Реферат: Методы решения некорректно поставленных задач
(A+aE)z º Az+az=u , (2:4,1)
где a>0 – числовой параметр. Решение уравнения
za=(A+aE)-1u , (2; 4,2)
при соответствующем выборе параметра a, принимается за приближенное решение уравнения (2; 0,1). Здесь Е — единичный оператор.
Замечание. Для оценки уклонения rF(zT,zd) приближенного решения от точного можно использовать модуль непрерывности w обратного оператора на N.
Пусть u1, u2 Î N и rU(u1,u2)<= d. Тогда
w(d,N)= sup rF(A-1u1,A-1u2).
u1,u2 ÎN
Очевидно, что если rU(uT,ud)<= d и zd=A-1ud , то
rF(zT,zd)<=w(d,N).
Вернемся к уравнению (2; 4,1). Если || Az ||<=d и w(d,DR) = sup || z ||, то легко
DR
получить оценку уклонения za от zT. Очевидно, что
|| za - zT ||<=||za1 - zT|| + ||za - za1||, (2;4,3)
где
za1=(A + aE)-1uT.
Следовательно,
||za - zT||<=w(d,DR) + d/a. (2;4,4)
Если известен модуль непрерывности w(d,DR) или его мажоранта, то из (2; 4,4) можно найти значение параметра w как функцию d, при котором правая часть в неравенстве (2; 4,4) будет минимальной.
2. 5. Метод квазиобращения
2.5.1. Известно, что задача Коши для уравнения теплопроводности с обратным течением времени является неустойчивой к малым изменениям начальных значений. Неустойчивость сохраняется и в случаях, когда решение подчиняется некоторым дополнительным граничным условиям. Для устойчивого решения таких задач разработан метод квазиобращения . Мы изложим существо его для простейшего уравнения теплопроводности, не вдаваясь в вопросы обоснования. Подробное изложение в применении к более широкому классу задач содержится в .
2.5.2. Рассмотрим прямую задачу. Пусть D — конечная область n-мерного евклидова пространства Rn точек x = (x1, x2, ..., xn), ограниченная кусочно-гладкой поверхностью S, a t — время. Пусть, далее, j(x) — заданная непрерывная в D функция. Прямая задача состоит в нахождении решения u=u(x,t) уравнения
(2;5,1)
в области G º {x Î D, t > 0}, удовлетворяющего граничным условиям
u(х, t) =0 при xÎS (2; 5,2)
и начальным условиям
u(x, 0)= j(x). (2; 5,3)
Здесь
Известно, что решение такой задачи существует. Каждой функции j(x)ÎC отвечает решение задачи (2; 5,1)— (2; 5,3). Будем обозначать его через u(х, t; j).
Обратная задача состоит в нахождении функции j(х) по известной функции u(х,t; j). В реальных задачах функция u(x,t;j) обычно получается в результате измерений и, следовательно, известна приближенно. Будем полагать, что uÎL2. Такая функция может и не соответствовать никакой «начальной» функции j(х). Таким образом, может не существовать в классе функций С решения обратной задачи. Поэтому будем рассматривать задачу нахождения некоторого обобщенного решения обратной задачи.
Пусть заданы число T > 0 и функция y(x), определенная в области D, y(x) ÎL2. На функциях j(х) класса С определен функционал
Обобщенным решением обратной задачи будем называть функцию j(х)., на которой достигается
f0=inf f(j)
jÎC
Замечание. «Естественный» подход к решению этой задачи — выбрать функцию j(х).так, чтобы f(j)=0 .
Для этого достаточно найти решение прямой задачи
u(x, t) = 0 для х Î S, 0 < t < T;
u(x,T) = y(x)
и положить j (x) = u(x,0). Но такая задача при заданной функции y(x) из L2, вообще говоря, неразрешима и, кроме того, неустойчива к малым изменениям функции y(x).
На некотором классе обобщенных функций j (x) f0=0 . Поэтому рассматривается задача нахождения приближенного значения f0 с заданным уровнем погрешности.
Для заданного числа e > 0 найти функцию je(x), на которой f (je)<=e.
Эта задача и решается методом квазиобращения.
Идея метода квазиобращения состоит в том, что вместо оператора теплопроводности находится «близкий» ему оператор Вa , для которого задача с обращением отсчета времени
Baua = 0, x Î D, t < Т, a > 0;
ua (x,T)= y(x);
ua (x,t) = 0 для xÎ S, t< Т
устойчива. Решив эту задачу, полагают j (x)=ua(x,0). Обычно в качестве оператора Вa берут оператор и решают прямую задачу
xÎ D, t<T, a>0;
ua (x,T)= y(x);
ua (x,t) = 0 для xÎ S, 0< t<= Т
Dua=0 для xÎ S, 0< t<= Т.
Затем полагают
j (x)=ua(x,0).
Следует отметить, что uaне сходится в обычном смысле при a à0.
3.МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
В главе предыдущем разделе рассмотрены случаи, когда класс возможных решений уравнения (2; 0,1) является компактом. Однако для ряда прикладных задач характерна ситуация, когда этот класс F не является компактом, и, кроме того, изменения правой части уравнения
Аz= u, (3; 0,1)
связанные с ее приближенным характером, могут выводить за пределы множества AF — образа множества F при отображении его с помощью оператора А. Такие задачи называются существенно некорректными. Был разработан новый подход к решению некорректно поставленных задач, позволяющий строить приближенные решения уравнения (3; 0,1), устойчивые к малым изменениям исходных данных, для существенно некорректных задач. В основе этого подхода лежит фундаментальное понятие регуляризирующего оператора (P.O.) . Для упрощения изложения в настоящей главе мы будем полагать, что в уравнении (3; 0,1) приближенной может быть лишь правая часть и, а оператор А известен точно.
3.1. Понятие регуляризирующего оператора
3.1.1. Пусть оператор А в уравнении (3; 0,1) таков, что обратный ему оператор
A-1 не является непрерывным на множестве AF и множество возможных решений F не является компактом.
Пусть zT есть решение уравнения Az =uT, т. е. AzT=uT. Часто вместо uT мы имеем некоторый элемент ud и известное число d > 0 такие, что rU(ud,uT)<= d, т. е. вместо точных исходных данных (uT,А) мы имеем приближенные исходные данные (ud, А) и оценку их погрешности d. Задача состоит в том, чтобы по известным исходным данным (ud, A, d) найти приближение zd к элементу zt, обладающее свойством устойчивости к малым изменениям ud. Очевидно, что в качестве приближенного решения zd уравнения (3; 0,1) нельзя брать точное решение этого уравнения с приближенной правой частью и= ud, т. е. элемент zT, определяемый по формуле
zd=A-1 ud
так как оно существует не для всякого элемента u ÎU и не обладает свойством устойчивости к малым изменениям правой части и.
Числовой параметр d характеризует погрешность правой части уравнения (3;0,1). Поэтому представляется естественным определить zd с помощью оператора, зависящего от параметра, значения которого надо брать согласованными с погрешностью d исходных данных ud . Эта согласованность должна быть такой, чтобы при dà0, т. е. при приближении (в метрике пространства U) правой части ud уравнения (3; 0,1) к точному значению uT, приближенное решение zd стремилось бы (в метрике пространства F) к искомому точному решению zt уравнения AzT =uT.
Пусть элементы zT Î F и uT Î U связаны соотношением AzT = uT.
Определение 1. Оператор R(и, d), действующий из пространства U в пространство F, называется регуля-ризирующим для уравнения Az = и (относительно элемента uT), если он обладает свойствами:
1) существует такое число d1 > 0, что оператор R(u, d) определен для всякого d, 0<=d<=d1, и любого udÎU такого, что
rU(ud,uT)<= d;
2) для всякого e > 0 существует d0=d0(e, ud)<=d1 такое, что из неравенства
rU(ud,uT)<= d<= d0;
следует неравенство
rF(zd,zT)<= e,
где
zd=R(ud,d).
Здесь не предполагается, вообще говоря, однозначность оператора R(u,d). Через zd обозначается произвольный элемент из множества {R(ud,d)} значений оператора R(ud,d).
3.1.2. В ряде случаев целесообразнее пользоваться другим определением регуляризирующего оператора (P.O.).
Определение 2. Оператор R(u, a), зависящий от параметра a и действующий из U в F, называется регуляризирующим для уравнения Az=и (относительно элемента uT), если он обладает свойствами:
1) существуют такие числа d1>0, a1>0, что оператор R(u, a ) определен для всякого a, принадлежащего промежутку (0, a1), и любого uÎU, для которого
rU(u,uT)<=d1;
2) существует такой функционал a=a(u, d), определенный на множестве Ud1º{u; r(u,uT)<= d1} элементов иÎU, что для любого e > 0 найдется число d(e)<=d1 такое, что если u1ÎU и rU(u1,uT)<= d<= d(e), то
rF(za,zT)<= e , где
za=R(u1, a(u1,d)).
В этом определении не предполагается однозначность оператора R(u1, a(u1,d)). Следует отметить, что при a= d получаем определение 1 .
3.1.3. Если rU(ud,uT)<= d, то известно, что в качестве приближенного решения уравнения (3; 0,1) с приближенно известной правой частью ud можно брать элемент za=R(d, a), полученный с помощью регуляризирующего оператора R(u, a ), где a=a(ud)=a1(d) согласовано с погрешностью исходных данных ud. Это решение называется регуляризованным решением уравнения (3; 0,1). Числовой параметр a называется параметром регуляризации. Очевидно, что всякий регуляризирующий оператор вместе с выбором параметра регуляризации a, согласованного с погрешностью исходных данных ud , a=a(ud), определяет устойчивый к малым изменениям правой части и метод построения приближенных решений уравнения (3;0,1). Если известно, что rU(ud,uT)<= d, то согласно определению регуляризирующего оператора можно так выбрать значение параметра регуляризации a=a(ud) ,
что при dà0 регуляризованное решение R(ud,a(ud)) стремится (в метрике F) к искомому точному решению zT, т. е. rF(zT,za(ud)). Это и оправдывает предложение брать в качестве приближенного решения уравнения (3; 0,1) регуляризованное решение.
Таким образом, задача нахождения приближенного решения уравнения (3; 0,1), устойчивого к малым изменениям правой части, сводится:
а) к нахождению регуляризирующих операторов;
б) к определению параметра регуляризации a по дополнительной информации о задаче, например, по величине погрешности, с которой задается правая часть ud.
Описанный метод построения приближенных решений называется методом регуляризации.
3.2. О решении вырожденных и плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений
3.2.1. Известно, с какими трудностями связано решение так называемых плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений: малым изменениям правых частей таких систем могут отвечать большие (выходящие за допустимые пределы) изменения решения.
Рассмотрим систему уравнений
Аz=u, (3; 2,1)
где А — матрица с элементами aij, А ={aij}, z — искомый вектор с координатами zj , z={zj}, и — известный вектор с координатами иi ,u= {ui}, i, j =1, 2, ..., п. Система (3; 2,1) называется вырожденной, если определитель системы равен нулю, detA = 0. В этом случае матрица А имеет равные нулю собственные значения. У плохо обусловленных систем такого вида матрица А имеет близкие к нулю собственные значения.
Если вычисления производятся с конечной точностью, то в ряде случаев не представляется возможным установить, является ли заданная система уравнений вырожденной или плохо обусловленной. Таким образом, плохо обусловленные и вырожденные системы могут быть неразличимыми в рамках заданной точности. Очевидно, такая ситуация имеет место в случаях, когда матрица А имеет достаточно близкие к нулю собственные значения.
В практических задачах часто правая часть и и элементы матрицы А, т. е. коэффициенты системы (3; 2,1), известны приближенно. В этих случаях вместо системы (3;2,1) мы имеем дело с некоторой другой системой Az=и такой, что ||A-A||<=h, ||u-u||<= d, где смысл норм обычно определяется характером задачи. Имея
вместо матрицы А матрицу A, мы тем более не можем высказать определенного суждения о вырожденности или невырожденности системы (3; 2,1).
В этих случаях о точной системе Аz=u, решение которой надо определить, нам известно лишь то, что для матрицы А и правой части и выполняются неравенства
||A-A||<=h, ||u-u||<= d. Но систем с такими исходными данными (А, и) бесконечно много, и в рамках известного нам уровня погрешности они неразличимы. Поскольку вместо точной системы (3; 2,1) мы имеем приближенную систему Аz= и, то речь может идти лишь о нахождении приближенного решения. Но приближенная система Аz=и может быть неразрешимой. Возникает вопрос:
что надо понимать под приближенным решением системы (3; 2,1) в описанной ситуации?
Среди «возможных точных систем» могут быть и вырожденные. Если они разрешимы, то имеют бесконечно много решений. О приближенном нахождении какого из них должна идти речь?
Таким образом, в большом числе случаев мы должны рассматривать целый класс неразличимых между собой (в рамках заданного уровня погрешности) систем уравнений, среди которых могут быть и вырожденные, и неразрешимые. Методы построения приближенных решений систем этого класса должны быть одними и теми же, общими. Эти решения должны быть устойчивыми к малым изменениям исходных данных (3; 2,1).
В основе построения таких методов лежит идея «отбора». Отбор можно осуществлять с помощью специальных, заранее задаваемых функционалов W[ z ] , входящих в постановку задачи.
Неотрицательный функционал W[ z ] , определенный на всюду плотном в F подмножестве F1 множества F, называется стабилизирующим функционалом, если:
а) элемент zT принадлежит его области определения;
б) для всякого числа d>0 множество F1,d элементов z из F1 , для которых