Реферат: Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени
то матрица 
принимает
теплицевый вид (далее
ее будем обозначать 
).
Нормальные уравнения, минимизирующие средний квадрат ошибки имеют следующий вид:
Элементы эрмитовой
матрицы 
имеют вид
корреляционных форм
, где 
Таким образом, авторегрессионные параметры
могут быть получены в результате решения нормальных уравнений. Рассмотрим
алгоритм,
который в решении нормальных уравнений учитывает тот факт, что эрмитова
матрица 
получена как произведение
двух теплицевых и в результате этого сводит количество вычислений к 
. При использовании
алгоритма Холецкого потребовалось бы 
операций.
Ошибки линейного предсказания вперед и назад p-ого порядка
Здесь вектор данных
, вектор
коэффициентов линейного предсказания вперед 
и вектор линейного
предсказания назад 
определяется
следующими выражениями:
,
, 
На основе отсчетов
измеренных комплексных данных 
ковариационный
метод линейного предсказания позволяет раздельно минимизировать суммы
квадратов ошибок линейного предсказания вперед и назад:
, 
что приводит к следующим нормальным уравнениям :
, 
Введем необходимые для дальнейшего определения :
, 
исходя из вида 
и
можно
записать :
, 
,
где вектор столбцы 
и
даются
выражениями :
, 
Важными также являются следующие выражения :
Пара
векторов-столбцов 
и 
определяются
из выражений :
Аналогично
определяются вектора 
и 
, а также 
и
через
матрицы 
и
.
Процедура, используемая для обновления порядка вектора линейного предсказания вперед выглядит следующим образом :
, где 
,
в
котором
Соответствующий вид имеет процедура обновления порядка для вектора предсказания назад:
, где 
,
Векторы 
и
должны
удовлетворять следующим рекурсиям обновления порядка:
Используя тот факт, что 
является
эрмитовой матрицей имеем следующие выражения для 
и 
:
Введем скалярные множители
Соответствующие
рекуррентные выражения для 
и 
имеют
следующий вид :
Наконец, еще одна рекурсия
обновления порядка необходима для вектора 
:
Обновление временного индекса в векторе коэффициентов линейного предсказания вперед осуществляется в соответствии с выражением :
Выражение для обновления временного индекса у квадрата ошибки линейного предсказания вперед :
Аналогичным образом обновление временного индекса в векторе коэффициентов линейного предсказания назад ведется в соответствии с выражением :
Выражение для обновления временного индекса у квадрата ошибки линейного предсказания назад :
, 
где комплексный
скаляр 
удовлетворяет
выражениям :
Соответствующие
рекурсии по временному индексу для действительных скаляров 
и
даются
следующими выражениями:
, 
Начальные условия необходимы для того, чтобы начать рекурсивное решение с порядка равного нулю:
, 
, 
,
, 
,
, 
Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе.
1.4.5. Градиентный адаптивный авторегрессионный метод
1.4.6. Рекурсивный авторегрессионный метод наименьших квадратов
1.5. Спектральное оценивание на основе моделей авторегрессии - скользящего среднего .
Модель авторегресии-скользящего среднего имеет больше степеней свободы, чем авторегрессионная модель, поэтому следует ожидать, что получаемые с ее помощью оценки спектральной плотности мощности будут обладать большими возможностями для передачи формы различных спектров. Основой спектрального оценивания при помощи модели авторегрессии-скользящего среднего является аппроксимация СС-процесса авторегрессионной моделью высокого порядка. Пусть
- системная функция СС(q)-процесса
-системная
функция АР-процесса,
эквивалентного
этому СС(q)-процессу, то есть 
Применим обратное z-преобразование к обеим частям последнего равенства, используя теорему об обратном преобразовании произведения функций, получим:
причем
Таким образом, СС-параметры можно
определить по параметрам некоторой эквивалентной авторегрессионной модели
посредством решения произвольной подсистемы из q уравнений. Используя АР-оценки
высокого порядка 
можно записать
следующую систему уравнений :
В идеальном случае
ошибка 
должна быть равна
нулю при всех значениях m,
за
исключением m=0,
однако на практике при использовании конечной записи данных эта ошибка не будет
равна нулю, поэтому
оценки для CC-параметров должны
определятся посредством минимизации дисперсии квадрата ошибки:
Из структуры уравнения для оценок параметров скользящего среднего видно, что эти оценки можно найти, решив соответствующие нормальные уравнения (здесь используется либо «Оценивание корреляционной функции - метод Юла-Уалкера», либо
«Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов»)
Общая процедура раздельного оценивания авторегрессионных параметров и параметров скользящего среднего заключается в следующем. Этап первый - определение авторегрессионных параметров по исходным данным, после этого исходную последовательность данных необходимо подвергнуть фильтрации для получения временного ряда приближенно соответствующего некоторому СС-процессу (этап второй). Этот фильтр имеет системную функцию вида :
, где 
-
оценки
авторегрессионных
параметров,
определенные с помощью метода наименьших квадратов. Системная функция
процесса авторегресии-скользящего среднего равна 
, поэтому
Таким образом, пропуская запись
измеренных данных через фильтр с системной функцией 
, получаем на его
выходе аппроксимирующий процесс скользящего среднего. Этап третий : для оценивания
СС-параметров применяется процедура, описанная в начале этого раздела. Оценка
спектральной плотности мощности АРСС-процесса имеет вид :
, где
- оценка
автокорреляции,
полученная по фильтрованной последовательности 
Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе.
.
1.6. Спектральное оценивание по методу минимума дисперсии.
Оценка спектральной плотности мощности по методу минимума дисперсии не является
истинной функцией СПМ, поскольку площадь под графиком МД-оценки не характеризует полную мощность измеряемого процесса. Обратное преобразование Фурье, соответствующее МД-оценке, также не совпадает с автокорреляционной последовательностью. Таким образом, МД-оценку можно считать спектральной оценкой в том смысле, что она описывает относительные интенсивности компонент частотного спектра, но не является оценкой истинной СПМ. Минимальная дисперсия - это характеристика, которая более информативна вблизи начала координат оценки. Она получается посредством минимизации дисперсии процесса на выходе узкополосного фильтра, частотная характеристика которого адаптируется к спектральным компонентам входного процесса на каждой представляющей интерес частоте.
Рассмотрим фильтр с
p+1 коэффициентами 
. Выход 
этого
фильтра,
соответствующий входу 
, определяется сверткой:
Дисперсия на выходе рассматриваемого фильтра определяется выражением :
Коэффициенты
фильтра необходимо выбирать таким образом, чтобы на частоте 
частотная
характеристика этого фильтра имела единичный коэффициент усиления. Это ограничение
можно записать следующим образом:
, где
Отсюда следует, что синусоида с
частотой 
, поданная на вход
такого фильтра,
пройдет без искажений.
Для режекции компонент спектра,
удаленных от частоты 
, необходимо минимизировать дисперсию
на выходе рассматриваемого фильтра при последнем ограничении. То есть
рассматривается задача условной минимизации:
Несложно показать, что при таком ограничении решение по методу минимума дисперсии для коэффициентов фильтра будет удовлетворять уравнению:
Само значение дисперсии:
Отсюда получается выражение для спектральной оценки минимальной дисперсии:
Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе.
1.7. Методы оценивания частоты, основанные на анализе собственных значений.
1.7.1. Введение
Ключевой операцией в методах, основанных на анализе собственных значений, является разделение информации, содержащейся в автокорреляционной матрице или матрице данных, на два векторных подпространства - подпространство сигнала и подпространство шума. В этих подпространствах можно определять различные функции от векторов сигнала и шума для получения оценок частоты. Однако эти оценки не сохраняют мощность анализируемого процесса и, следовательно, не являются оценками истинной СПМ. Далее будет рассмотрен метод классификации множественных сигналов.
