Реферат: Арифметические основы ЦВМ

Поэтому в ЭВМ,   вне зависимости  от  величины числа,  его код всегда имеет  фиксированное количество двоичных цифр.

Кроме этого,  в двоичном алфавите нет  никаких  символов,  кроме цифр 0 и 1, и необходимы новые правила для указания знака числа. Суть этих правил сводится к тому,  что  знак  плюс  изображается цифрой  0,  знак  минус - цифрой 1,  а цифра,  изображающая знак всегда записывается самой первой в записи числа.

Обратите внимание,  что  код числа всегда содержит изображение его знака, в отличие  от математической записи,  которая позволяет опускать знак плюс при изображении положительного числа.

Так, код 011101, согласно этим правилам, изображает положительное (самая левая цифра - 0) двоичное число 11101.

Для того,  чтобы более просто, и, следовательно, более экономично реализовать устройство АЛУ  применяют  несколько  разных кодов чисел.  Это связано с тем, что разные операции в ЭВМ более просто реализуются в разных кодах.

При выполнении  арифметических  операций  в  ЭВМ  применяют прямой, обратный и дополнительный коды чисел.

Прямой код двоичного числа - это само двоичное число,  в котором все цифры, изображающие его значение, записываются  как в математической записи,  а  знак  числа  записывается двоичной цифрой. 

При этом никакого символа,  отделяющего эту цифру от старшей цифры,  используемой при изображении его величины, не допускается.  В таких случаях говорят о том,  что назначение цифры в коде определяется его позицией.

Примеры.

       Изображаемое число                  Код

·            +1101   (+13)                  0000 1101                     ( В примерах коды  )

·      +1011101   (+93)                  0101 1101           (   изображаются     )

·              1101    (-13)                  1000 1101           ( восемью цифрами )

Итак, прямой код почти не отличается от принятого в математике:  для выявления абсолютной величины  (модуля)  числа,  надо отбросить цифру, обозначающую его знак.

Однако применительно к операциям сложения и вычитания такой код  неудобен:  правила  счета для положительных и отрицательных чисел различаются.  Чтобы прояснить это обстоятельство, представим  что  длина кода (слова) равна 5 двоичным разрядам и запишем несколько чисел в нем:

Число	-2	-1	0	+1	+2
Код	10010	10001	00000	00001	00010

Как видно из примера,  при использовании прямого  кода  при переходе  значения  число через ноль, происходит скачкообразное изменение кода!  Поэтому построение устройства, в котором должны выполняться такие действия арифметики, как сложение чисел с разными знаками и вычитание, становится сложной задачей.

Прямой код используется при хранении чисел в памяти ЭВМ,  а также при выполнении операций умножения и деления.

Чтобы построить более простые схемы АЛУ предложены и активно применяются обратный и дополнительный коды.

Обратный код положительного числа совпадает с прямым,  а при записи  отрицательного  числа  все  его  цифры,  кроме цифры,    изображающей    знак    числа,   заменяются   на противоположные ( 0 заменяется на 1, а 1 - на 0).

Примеры записи.

         Изображаемое число          Код

·            +1101   (+13)                  0000 1101          ( В примерах коды  )

·      +1011101   (+93)                  0101 1101           ( изображаются        )

·              1101    (-13)                  1111 0010           ( восемью цифрами )

Сопоставление этой  записи  с прямым кодом показывает,  что непосредственно восстановить абсолютную величину (модуль)  отрицательного числа непросто. Однако, в этом коде как к положительным,  так и к отрицательным числам можно применять одни и те  же правила,  а операцию А-В можно заменить операцией сложения чисел А и “минус В”.

Посмотрим, как  представляется  последовательные  числа при переходе через ноль:

Число	-2	-1	0	+1	+2
Код	11101	11110	00000	00001	00010

Из примера  видно,  что  переход  через  ноль  также не выглядит естественным. Отмеченная особенность влечет за собой и следующее - в обратном коде ноль изображают две различающиеся  комбинации: 00000  (+0)  и  11111 (-0),  что усложняет аппаратную реализацию операций.

Для восстановления прямого кода отрицательного числа из обратного кода надо все цифры, кроме цифры, изображающей знак числа, заменить на противоположные.

 Дополнительный код   положительного  числа  совпадает  с  прямым,  а  код  отрицательного   числа   образуется   как  результат увеличения на 1 его обратного кода.

Иными словами,  процесс построения дополнительного кода отрицательного числа можно разбить на два этапа - построить обратный код, а затем из него построить дополнительный.

Проиллюстрируем это на примере.

     Число                                ->      - 101101

     Прямой код             ->      1101101

     Обратный код         ->      1010010

                                                    +1

Дополнительный      ->      1010011

Примеры записи.

         Изображаемое число          Код

·            +1101   (+13)                  0000 1101                     ( В примерах коды  )

·      +1011101   (+93)                  0101 1101           ( изображаются        )

·              1101    (-13)                  1111 0011           ( восемью цифрами )

В дополнительном коде, в отличие от обратного, ноль изображается только одной комбинацией,  и кроме этого,  достаточно естественно получается переход через ноль,  если иметь в виду, что любое число,  большее другого на 1, получается при прибавлении к этому другому 1 по правилам сложения.  Применительно к  дополнительному коду это именно так,  если принять к сведению, что разрядность слова фиксирована,  и единица переноса из старшего разряда теряется, поскольку ее некуда записать:

           2     ->  11101 + 1       =     11110

           1     ->  11110 + 1       =     11111

           0     ->  11111 + 1       = (1)00000      (перенос отбрасывается)

         +1     ->  00000 + 1       =     00001

         +2     ->  00001 + 1       =     00010

Для восстановления прямого кода  числа  из  дополнительного нужно полностью повторить (и именно в том же порядке!) действия, которые использовались при переводе из прямого в  дополнительный код: сначала все цифры, кроме цифры, изображающей знак, заменить на противоположные, а затем прибавить 1.

Основным достоинством дополнительного кода является то, что в  нем  единообразно  реализуются операции сложения чисел разных знаков (алгебраическое сложение),  а  операцию  вычитания  можно свести  к  операции сложения заменой знака вычитаемого на обратный.  Вспомнив,  что в памяти ЭВМ числа хранятся в прямом  коде, станет  ясно,  что замена знака вычитаемого может быть выполнена чрезвычайно просто (заменой знака числа в прямом коде на  обратный). Именно по указанной причине дополнительный код применяется чаще обратного.

1.4.2. Сложение и вычитание чисел

Сложение и вычитание чисел в обратном и дополнительном  кодах выполняется с использованием обычного правила арифметического сложения многоразрядных чисел.  Общей для этих кодов  особенностью (и очень удобной особенностью) является лишь то,  что при поразрядном сложении чисел  разряды,  изображающие  знаки  чисел рассматриваются как равноправные разряды двоичного числа,  которые складываются друг с другом и с единицей переноса из предыдущего  разряда числа по обычным правилам арифметики.  Различия же обратного и дополнительного кодов связаны с тем,  что делается с единицей переноса из старшего разряда (изображающего,  как неоднократно говорилось, знак числа).

При сложении  чисел  в дополнительном коде единица переноса из старшего разряда игнорируется (теряется),  а в обратном  коде эту единицу надо прибавить к младшему разряду результата.

Пример 1. Сложить числа +12 и -5.

а) В обратном коде

     Десятичная форма  ->            +12                  -5

     Двоичная форма     ->        +1100               -101

     Прямой код            ->  00001100       10000101

     Обратный код        ->  00001100       11111010

Выполним сложение в столбик:

      0 0 0 0 1 1 0 0

      1 1 1 1 1 0 1 0

  ===============

(1) 0 0 0 0 0 1 1 0

                               +  1               (Добавление 1 переноса)

  ==============

      0 0 0 0 0 1 1 1

Итак, результат в обратном коде = 00000111.

Поскольку знаковый разряд равен 0,  результат положительный,  и, следовательно, запись кода числа совпадает с записью прямого кода.  Теперь можно восстановить алгебраическую запись результата. Он равен +111 (незначащие нули отброшены), или в десятичной форме +7.

Проверка (+12-5=+7) показывает, что результат верный.

а) В дополнительном коде

     Десятичная форма      ->            +12                   -5

     Двоичная форма         ->        +1100                -101

     Прямой код                ->  00001100       10000101

     Обратный код            ->  00001100       11111010

                                                                                    +1

     Дополнительный код    -> 00001100        11111011

Выполним сложение в столбик:

      0 0 0 0 1 1 0 0

      1 1 1 1 1 0 1 1

      ============

(1) 0 0 0 0 0 1 1 1

                     (Перенос игнорируется)

Итак, результат в дополнительном коде = 00000111.

Поскольку знаковый разряд равен 0,  результат положительный,  и, следовательно, запись кода числа совпадает с записью прямого кода.  Теперь можно восстановить алгебраическую запись результата. Он равен +111 (незначащие нули отброшены), или в десятичной форме +7.

Проверка (+12-5=+7) показывает, что результат верный.

Умножение и  деление  двоичных  чисел  производится в ЭВМ в прямом коде,  а знаки их используются лишь для определения знака результата. Также как и в математике, умножение сводится к операциям сложения и сдвига. Деление выполняется за счет комбинирования  сдвигов,  вычитаний (в этот момент могут использоваться обратный или дополнительный коды) и  сложений.

1.5.  Кодирование чисел в ЭВМ

В ЭВМ  применяется чаще всего одна из двух форм представления чисел:

·   с фиксированной запятой;

·   с плавающей запятой.

Числа представляются  в машинном слове,  имеющем для конкретной ЭВМ всегда фиксированное число разрядов (битов).  Это  число является одной из важнейших характеристик любой ЭВМ и называется разрядностью машины. Разные разряды слова при кодировании команд и  данных  имеют  несовпадающие  функциональные назначения.  При рассмотрении их функций используют также термин “разрядная сетка машины”.

1.5.1. Числа с фиксированной запятой

В числах  с  фиксированной запятой положение запятой в разрядной сетке машины заранее обусловлено для  всех  чисел  раз  и навсегда.  Поэтому в коде числа запятая никак не обозначается. В большинстве машин место запятой подразумевается после  последней цифры (справа от нее).  А такие числа - целые. При необходимости представлять дробные числа с использованием формы с  фиксированной запятой программист должен алгоритмическими средствами обеспечить использование множителя, выполняющего функцию масштабирования (масштабного множителя).

Определим диапазон представимых чисел.

Вначале рассмотрим пример,  в котором положим, что мы имеем дело с десятичной (а не двоичной) системой счисления,  и что для записи  абсолютной  величины числа (без учета его знака) в нашем распоряжении имеется шесть разрядов.

Тогда максимальное  (по  абсолютной  величине)  целое будет равно 999999 или иначе 10**6-1.  А поскольку в  разрядной  сетке машины для записи знака числа всегда предусматривается один разряд,  то для нашего случая  диапазон  представимых  чисел   составит  все  целые  числа,  начиная от

-999999 до +999999,  а количество различных целых - 2*10**6-1.

В двоичных  ЭВМ их разрядность определяется числом разрядов в слове.  Так,  если разрядность некоторой ЭВМ равна 16, то один разряд  отводится для кодирования знака числа,  а остальные 15 - для записи его величины.  При этом максимальное по модулю  целое значение  в  машинном  слове  будет равно 2**15-1,  что составит 32767.  (Посмотрите диапазон целых (integer) чисел в языке программирования Паскаль для ПЭВМ типа IMB PC).

В общем случае, если разрядность машины составляет N битов. Тогда  максимальное по абсолютной величине целое число,  которое можно в ней записать, будет равно 2**(N-1)-1.

         Особенности арифметических операций над числами

Поскольку (если положение запятой фиксировано после последней  цифры  числа)  числа  с фиксированной запятой - целые,  они представляются в машине точно. А потому операции сложения, вычитания и умножения корректны всегда:  как операнды, так и результат - целые числа.

Единственной особенностью, о которой необходимо упомянуть, является ситуация, которая носит название “переполнение разрядной сетки” (FixedOverflow - переполнение с фиксированной запятой) и которая возникает, когда результат умножения превышает максимально возможное для данной разрядности значение. Эта ситуация считается в ЭВМ исключительной.  При ее возникновении записать получившееся значение невозможно. В этом случае устанавливается  в “1” специальный флаг переполнения,  старший бит результата (бит переноса из старшего разряда слова) теряется,  а в качестве результата выдается искаженное число.   Описываемая ситуация не считается критической,  и после окончания данной операции вычисления продолжаются. Таким образом, программист сам должен позаботиться о корректной реакции на  возникновение  переполнения, используя  для  обнаружения  указанной ситуации содержимое флага переполнения.

Иначе обстоит дело с операцией деления.  При делении целого числа на другое целое результат  совсем  не  обязательно  должен быть целым.  А поскольку и результат должен быть представлен целым числом,  возникает коллизия,  которую проиллюстрируем примером:

               5 / 2  = 2

               5 / 3  = 1

               5 / 4  = 1

               5 / 5  = 1

               5 / 6  = 0

И в отличие от умножения,  с позиций ЭВМ никаких ошибок при этом нет,  и никакие флаги не устанавливаются,  а указанные особенности деления целых должны учитываться  программистом самостоятельно.  В ряде языков программирования эти особенности отражаются набором допустимых арифметических операций.  Так, например, в языке Паскаль для целых (integer) определены две операции:

         div -  целочисленное  деление,  при  котором   в   качестве результата представляется целая часть частного,

         mod - остаток от деления целых  (деление  по  модулю),  при котором  в  качестве  результата представляется целый остаток от деления, по абсолютной величине меньший делителя.

Примеры:

               5  div 3   =  1

               5  mod 3 = 2

1.5.2. Числа с плавающей запятой

В форме с плавающей запятой число представляется двумя компонентами :  мантиссой и порядком. Мантисса используется для записи  цифр  числа,  а  порядок - для указания положения запятой.

Разрядная сетка машины в этом случае делится на  несколько  частей:

один разряд  - для кодирования знака числа (это всегда самый старший, левый, разряд слова);

M разрядов  - для записи мантиссы;

Р разрядов   - для записи порядка (с учетом его знака).

Местоположение запятой при этом  тоже  строго  фиксируется: считается, что мантисса всегда представляется как число, меньшее единицы, но такое, в котором первая цифра после запятой для всех абсолютно чисел отлична от нуля (единственное исключение составляет число 0).  Такая форма  представления  мантиссы  называется нормализованной. Иначе говорят, что мантисса нормализована (приведена к виду: 1 < M <= 0,1).

Ну, а если известно,  что мантисса имеет вид “0,цццц..”, то ее код в машинном слове может не содержать символов “0,”, а местоположение запятой предполагается перед старшей значащей цифрой мантиссы.

Порядок Р  всегда  представляется  целым числом со знаком + или -.  А для кодирования абсолютной величины  порядка  остается (Р-1) цифр.

Теперь можно рассмотреть диапазон представимых чисел.

Вначале рассмотрим  пример применительно к двоичной системе счисления.

Пусть   m - количество разрядов мантиссы,

         р - количество разрядов порядка, включая знаковый.

Тогда максимальное по абсолютной величине число будет равно     

          0,1111..1 * 2**(+111..1) = (1-2**(-м))*2**(2**(р-1)-1),

             m цифр           (p-1) цифр

или приблизительно 2**(2**(р-1)-1),

а минимальное по абсолютной величине число  

         0,1000..0 * 2**(-111..1) = 2**(-2**(р-1)).

            m цифр          (p-1) цифр

Итак, число в форме с плавающей запятой представляется последовательностью битов без каких либо явно указанных  разделителей,  но функционально разбитой на три группы {(знак числа, мантисса числа, порядок числа) или (знак числа, порядок числа, мантисса числа)}.

Рассмотренная форма  кодирования  числа  приводит  к  следующим последствиям:

·   Диапазон  чисел,  представимых в форме с плавающей запятой, определяется главным образом разрядностью порядка (Р).

·   Разрядность  мантиссы  (М)  определяет точное количество значащих цифр в изображении числа.

Следовательно, большинство  чисел в форме с плавающей запятой представляется  приближенно и причиной этого является ограниченное  число разрядов мантиссы.  Величина же абсолютной погрешности при приближенном представлении числа зависит как от  абсолютной величины числа, так и от разрядности мантиссы и порядка.

Рассмотрим примеры. При этом для простоты положим, что числа  представляются  в  десятичной системе счисления,  количество цифр мантиссы равно 4, количество цифр порядка - 2, знак порядка записывается  как  в математике,  а знак числа мы не изображаем, полагая все числа положительными.

Пример 1.  Пусть  имеется  число 12,42=0,1242*10**(+2).

В заданном формате оно представляется цепочкой символов

                        1 2 4  2  +  0  2

При этом

·   цепочка  “1  2  4  2” представляет мантиссу,  т.е.  в математическом смысле число 0,1242  ,

·   а цепочка “+ 0 2” - порядок - целое положительное число 2.

Тогда ближайшее большее этого число может быть  задано  цепочкой

                            1 2 4  3  +  0  2            

и оно равно 0,1243*10**(+2)= 12,43.

Таким образом,  ближайшие  числа  на числовой оси,  которые различимы при кодировании их в форме  с  плавающей  запятой  для данного  примера  различаются  на  0,01  (абсолютная погрешность представления всех чисел между 12,42 и 12,43 имеет верхнюю оценку 0,01).

Пример 2. Пусть имеется число 0,001242=0,1242*10**(-2).

В заданном формате оно представляется цепочкой символов

                            1 2 4 2 - 0 2,

а ближайшее большее этого число представляется цепочкой

                                   1 2 4 3 - 0 2

и  равно 0,1243*10**(-2)= 0,001243.

Таким образом,  абсолютная  погрешность  представления всех чисел между 0,001242 и 0,001243 имеет верхнюю оценку 0,000001.

Пример 3.  Пусть  имеется  число 0,1242*10**(+12).

В естественной форме записи это число 124 200 000 000, а  в заданном формате оно представляется цепочкой символов

                            1 2 4 2 + 1 2,

а ближайшее большее этого число представляется цепочкой

                            1 2 4 3 + 1 2

и  равно 0,1243*10**(+12)= 124 300 000 000.

Таким образом,  абсолютная  погрешность  представления всех чисел между 124 200 000 000 и 124 300 000 000 имеет верхнюю оценку 100 000 000 = 10**8.

Обратите внимание, что в последнем примере невозможно записать ни одного числа в интервале размером 10**8.

Важный вывод,  который следует из анализа формы кодирования чисел с плавающей запятой и иллюстрируется в  рассмотренных примерах:  числа в форме с плавающей запятой,  несмотря на то что, эта форма предложена для представления в ЭВМ непрерывных величин,  представляются дискретным множеством на числовой оси и располагаются на ней неравномерно.

Если изобразить  на  (бесконечной) числовой оси области существования чисел,  то можно  выделить  следующие  области  (см. рис.):

 1                        2                      3             4                       5                      6   

                                                                                                                                    R

            МаксВещ                  -МинВещ        0          +МинВещ             +МаксВещ

·   область 1: Х<-МаксВещ - ни одного значения из области нельзя представить в машинном слове (МаксВещ - максимальное по абсолютной величине число, которое можно закодировать);

·   область 2:  -МаксВещ<=X<=-МинВещ - в данном интервале  может быть представлено столько различных чисел,  сколько их можно записать по заданной разрядности мантиссы и порядка;

·   область 3:  -МинВещ<X<0 - ни одного значения из этой области представить в машинном слове нельзя;

·   область 4:  0<X<+МинВещ - ни одного значения из этой области представить в машинном слове нельзя;

·   область 5:  +МинВещ>=X>=+МаксВещ - в данном  интервале может быть представлено столько различных чисел,  сколько их можно записать по заданной разрядности мантиссы и порядка;

·   область 6: X>+МаксВещ - ни одного значения из области нельзя  представить в машинном слове (МаксВещ - максимальное по абсолютной величине число, которое можно закодировать).

Особое место  занимает  величина 0.  Она также кодируется в форме с плавающей запятой,  причем как ее порядок, так и мантисса(!) полагаются равными нулю.

                   Особенности арифметических операций над числами

При выполнении  арифметических операций все четыре действия арифметики корректны.  Следует однако иметь в виду, что дискретный  характер  представления чисел в форме с  плавающей запятой и разбиение числовой оси на области,  в ряде из которых невозможно представить ни одного числа, приводит:

·   Во-первых, к тому, что при выполнении арифметической операции теоретически возможно формирование результата, который попадает в области 2 или 5, но который нельзя закодировать в форме с плавающей  запятой  точно.  В этом случае,  результат заменяется ближайшим из множества допустимых значений с учетом правила  округления  (ошибка метода представления чисел,  вызванная ограниченной разрядностью мантиссы).

·    Во-вторых, к тому, что при выполнении арифметической операции теоретически возможно формирование результата, который попадает в область 1 или в область 6. Этот случай является критическим, поскольку результат представить нельзя принципиально. Рассматриваемая  ситуация называется “Переполнение с плавающей запятой” (Overflow),  а при ее возникновении  происходит  аппаратное прерывание  работы ЭВМ и выполнение программы аварийно  прекращается. Причиной этого является ограниченная разрядность порядка.

·   В-третьих, к тому, что при выполнении арифметической операции теоретически возможно формирование результата, который попадает в область 3 или в область 4. Рассматриваемая ситуация называется “Потеря значимости”, а при ее возникновении результат заменяется  ближайшим  допустимым,  как правило нулем.  Выполнение программы после этого  продолжается. В некоторых ЭВМ при этой ситуации вырабатывается предупредительное (информационное) сообщение.  Причиной этой ситуации также является ограниченная разрядность порядка.

В заключении отметим,  что  при  выполнении  арифметических операций  мантиссы  чисел  и их порядки обрабатываются по разным алгоритмам.  При этом в операциях сложения и вычитания чисел порядки выравниваются за счет сдвига мантиссы меньшего операнда на число разрядов, равное разнице порядков операндов, а в операциях умножения  и  деления  порядки чисел соответственно складывают или вычитают.  Поскольку,  как мы уже видели раньше, вычитание алгебраических чисел (т.е. с учетом их знаков) в прямом коде реализовать не просто, а порядки представляются как числа целые со знаком в прямом коде,  в ряде ЭВМ при представлении числа с плавающей запятой порядок числа заменяется его характеристикой.

Характеристика числа  получается из его порядка,  если осуществить преобразование координат: Значение 0 на оси, изображающей характеристику, совпадает с значением -МаксПорядок:

Порядок:    

                                МаксПорядок                0                     +МаксПорядок

 

Характеристика:

                                         0                                                      МаксХаракт.

При этом  характеристика  числа  рассматривается только как положительное число, а следовательно, в нем не надо и кодировать знак.  Признаком  же  того,  какой знак имеет порядок некоторого  числа, является содержимое старшего разряда характеристики: Если он равен 0 - порядок отрицательный, в противном случае - порядок положительный.  В случае  записи  характеристики  цепочкой  цифр 1000..0 принимается, что порядок равен нулю.

Рассмотрим еще одну ситуацию,  типичную  для  операции  над числами в форме с плавающей запятой.

Пусть необходимо вычислить разницу чисел

               X=13,45   и   Y=13,45*10**(-5) ,

при условии,  что они представлены в форме с  плавающей  запятой при разрядности мантиссы,  равной 4,  и порядка,  равной 2.  Для простоты операцию проиллюстрируем на примере десятичной  системы счисления.

Запишем числа Х и Y в форме с плавающей запятой:

                            X:  1 3 4 5 + 0 2

                            Y:  1 3 4 5 -  0 3

Как видно из этой записи,  оба числа представлены в форме с плавающей запятой без искажения. Не воспроизводя логику вычитания,  принятую в ЭВМ, выполним вычитание в столбик. Для этого представим оба операнда в естественной форме и так,  чтобы соответствующие разряды операндов находились друг под другом :

                            X:    1 3 , 4 5

                            Y:       0 , 0 0 1 3 4 5

                                    =============

                           X-Y: 1 3 , 4 4 8 6 5 5

Округлим результат,  учитывая, что в нашем распоряжении для записи цифр числа имеется всего 4 разряда, и запишем его вновь в форме с плавающей запятой, в заданной разрядной сетке:

                          X-Y:   1 3 4 5 + 0 0

Сравнив результат  с исходными операндами увидим,  что хотя оба операнда были отличны от нуля,  результат и уменьшаемое полностью совпадают!

Вывод. При  вычитании двух чисел большое значение имеют соотношение их величин и разрядность мантисс,  используемая для их кодирования.  Так  что  программисты могут столкнуться с нежелательными последствиями выполнения указанных действий в некоторых критических местах алгоритма.  Например, если подобное вычитание выполняется   в   условии прекращения   цикла,   имеющем   вид “(X-Y)>0.01”,  то  данное  условие может никогда не выполниться, т.е. произойдет так называемое зацикливание.

Дополнительная литература по материалу раздела.

         1. Савельев  А.Я.  Прикладная  теория  цифровых  автоматов. Учебник для втузов. М.: 1989.