Реферат: Методы решения некорректно поставленных задач

Рассмотрим задачу решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода

                                    (2;1,1)

на множестве М1 монотонно убывающих (возрастающих) и равномерно ограниченных функций |z(s)|<=B. Она корректна по Тихонову, так как множество M1 — компакт в пространстве L2.

Действительно, возьмем любую последовательность E= {z1(s), z2(s), .... zn(s), ...} из M1. Согласно теореме Хелли о выборе существуют подпоследовательность

                                        E1 = {Zn1 (s), Zn2 (s), ..., Znk (s), ...},

последовательности Е и функция z*(s) из множества M1, z*(s) ÎL2, такие, что

всюду, кроме, может быть, счетного множества точек разрыва функции z*(s). Из поточечной сходимости под­последовательности Е1 к функции z*(s) всюду, кроме, может быть, счетного множества точек, следует, как известно, сходимость подпоследовательности E1 к функ­ции z*(s) по метрике L2.

Таким образом, в качестве приближенного решения на множестве М1 уравнения (2; 1,1) с приближенно извест­ной правой частью u1 Î АМ1 можно брать точное решение этого уравнения с правой частью u=u1 . Эта послед­няя задача эквивалентна задаче нахожде­ния на множестве M1 функции, минимизирующей функ­ционал

                                      N[z,u1]=|| A1z – u1 ||2L2 .

Пусть rU(uT, u1)<= d. Тогда, очевидно, в качестве при­ближенного решения уравнения (2; 1,1) можно брать функцию zd, для которой

            || A1zd – u1 ||2L2<= d2 .                                                                (2;1,2)

Если заменить интегральный оператор A1z интеграль­ной суммой на фиксированной сетке с n узлами и обозна­чить значения искомой функции в узловых точках через zi , то задача построения приближенного решения уравне­ния (2; 1,1) сведется к задаче нахождения конечномер­ного вектора, минимизирующего функционал N[z,и1] и удовлетворяющего неравенству (2; 1,2).

В ряде других случаев компактные классы коррект­ности можно указать эффективно, что дает возможность строить устойчивые приближенные решения.

2.1.4. В силу погрешности исходных данных элемент и может не принадлежать множеству AM. В этих условиях уравнение (2; 0,1) не имеет решения (классического) и возникает вопрос: что надо понимать под приближенным решением уравнения (2; 0,1)?

В этом случае вводится понятие квазирешения и метод подбора при условии компактности множества М позво­ляет найти приближение к квазирешению. В следующем параграфе вопрос о квазирешении рассматривается под­робнее.

2.2. Квазирешения

2.2.1.  Пусть оператор А в уравнении (2; 0,1) — вполне непрерывный. Построение устойчивого к малым измене­ниям правой части и приближенного решения уравнения (2; 0,1) по формуле

                                                                 z=A-1u                (2; 2,1)

возможно в тех случаях, как отмечалось в 2.1. , когда ре­шение ищется на компакте МÌF и правая часть уравне­ния принадлежит множеству N = AM.

Обычно не существует эффективных критериев, поз­воляющих установить принадлежность элемента и множеству N. Это приходится предполагать известным априори. В практических задачах часто вместо точного значения правой части иT нам известно ее приближенное значение u1, которое может не принадлежать множеству N=AM. В этих случаях нельзя строить приближенное решение уравнения (2; 0,1) по формуле (2; 2,1), так как сим­вол А-1u может не иметь смысла.

2.2.2. Стремление устранить затруднения, связанные с от­сутствием решения уравнения (2; 0,1) при неточной правой части, привело В. К. Иванова  к понятию квазирешения уравнения (2; 0,1) — обобщению понятия решения этого уравнения.

Элемент z1ÎМ, минимизирующий при данном и функ­ционал rU(Az1,и) на множестве М, называется квазиреше­нием уравнения (2; 0,1) на М,

Если М — компакт, то квазирешение, очевидно, существу­ет для любого иÎU и если, кроме того, иÎAM, то ква­зирешение z1 совпадает с обычным (точным) решением уравнения (2; 0,1). Квазирешение может быть и не одно. В этом случае под квазирешенпем будем разуметь любой элемент из множества квазирешений D.

Можно указать достаточные условия, при которых квазирешение единственно и непрерывно зависит от пра­вой части и.

Напомним определение. Пусть элемент у и множество Q принадлежат пространству U. Элемент q множества Q называется проекцией элемента у на множество Q, q=Ру, если выполняется равенство

где

Теорема 1. Если уравнение Аz=u может иметь на компакте М не более одного решения и проекция каждого элемента uÎU на множество N = AM единственна, то квазирешение уравнения (2; 0,1) единственно и непре­рывно зависит от правой части u.

Доказательство. Пусть z1 — квазирешение и и1=Аz1. Очевидно, и1 есть проекция элемента u на множе­ство N = AM. По условию теоремы она определяется од­нозначно. Отсюда, в силу взаимной однозначности ото­бражения множества М на множество N, следует един­ственность квазирешения z1.

Очевидно, что z1 = А-1u=А-1Ри. Согласно лемме о непрерывности обратного отображения компакта (см. предыдущий параграф) оператор А-1 непрерывен на N. Оператор проектирования Р непрерывен на U. Поэтому А-1P — непрерывный на U оператор и, следовательно, квазирешение z1 непрерывно зависит от правой части и.

Таким образом, при переходе к квазирешению восста­навливаются все условия корректности, т. е. задача на­хождения квазирешения уравнения (2; 0,1) на компакте М является корректно поставленной.

Если условие единственности решения уравнения (2; 0,1) не выполнено, то квазирешения образуют некото­рое множество D элементов компакта М. В этом случае без упомянутых в теореме 1 ограничений на множество N имеет место непрерывная зависимость множества квази­решений D от и в смысле непрерывности многозначных отображений. Для случая, когда уравнение (2; 0,1) линейно, легко получить более общие результаты, содержащиеся в сле­дующей теореме .

Теорема 2. Пусть уравнение (2; 0,1) линейно, одно­родное уравнение Az=0 имеет только нулевое решение, множество М выпукло, а всякая сфера в пространстве U строго выпукла. Тогда квазирешение уравнения (2; 0,1) на компакте М единственно и непрерывно зависит от пра­вой части и.

Доказательство. Пусть  z1 — квазирешение и u1=Az1. Так как множество М выпукло, то в силу линей­ности оператора А множество N=AM также выпукло. Очевидно, что и1 есть проекция элемента и на множество N. В силу того, что сфера в пространстве U по условию теоремы строго выпукла, проекция и определяется одно­значно. Далее доказательство завершается, как в тео­реме 1.

2.2.3. Пусть F и U — гильбертовы пространства, МÎSR — шар (|| z ||<=R ) в пространстве F и А — вполне непре­рывный линейный оператор.

В этом случае квазирешение уравнения (2; 0,1) мож­но представить в виде ряда по собственным элементам (функциям, векторам) jn оператора А*А, где А* — опе­ратор, сопряженный оператору А.

Известно, что А*А — самосопряженный положитель­ный вполне непрерывный оператор из F в F. Пусть l1>=l2>=…>=ln>=… — полная система его собственных значений, a j1, j2,…, jn,…—отвечающая им полная ортонормированная система его собственных элементов (функций, векторов). Элемент А*и можно представить в виде ряда

                                                                                 (2;2,2)

В этих условиях справедлива

Теорема 3. Квазирешение уравнения (2, 0,1) на множестве SR выражается формулами:

                                                                          (2;2,3)

если

                                                                                          (2;2,4)

и

                                                                        

если

                                                                                     (2;2,5)

           

Здесь b — корень уравнения

                                                                      (2;2,6)   

Доказательство. Квазирсшение минимизирует функционал

                                         rU2 (Az, u) == (Az — u, Az — u)                           (2;2,7)

(где (v,w ) — скалярное произведение элементов v и w из U), уравнение Эйлера для которого имеет вид

                                         A*Az=A*u.                                                             (2;2,8)

Решение этого уравнения будем искать в виде ряда по системе {jn}:

                                                                              (2;2,9)      

Подставляя этот ряд в уравнение (2; 2,8) и используя разложение (2;2,2), находим сn=bn/ln. Следователь­но, неравенство (2; 2,4) означает, что ||z||<R и речь идет о нахождении безусловного экстремума функциона­ла (2; 2,7). Ряд (2; 2,3) и будет решением задачи.

Если же выполняется неравенство (2; 2,5), то это означает, что ||z||>=R и надо решать задачу на услов­ные экстремум функционала (2; 2,7) при условии, что || z ||2 = R2.  Методом неопределенных множителей Лагранжа эта задача сводится к нахождению безусловного экстремума функционала

(Аz-u, Аz-u) + b (z, z),

а последняя — к решению отвечающего ему уравнения Эйлера A*Az+bz=А*и. Подставляя сюда z в виде ряда (2; 2,9) и используя разложение (2; 2,2), находим

Параметр b определяем из условия || z ||2 = R2 , которое эквивалентно (2; 2,6).

2.3. Приближенное нахождение квазирешений

В предыдущем параграфе мы видели, что нахождение квазирешения связано с нахождением элемента в беско­нечномерном пространстве. Для приближенного нахожде­ния квазирешения естественно переходить к конечномер­ному пространству. Можно указать достаточно общий под­ход к приближенному нахождению квазирешений урав­нения (2; 0,1) , в котором А—вполне непре­рывный оператор.

Будем полагать, что выполнены указанные в  2.2. дос­таточные условия существования единственного квазире­шения на заданном множестве М, т. е. полагаем, что множество М — выпуклый компакт и сфера в пространст­ве U строго выпукла. Пусть

                                M1 Ì M2 Ì...Ì Mn Ì...

— возрастающая цепочка компактных замкнутых множеств Мn такая, что замыкание их объединения  совпадает с М. Квазирешение уравнения (2; 0,1) сущест­вует на каждом множестве Мn . Но оно может быть не единственным. Обозначим через Тn совокупность всех квазирешений на множестве Мn .

Покажем, что в качестве приближения к квазиреше­нию z1 на множестве М можно брать любой элемент z1n из Тn .  При этом

Пусть Nn = АМn и Вn — множество проекций элемен­та и на множество Nn . Очевидно, что Вn = АТn  и N1 Í N2 Í …Í Nn; тогда

            r U(u,N1)>= …>=r U (u,Nn)>=… r U (u,N)= r U (u,Az1) .                         (2;3,1)

Так как множество всюду плотно на N, то для всякого e >0 найдется такое число n0(e), что для всех п >n0(e)                                     

                      rU(u,Nn)< rU(u,N)+ e                                 (2; 3,2)

Из (2; 3,1) и (2; 3,2) следует, что

                                            (2;3,3)

Поскольку то

                                                                                                                     (2;3,4)    

Каждое множество Вn есть компакт, так как оно является замкнутым подмножеством компакта Nn. Поэтому в Вn  найдется такой элемент уn , что

rU(yn ,u) = inf rU(y,u)

                  yÎBn

Последовательность {yn} имеет хотя бы одну пре­дельную точку, принадлежащую N, так как N — компакт. Пусть у0 — какая-нибудь предельная точка множества {yn} и {уnk} — подпоследовательность, сходящаяся к y0 , т. е.

Из (2; 3,3) и (2; 3,4) следует, что

Таким образом,

rU(u,y0)= rU(u,N).

Отсюда и из единственности квазирешения на множестве М следует, что

y0=Az1.

Так как у0 — произвольная предельная точка множества {yn}, то последовательность {уn} сходится к Аz1. Это и означает, что в качестве приближения к квазирешению мож­но брать любой элемент z1n из множества Тп , так как в силу леммы параграфа 2.1. z1nàz* при nà¥.

Если в качестве Мп брать конечномерные (n-мерные) множества, то задача нахождения приближенного квази­решения на компакте М сводится к минимизации функ­ционала rU(Az, u) на множестве Мп , т. е. к нахождению минимума функции п переменных.

2.4. Замена уравнения Аz=u близким ему

Уравнения вида (2; 0,1), в которых правая часть u не принадлежит множеству N=AM, изучались М. М. Лав­рентьевым . Ему принадлежит идея замены исходного уравнения (2; 0,1) близким ему, в некотором смысле, уравнением, для которого задача нахождения решения устойчива к малым изменениям правой части и разрешима для любой правой части u ÎU. В простей­шем случае это делается следующим образом.

Пусть F ºU ºН — гильбертовы пространства, А — линейный, ограниченный, положительный и самосопря­женный оператор, SR º есть шар радиуса R в пространстве F, В — вполне непрерывный оператор, определенный на SR при любом R > 0. В ка­честве класса корректности М берется множество DR=BSR — образ шара SR при отображении с помощью оператора В. Предполагается, что искомое точное решение zT уравнения (2; 0,1) с правой частью u=uT существует и принадлежит множеству DR. Уравнение (2; 0,1) заме­няется уравнением

Страницы: 1, 2, 3, 4