kπ) + isin ( + 2kπ) (k – любое целое число).
Очевидно, что
r (cosφ + isinφ) = r (cos(φ +2kπ) + isin(φ +2kπ)).
Два комплексных числа, заданных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную 2π. Следовательно, если
r1 (cosφ1 + isinφ1) = r2 (cosφ2 + isinφ2), (22)
то
r1 = r2, φ2 = φ1 + 2kπ (k = 0, ±1, ±2, ...). (23)
Если комплексное число z = x + iy задано в тригонометрической форме (21), то комплексное число = x – iy записывается в форме
= r (cos(-φ) + isin(-φ)),
поэтому
|z| = ||, argz = -arg,
т. е. при переходе от числа z к комплексно сопряженному числу модуль не меняется, а аргумент изменяет лишь знак (см. рис. 2).
Покажем, как умножать и делить комплексные числа, заданные в тригонометрической форме. Пусть даны два комплексных числа
z1 = r (cosφ + isinφ) , z2 = ρ (cosψ + isinψ), (24)
где r = |z1|, φ = Argz1, ρ = |z2|, ψ = Argz2.
Пользуясь правилами действий над комплексными числами в алгебраической форме, находим
z1z2 = r (cosφ + isinφ) ρ(cosψ + isinψ) = rρ(cosφcosψ + icosφsinψ + isinφcosψ + i2sinφsinψ ) = rρ(cosφcosψ – sinφsinψ) + i(cosφsinψ + sinφcosψ)),
или
z1z2 = rρ (cos(φ + ψ) + isin(φ + ψ) ). (25)
Из полученной тригонометрической формы произведения двух комплексных чисел следует, что
|z1z2| = rρ или |z1z2| = |z1| |z2|, (φ + ψ) = Arg(z1z2),
т. е. модуль произведения равен произведению модулей множителей, а сумма аргументов множителей является аргументом произведения.
Предположив, что z20, т. е. ρ0, найдем частное двух комплексных чисел z1 и z2 , заданных формулами (24):
или
. (26)
Из формулы (26) следует, что |
, или ; (27)
φ – ψ = Arg. (28)
Формула (27) означает, что модуль частного равен модулю делимого, деленному на модуль делителя. Формула (28) показывает, что разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного двух комплексных чисел.
Формула (26) позволяет найти модуль и аргумент комплексного числа, обратного данному числу. Полагая в этой формуле z1 = l = l (cos0 + isin0), z2 = z = r (cosφ + isinφ), получаем
z-1 = = (cos(0-φ) + isin(0-φ)),
z-1 = r-1 (cos(-φ) + isin(-φ)), (29)
откуда |z-1| = r-1, argz-1 = -φ, т. е.
|z-1| = |z|-1, argz-1 = -argz.
Таким образом, модуль комплексного числа z-1, обратного числу z, равен обратной величине модуля числа z, а его главное значение аргумента отличается от главного значения аргумента z лишь знаком.
Рассмотрим вопрос о возведении в степень комплексного числа z = r(cos φ + isin φ), заданного в тригонометрической форме. Если n — целое положительное число, то с помощью формулы (25) получаем следующую формулу
zn = (r (cosφ + isinφ))n = rn (cosnφ + isinnφ), (30)
откуда |zn| = rn, Arg zn = nφ.
Итак, при возведении комплексного числа в натуральную степень модуль возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени.