Быстрый поиск

Реферат: Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени

Далее на каждой частоте, представляющей интерес, P отдельных немодифицированных периодограмм усредняются, с тем чтобы получить окончательную оценку:

Математическое ожидание и дисперсия даются следующими выражениями:

Из выражения для дисперсии видно, что устойчивость спектральной оценки Бартлетта улучшается как величина, обратная числу сегментов P.

Третьим и одним из самых эффективных методов является метод периодограмм Уэлча. Основное отличие от периодограммы Бартлетта состоит в том, что здесь используется окно данных и осуществлено перекрывающееся сегментирование последовательности отсчетов. Применение окна данных дает незначительное ухудшение разрешения по частоте, так как сам спектр окна вносит погрешности в результирующий спектр, однако удается достичь уменьшения влияния боковых лепестков спектра прямоугольного окна, которое косвенно применяется при сегментировании последовательности данных. Целью перекрытия сегментов является увеличение числа усредняемых сегментов и тем самым уменьшение дисперсии оценки спектральной плотности мощности. Сам метод состоит в следующем. Пусть дана запись комплексных данных , которая разбивается на число сегментов D со сдвигом S отсчетов между соседними сегментами, тогда взвешенный p-ый сегмент будет состоять из отсчетов, где n = 0,1..D-1, p = 0,1..P-1, P=[(N-D)/S+1]. А выборочный спектр взвешенного p-ого сегмента в диапазоне частот

, где

И окончательный вид периодограммы Бартлетта приобретает вид :

Среднее и дисперсия оценки выглядят следующим образом (доказательство первого соотношения в приложении А):

При использовании перекрытия соседних сегментов можно сформировать большее число псевдореализаций, чем в методе Бартлетта, а это уменьшает величину дисперсии периодограммы Уэлча, хотя порядок имеет тот же самый. Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе.

1.3.4. Коррелограммные оценки Спектральной Плотности Мощности.

Альтернативным методом является коррелограммный метод. Косвенный метод основан на использовании бесконечной последовательности значений данных для расчета автокорреляционной последовательности, преобразование Фурье которой дает искомую СПМ. В отличии от прямого метода, который основан на вычислении квадрата модуля преобразования Фурье для бесконечной последовательности данных с использованием соответствующего статистического усреднения. Показано, что результирующая функция, получаемая без использования такого усреднения и называемая выборочным спектром, оказывается неудовлетворительной из-за статистической несостоятельности получаемых с ее помощью оценок, поскольку среднеквадратичная ошибка таких оценок сравнима по величине со средним значением оценки.

Автокорреляционная последовательность на практике может быть оценена по конечной записи данных следующим образом (несмещенная оценка):

, где

или смещенной оценкой автокорреляции, которая имеет меньшую, по сравнению с несмещенной оценкой, дисперсию:

, где

Коррелограммный метод заключается в подстановке в определение спектральной плотности мощности оценку автокорреляционной последовательности (коррелограммы). Таким образом, имея две оценки автокорреляционной последовательности получаем две оценки спектральной плотности мощности:

, , где

, где - ядро Дирихле

Эффект неявно присутствующего окна из-за конечности данных приводит к свертке истинной спектральной плотности с преобразованием Фурье дискретно-временного прямоугольного или треугольного (как в случае со смещенными оценками) окна. Для уменьшения этого эффекта используется корреляционное окно и коррелограммная оценка спектральной плотности мощности в общем виде выглядит следующим образом:

Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе.

1.3.5. Область применения.

Классические методы спектрального анализа применимы почти ко всем классам сигналов и шумов в предположении о стационарности. Вычислительная эффективность периодограммных и коррелограммных методов основана на использовании алгоритма Быстрого Преобразования Фурье. Недостатком всех методов спектрального анализа является искажения в спектральных составляющих по боковым лепесткам из-за взвешивания данных при помощи окна. Сравнение экспериментальных результатов с другими методами и характеристики взвешивающих окон приведены в соответствующем разделе.

1.4. Авторегрессионное спектральное оценивание.

1.4.1. Введение

Одна из причин применения параметрических моделей случайных и процессов и построения на их основе методов получения оценок спектральной плотности мощности обусловлена увеличением точности оценок по сравнению с классическими методами. Еще одна важная причина - более высокое спектральное разрешение. Далее рассматриваются следующие методы: метод Юла-Уалкера оценивания авторегрессионных параметров по последовательности оценок автокорреляционной функции, метод Берга оценивания авторегрессионных параметров по последовательности оценок коэффициентов отражения, метод раздельной минимизации квадратичных ошибок линейного предсказания вперед и назад - ковариационный метод, метод совместной минимизации квадратичных ошибок прямого и обратного линейного предсказания - модифицированный ковариационный.

Модель временного ряда (называемая модели авторегрессии-скользящего среднего в случае входной последовательности - белого шума), которая пригодна для аппроксимации многих встречающихся на практике детерминированных и стохастических процессов с дискретным временем, описывается следующим разностным уравнением:

Системная функция , связывающая вход и выход этого фильтра имеет рациональную форму:

Если в качестве входной последовательности использовать белый шум, то приходим к АРСС-модели. Спектральную плотность для АРСС-модели получаем, подставляя , что дает

, где

, , а - дисперсия

возбуждающего белого шума

В частных случаях для авторегрессионной модели и модели скользящего среднего получаем соответственно :

1.4.2. Оценивание корреляционной функции - метод Юла-Уалкера.

Из соотношения, связывающего параметры АРСС-модели с порядком авторегрессии p и скользящего среднего q:

Поскольку полагается, что u[k] - белый шум, то

, m>q

, m<0

В частном случае для авторегрессионных параметров, получаем :

, m=0

, m<0

В матричном виде эти соотношения выглядят следующим образом :

Таким образом, если задана автокорреляционная последовательность для , то АР-параметры можно найти в результате решения последнего матричного соотношения (называемого нормальными уравнениями Юла-Уалкера), где автокорреляционная матрица является и теплицевой, и эрмитовой.

Наиболее очевидным подходом к авторегрессионному оцениванию является решение нормальных уравнений Юла-Уалкера, в которые вместо значений неизвестной автокорреляционной функции подставляем их оценки. Результаты экспериментов с этим, первым методом АР-оценивания и сравнение с другими методами этого класса приведены в соответствующем разделе.

1.4.3. Методы оценивания коэффициентов отражения.

Рекурсивное решение уравнений Юла-Уалкера методом Левинсона связывает АР-параметры порядка p c параметрами порядка p-1 выражением :

, где n=1,2,..p-1

Коэффициент отражения определяется по известным значениям автокорреляционной функции :

, где

Из всех величин только непосредственно зависит от автокорреляционной функции. В разное время предлагалось несколько различных процедур оценки коэффициента отражения, рассмотрим некоторые из них.

1.4.3.1. Геометрический алгоритм.

Ошибки линейного предсказания вперед и назад определяются соответственно следующими выражениями:

Рекурсивные выражения, связывающие ошибки линейного предсказания моделей порядков p и p-1, определяются простой подстановкой и в рекурсивное соотношение для авторегрессионных параметров:

Несложно показать, что коэффициент отражения обладает следующим свойством (является коэффициентом частной корреляции между ошибками линейного предсказания вперед и назад) :

Используя оценки взаимной корреляции и автокорреляции ошибок предсказания вперед и назад, получим :

Таким образом, геометрический алгоритм использует алгоритм Левинсона, в котором вместо обычного коэффициента отражения, вычисляемого по известной автокорреляционной функции, используется его оценка

Окончательный вид выражений геометрического алгоритма :

, где n=1,2,..p-1

, где

1.4.3.2. Гармонический алгоритм Берга.

Алгоритм Берга идентичен геометрическому, однако оценка коэффициента отражения находится из других соображений, а именно : при каждом значений параметра p в нем минимизируется арифметическое среднее мощности ошибок линейного предсказания вперед и назад (то есть выборочная дисперсия ошибки предсказания):

Приравнивая производные к нулю, имеем оценку для :

Некоторым обобщением является взвешивание среднего квадрата ошибки предсказания для уменьшения частотного смещения, наблюдаемого при использовании базового метода Берга:

что приводит к следующей оценке :

1.4.4. Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов.

Налагая ограничения на авторегрессионные параметры, с тем чтобы они удовлетворяли рекурсивному выражению метода Левинсона, в методе Берга происходит минимизация по одного параметра - коэффициента отражения . Более общий подход состоит в минимизации одновременно по всем коэффициентам линейного предсказания.

Итак, пусть для оценивания авторегрессионных параметров порядка p используются последовательность данных .Оценка линейного предсказания вперед порядка p для отсчета будет иметь форму: