Реферат: Цифровая обработка сигналов
Пример. Определить отсчеты спектра сигнала на Рис. 1.5, а.
Здесь N = 2 поэтому X(jkw1) =
x(nT) e-jpkn следовательно
X(j0w1)
=
x(nT)e-j0 = x(0T)
+ x(1T) = a + b
X(j1w1)
=
x(nT)e-jpn
= x(0T) e-j0 + x(1T) e-jp = a - b
график отсчетов спектра приведен на Рис. 1.5, б, где w1 = wд/N = 0,5wд.
Сигнал с конечным числом отсчетов N имеет спектр, который повторяет с конечной погрешностью спектр сигнала с бесконечным числом отсчетов : спектры совпадают на отсчетных частотах kw1 и отличаются на других частотах. Отличие спектров тем меньше, чем больше N. В самом деле, реальные сигналы обладают конечной энергией и, следовательно, начиная с некоторого номера отсчета остальными номерами можно пренебречь ввиду их малости, что не окажет заметного влияния на спектр сигнала.
Пример. Осуществить дискретизацию экспоненциального импульса X(t) = Ae-at = 1 e-10t и сравнить спектры исходного и дискретного сигналов.
Решение.
График сигнала X(t) представлен на Рис. 1.8
Пусть T = 0,02с. В этом случае плавным соединением отсчетов сигнала (штриховая линия на Рис. 1.8) сигнал восстанавливается удовлетворительно хотя заметны искажения в окрестности точки t = 0, поэтому ошибки наложения будут некоторым образом влиять на спектральные характеристики.
Пусть tu = 0,4с. В этом случае
N = tu/T = 20.
Расчет спектра по формуле прямого ДПФ в точке w = 0 (k = 0) запишется так
X(j0w1) = 1,0 + 0,8187 + 0,6703 + 05488 + 0,4493 + 0,368 + 0,3012 + 0,2466 + 0,2019 + 0,1653 + 0,1353 + 0,1108 + 0,09072 + 0,07427 + 0,06081 + 0,04979 + 0,04076 + 0,03337 + 0,02732 + 0,02237 = 5,41
Истинное значение спектра в точке w = 0 можно определить зная спектр аналогового экспоненциального импульса
Xa(jw) =
, следовательно Xa(j0)
=
= 0,1.
чтобы сравнить спектры дискретного и непрерывного сигналов, дискретный спектр необходимо денормировать умножением на T, так как формулы Фурье для дискретных сигналов применяются в нормированном виде. Поэтому
X(jow1) = 5,41 T = 5,42Ч0,02 = 0,1082.
Таким образом совпадение спектров Xa(jw) и X(jw) в точке w = 0 вполне удовлетворительное. Некоторая неточность объясняется влиянием ошибок наложения.
Уместно заметить, что выбор шага дискретизации достаточно контролировать в точках максимальной крутизны исходной функции X(t). В рассмотренном примере такой точкой является момент времени t = 0.
В заключение отметим, что формулы ДПФ упрощают расчетные процедуры по взаимному преобразованию сигналов и их спектров, что особенно важно для технических систем, функционирующих В реальном масштабе времени. В этих случаях применяется алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ), основанный на формулах ДПФ. Ускоренная процедура расчетов по алгоритму БПФ достигается за счет исключения повторных арифметических операций, характерных для расчетов по формулам ДПФ.
2. Дискретные цепи.
2.1 Разностное уравнение и дискретная цепь.
Непрерывный сигнал на входе линейной системы x(t) и соответствующий сигнал y(t) на выходе связаны дифференциальным уравнением. Замена непрерывной переменной t на дискретную переменную nT приводит к замене дифференциального уравнения разностным уравнением. Каноническая форма разностного уравнения общего вида, учитывающая в явном виде наличие в системе как прямых, так и обратных связей, запишется так
y(nT) =
am x(nT
- mT) +
y(nT -
), (2.1)
где (M + 1) - число прямых связей,
Z - число обратных связей,
m, 
, n -
целые положительные числа.
Аналитические методы решения разностных уравнений во многом повторяют методы решения дифференциальных уравнений и позволяют получить решение в общем виде, пригодном для анализа работы дискретной системы. Численные методы решения приводят к результату в виде числовой последовательности, поэтому разностное уравнение в этом случае воспринимается как алгоритм функционирования дискретной системы, пригодной для программирования на ЭВМ работы такой системы.
Система работа которой описывается разностными уравнениями, является дискретной так как она способна воздействовать только на отсчеты сигнала. Дискретная система и дискретная цепь осуществляет, согласно (2.1) следующие операции над дискретными сигналами.
1. Сдвиг (запаздывание) на целое число интервалов T
2.
Умножение на некоторый коэффициент
am или b
3. Сложение сигналов.
Перечисленные операции образуют полный базис, в котором можно реализовать заданное воздействие на сигнал.
Набору операций базиса соответствует набор типов элементов дискретной цепи : элементы памяти (задержки), умножители и сумматоры.
Каноническая схема дискретной цепи общего вида, соответствующая разностному уравнению (2.1), приведена на Рис. 2.1.
Разностное
уравнение с постоянными коэффициентами am , b
описывает линейную
дискретную цепь. Разностное уравнение с коэффициентами, зависящими от уровня
отсчетов дискретного сигнала, описывает нелинейную дискретную цепь.
Разностное уравнение составляется непосредственно по схеме цепи, учитывая возможные пути прохождения сигнала, или по системным характеристикам цепи.
Пример. Составить разностное уравнение цепи, схема которой приведена на Рис. 2.2, а.
Решение.
Здесь имеется три пути прохождения сигнала от входа до выхода цепи, по которым сигналы проходят и затем складываются в сумматоре. Поэтому разностное уравнение имеет вид
y(nT) = 0,5 x(nT) - 0,7 x(nT - T) + 0,35 x(nT - 2T).
Пример. Определить y(nT) (Рис. 2.2, б), если x(nT) = {1,0 ; 0,5}.
Решение.
Разностное уравнение цепи y(nT) = 0,5 x(nT - T) + 0,1 x(nT) численное решение разностного уравнения :
n=0; y (0T) = 0,5 x(-T) + 0,1 x(0T) = 0,1;
n=1; y (1T) = 0,5 x(0T) + 0,1 x(1T) = 0,55;
n=2; y (2T) = 0,5 x(1T) + 0,1 x(2T) = 0,25;
n=3; y (3T) = 0,5 x(2T) + 0,1 x(3T) = 0.
Следовательно y(nT) = {0,1; 0,55; 0,25}.
Графики сигналов x(nT) и y(nT) приведены на рис (2.3,а,б).
Пример. Определить сигнал на выходе цепи (рис 2.2,в), если y(nT)={0,1; 0,1}.
Решение.
Цепь содержит обратную связь (ОС), поэтому сигнал на выходе цепи формируется как сигнал со стороны входа, так и со стороны выхода.
y(nT) = 0,4 x(nT-T) - 0,08 y(nT-T)
n=0 y(0T) = 0,4 x(-T) - 0,08 y(-T) = 0
n=1 y(1T) = 0,4 x(0T) - 0,08 y(0T) = 0,4
n=2 y(0T) = 0,4 x(1T) - 0,08 y(1T) = 0,368 и т.д. ...
Следовательно y(nT) = {0; 0,4; 0,368; ...}.
В данном случае за счет циркуляции сигнала по цепи ОС выходной сигнал состоит из бесконечного числа отсчетов.
Дискретная цепь, содержащая ОС, называется рекурсивной. Дискретная цепь без ОС называется нерекурсивной.
2.2 Передаточная функция дискретной цепи.
Замена сигналов в разностном уравнении (2.1) на Z - изображения этих сигналов
,
приводит к алгебраизации разностного уравнения
.
Алгебраизация осуществляется применением теорем линейности и запаздывания.
Переход в область Z - изображений позволяет ввести понятие передаточной функции дискретной цепи H(Z), которая определяется как отношение Z - изображения сигнала на выходе цепи к Z - изображению сигнала на входе цепи. Поэтому, учитывая алгебраическую форму разностного уравнения общего вида, можно записать общий вид передаточной функции дискретной цепи
.
(2.3)
Отсюда, в частности, для нерекурсивной цепи
.
(2.4)
Если нерекурсивная цепь состоит всего из одного
элемента запаздывания, то 
,
что находит своё отражение в обозначении элементов памяти на схемах дискретных цепей.
Передаточная функция конкретной цепи формируется по передаточным функциям её элементов согласно общих правил линейных цепей. В частности, для цепи содержащей ОС применяется известная формула
,
(2.5)
где 
-
передаточная функция цепи
прямого прохождения сигнала,
-
предаточная функция цепи ОС.
Пример. Оперделить передаточную функцию цепи на рис. (2.4,а).
Решение.
,
где 
, 
.
Пример. Определить передаточную функцию на рис.(2.4,б).
Решение.
,
где 
-
передаточная функция рекурсивной части схемы,
-
передаточная функция нерекурсивной части цепи.
По известной передаточной функции можно легко определить разностное уравнение цепи.
Пример. Составить разностное уравнение цепи на рис.(2.2,в).
Решение.
Здесь 
.
Поэтому
.
Отсюда
.
Следовательно переходя к оригиналам: y(nT)= 0,4 x(nT-T) - 0,08 y(nT-T).
2.3 Общие свойства передаточной функции.
Критерий устойчивости дискретной цепи совпадает с
критерием устойчивости аналоговой цепи: полюсы передаточной функции должны
располагаться в левой полуплоскости комплексного переменного 
, что оответствует положению
полюсов в пределах единичного круга плоскости
z = x + jy.
Передаточная функция цепи общего вида записывается, согласно (2.3), следующим образом:
,
(2.6)
где знаки слагаемых учитываются в коэффицентах ai , bj , при этом b0=1.
Свойства передаточной функции цепи общего вида удобно сформулировать в виде требований физической реализуемости рациональной функции от Z: любая рациональная функция от Z может быть реализована в виде передаточной функции устойчивой дискретной цепи с точностью до множителя H0ЧHQ, если эта функция удовлетворяет требованиям:
1. коэффициенты ai, bj - вещественные числа,
2. корни уравнения V(Z)=0, т.е. полюсы H(Z), расположены в пределах единичного круга плоскости Z.
Множитель H0ЧZQ учитывает постоянное усиление сигнала H0 и постоянный сдвиг сигнала по оси времени на величину QT.
2.4 Частотные характеристики.
Комплекс передаточной функции дискретной цепи
определяет частотные характиристики цепи
-
АЧХ, 
- ФЧХ.
На основании (2.6) комплекс передаточной функции общего вида запишется так
.
Отсюда формулы АЧХ и ФЧХ
, (2.7)
, (2.8)
Частотные характеристики дискретной цепи являются периодическими функциями. Период повторения равен частоте дискретезации wд.
Частотные характеристики принято нормировать по оси частот к частоте дискретезации
,
(2.9)
где W - нормированная частота.
В расчетах с приенением ЭВМ нормирование по частоте становится необходимостью.
Пример. Определить частотные характеристики цепи, передаточная функция которой
H(Z) = a0 + a1ЧZ-1.
Решение.
Комплекс передаточной функции: H(jw) = a0 + a1e-jwT.
с учетом нормирования по частоте: wT = 2p Ч W.
Поэтому
H(jw) = a0 + a1e-j2pW = a0 + a1 cos 2pW - ja1 sin 2pW .
Формулы АЧХ и ФЧХ
H(W) =
, j(W) = - arctg
.
графики АЧХ и ФЧХ для положительных значений a0 и a1 при условии a0 > a1 приведены на рис.(2.5,а,б.)
Логарифмический масштаб АЧХ - ослабление А:
; 
. (2.10)
Нули передаточной функции могут распологаться в любой точке плоскости Z. Если нули расположены в пределах единичного круга, то характеристики АЧХ и ФЧХ такой цепи связаны преобразованием Гильберта и однозначно могут быть определены одна через другую. Такая цепь называется цепью минимально-фазового типа. Если хотябы один нуль появляется за пределами единичного круга, то цепь относится к цепи нелинейно-фазового типа, для которого преобразование Гильберта неприменимо.
2.5 Импульсная характеристика. Свертка.
Передаточная функция характеризует цепь в частотной области. Во временной области цепь характеризуется импульсной характеристикой h(nT). Импульсная характеристика дискретной цепи представляет собой реакцию цепи на дискретную d - функцию. Импульсная харакетеристика и передаточная функция являются системными характеристиками и связаны между собой формулами Z - преобразования. Поэтому импульсную реакцию можно рассматривать как некоторый сигнал, а передаточную функцию H(Z) - Z - изображение этого сигнала.
Передаточная функция является основной характеристикой при проектировании, если нормы заданы относитеольно частотных характеритик системы. Соответственно, основной характеристикой является импульсная характеристика, если нормы заданы во временной обрасти.
Импульсную характеристику можно определить непосредственно по схеме как реакцию цепи на d - функцию, или решением разностного уравнения цепи, полагая, x(nT) = d (t).
Пример. Определить импульсную реакцию цепи, схема которой приведена на рис.2.6,б.
Решение.
Разностное уравнение цепи y(nT)=0,4 x(nT-T) - 0,08 y(nT-T).
Решение разностного уравнения в численном виде при условии, что x(nT)=d(t)
n=0; y(0T) = 0,4 x(-T) - 0,08 y(-T) = 0;
n=1; y(1T) = 0,4 x(0T) - 0,08 y(0T) = 0,4;
n=2; y(2T) = 0,4 x(1T) - 0,08 y(1T) = -0,032;
n=3; y(3T) = 0,4 x(2T) - 0,08 y(2T) = 0,00256; и т.д. ...
Отсюда h(nT) = {0 ; 0,4 ; -0,032 ; 0.00256 ; ...}
Для устойчивой цепи отсчеты импульсной реакции с течением времени стремятся к нулю.
Импульсную характеристику можно определить по известной передаточной функции, применяя
