Реферат: Арифметические основы ЦВМ
Правила перевода целых и дробных чисел не совпадают, поэтому приведем три правила перевода чисел из системы счисления с основанием R в систему счисления с основанием Q.
Правило 1. Перевод целых чисел
Для перевода целого числа N, представленного в системе счисления (с/с) с основанием R, в с/с с основанием Q необходимо данное число делить на основание Q по правилам с/с с основанием R до получения целого остатка, меньшего Q. Полученное частное снова необходимо делить на основание Q до получения нового целого остатка, меньшего Q, и т.д., до тех пор, пока последнее частное будет меньше Q. Число N в с/с с основанием Q представится в виде не упорядоченной последовательности остатков деления в порядке, обратном их получению (иными словами, старшую цифру числа N дает последнее частное).
Пример. Преобразовать десятичное число 67 в двоичную форму.
Основание исходной системы счисления R=107. Основание новой системы счисления Q=2.
Согласно приведенному правилу надо исходное число 67 делить на основание новой системы (на 2) по правилам десятичной системы счисления (исходная с/с).
Поскольку процесс деления на 2 очень прост, воспользуемся следующим приемом: в левом столбце будем писать текущие частные, а в правом - текущие остатки от их деления на 2 (это может быть либо 0, либо 1):
67 1 При делении 67 на 2
получается частное 33 и остаток 1;
33 1 при делении 33 - частное 16 и остаток 1 и т.д.
16 0
8 0
4 0
2 0
1 1 <- Старшая цифра числа.
0
Теперь можно записать число 67 в новой системе счисления. Оно равно 1000011.
Правило 2. Перевод правильной дроби
Перевод правильной дроби, представленной в с/с с основанием R, в с/с с основанием Q заключается в последовательном умножении этой дроби на основание Q по правилам системы счисления с основанием R, причем перемножают только дробные части. Дробь N в с/с с основанием Q представляется в виде упорядоченной последовательности целых частей произведений в порядке их получения. (Иными словами, старший разряд является первой цифрой произведения). Количество последовательных произведений определяет количество цифр в полученном числе.
Для многих чисел указанный процесс умножения потенциально никогда не кончается. Поэтому он продолжается до тех пор, пока не будет получено необходимое число цифр дробной части. При переводе числа с целью представления ее в “машинной” форме можно точно указать требуемое количество цифр. (Это будет рассматриваться позже, в разделе 1.5).
Пример. Перевести в двоичную систему счисления десятичную дробь 0,7243.
Основание исходной системы счисления R=10. Основание новой системы счисления Q=2.
Согласно приведенного правила исходное число 0,7243 надо умножать на основание новой системы (на 2) по правилам десятичной системы счисления (исходная с/с). Выполним серию умножений до получения, например, шести цифр в двоичном числе:
Искомые цифры дроби:
0,7243 * 2 = 1,4486 1 -> старшая цифра
0,4486 * 2 = 0,8972 0
0,8942 * 2 = 1,7944 1
0,7944 * 2 = 1,5888 1
0,5888 * 2 = 1,1776 1
0,1776 * 2 = 0,3552 0
0,3552 * 2 = 0,7104 0
Искомое представление число 0,7243 в двоичной системе счисления -> 0,101110.
Обратите внимание, что для получения шести цифр дроби выполнено семь умножений
Это связано с необходимостью выполнить округление, чтобы представить дробь заданной длины более точно.
Из последнего примера, конечная дробь в одной системе счисления может стать бесконечной в другой. Это утверждение справедливо для всех случаев, когда одна система счисления не может быть получена возведением в целую степень основания другой.
Примеры.
· Десятичная дробь 0,2 представляется бесконечной дробью 0,33333... в шестнадцатиричной системе счисления (основания с/с 10 и 16).
· Шестнадцатиричная дробь 0,В1 представляется конечной дробью 0,10110001 в двоичной системе счисления (основания с/с 16 и 2).
Правило 3. Перевод неправильной дроби
Перевод неправильной дроби из одной системы счисления в другую осуществляется отдельно для целой и дробной части по правилам, изложенным выше.
1.3. Двоичные коды для десятичных цифр
В ряде случаев в вычислительной технике применяется не только двоичная, но и десятичная система счисления. Однако и в этом случае для представления десятичных цифр используется оборудование, разработанное для представления двоичных цифр. В этом случае говорят о двоично-десятичных кодах десятичных цифр.
Согласно формулы Хартли для представления 10 различных цифр требуется четыре бита информации:
3 бита < I = log(10) < 4 бита.
Таким образом, при необходимости представить десять разных десятичных цифр комбинациями двоичных цифр, каждую из них можно представить минимум тетрадой двоичных чисел. Большинство кодов десятичных цифр использует тетрады, хотя есть и коды, в которых для кодирования используется большее число битов.
Наиболее распространены двоично-десятичные коды, в которых для представления десятичных цифр используются позиционные методы кодирования. Так, если рассматривать четыре двоичных разряда тетрады как четырехразрядное двоичное число, то веса ее отдельных разрядов слева направо будут равны соответственно 8, 4, 2 и 1.
Поэтому первый двоично-десятичный код, который мы рассмотрим, обозначается как код “8421”. Его можно назвать кодом с естественными весами.
В этом коде каждая десятичная цифра представляется ее двоичным эквивалентом :
цифра 0 как 0000,
цифра 1 как 0001,
цифра 2 как 0010,
цифра 5 как 0101,
цифра 8 как 1000,
цифра 9 как 1001.
В то же время, имея четыре двоичных цифры, можно представить не 10, а 16 различных комбинаций. Таким образом, при использовании кода “8421” шесть комбинаций : 1010, 1011, ..., 1111 останутся неиспользованными, т.е. не будут изображать ни одной из десятичных цифр. Эти комбинации считаются запрещенными.
а) Коды с избытком
Кроме рассмотренной системы кодирования достаточно широко используются также так называемые коды с избытком. Рассмотрим группу кодов “8421” с избытком”.
Код “8421” с избытком W” строится по следующим правилам:
При кодировании десятичной цифры, к ней вначале прибавляют W, и затем полученное число представляют как двоичное в коде “8421”.
Значение W может быть равным 1, 2, 3, 4, 5 или 6. При любом значении избытка W шесть из шестнадцати комбинаций останутся неиспользованными. Только для разных избытков эти значения будут разными.
Пример. Рассмотрим код “8421” с избытком 3”.
а)Представим цифру 8 в данном коде.
Вначале увеличим 8 на 3. Получится 11.
Затем запишем 11 в коде “8421”. Получится 1011.
Число 1011 и есть представление цифры 8 в данном коде.
б)Восстановим цифру, которая изображается комбинацией 0101.
Вначале представим десятичное число, рассматривая комбинацию 0101, как его изображение в коде “8421”. Получится число 5.
Затем вычтем из него (из 5) избыток 3. Получится 2.
Это и есть искомый ответ: Комбинация 0101 изображает десятичную цифру 2 в коде “8421” с избытком 3”.
в)Восстановим цифру, которая изображается комбинацией 1110.
Восстановим десятичное число. Получится 14.
Вычтем из него избыток 3. Получится 11.
Поскольку 11 не является десятичной цифрой (это двухразрядное десятичное число), делаем вывод, что комбинация 1110 не изображает никакой десятичной цифры и является запрещенной.
б) Код “2421”
Кроме кодов с естественными весами разрядов применяются и другие. Одним из широко известных кодов является позиционный код, построенный с использованием тетрады двоичных цифр, веса которых слева направо равны соответственно : 2, 4, 2 и 1.
Представим коды цифр в таблице:
| Цифра | Код “2421” | Цифра | Код “2421” |
| 0 | 0000 | 5 | 0101 или 1011 |
| 1 | 0001 | 6 | 0110 или 1100 |
| 2 | 0010 или 1000 | 7 | 0111 или 1101 |
| 3 | 0011 или 1001 | 8 | 1110 |
| 4 | 0100 или 1010 | 9 | 1111 |
Как видно из таблицы, ряд десятичных цифр могут быть представлены двумя не совпадающими двоичными комбинациями.
Например, комбинации 0100 и 0010 изображают цифру 2, комбинации 1010 и 0100 изображают цифру 4 и т.д. Отличительной особенностью данного кода является то, что в нем нет неиспользованных (запрещенных) комбинаций.
в) Код “2 из 5”
Данный код принадлежит к непозиционным кодам. Как и все непозиционные коды он определяется табличным способом. Его название отражает принцип построения кода: любая десятичная цифра представляется комбинацией из 5 двоичных цифр, в которой точно две цифры 1 и, следовательно, три цифры 0.
Представим таблицу одного из возможных вариантов для данного кода:
| Цифра | Код | Цифра | Код |
| 0 | 11000 | 5 | 01010 |
| 1 | 00011 | 6 | 01100 |
| 2 | 00101 | 7 | 10001 |
| 3 | 00110 | 8 | 10010 |
| 4 | 01001 | 9 | 10100 |
Все остальные возможные комбинации, в которых число единиц не равно двум, являются запрещенными.
Также как и все коды на основе тетрады “8421”, последний код принадлежит к группе кодов, обладающих так называемыми диагностическими возможностями: Если известно, что некоторая комбинация должна изображать десятичную цифру, но попадает в область запрещенных, значит произошло искажение информации. Это свойство кодов активно используется в аппаратуре ЭВМ.
Для закрепления материала по переводу чисел из одной системы счисления в другую выполним несколько примеров.
Пример 1. Представить десятичное число 581 в двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной системах счисления.
Задачу можно решить с минимальными затратами усилий, выполнив, например, перевод в двоичную с/с по общему правилу (т. е. делением на основание 2 по правилам десятичной системы счисления), а затем из двоичной в восьми- и шестнадцатиричную системы счисления, используя упрощенные правила (кодированием соответственно тетрад и триад).
Пример 2. Представить десятичное число 993,761 в двоичной и шестнадцатиричной системах счисления.
Задачу можно решить таким же образом, как и предыдущую.
Пример 3. Представить шестнадцатиричное число 8363 в десятичной системе счисления.
Воспользуемся общим правилом. Для этого надо исходное число делить на 10 по правилам шестнадцатиричной системы счисления.
Что
же это за правила? Это такие же правила сложения, вычитания, умножения и
деления, что и в десятичной с/с, но над числами в позиционной
шестнадцатиричной с/с.
Выполним перевод:
8 3 6 3 A
_(131)
(130) D 2 3 A
------- A
1 6 ---- 1 5 0 A
_ (22) 3 2 _(21)
(20) _(50) (20) 2 1 A
----- (50) ----- _(33)
2 3 ----- 1 0 (30) 3
_(35) 0 3 _ (16) -----
(30) (10) 3
----- -----
5 6
Искомое число в десятичной системе равно 33635.
Примечание. В круглых скобках записаны десятичные эквиваленты соответствующих шестнадцатиричных чисел. При этом в каждой паре чисел, расположенных друг под другом, первое число - частичное делимое, а второе - произведение делителя на частичное частное. Так запись (131) - эквивалент шестнадцатиричного делимого 83, а (130) - результат умножения делителя А (=10) на D (13).
1.4. Арифметика цифровых вычислительных машинКак уже говорилось выше, практически все современные цифровые ЭВМ в качестве основной используют двоичную систему счисления. А все арифметические операции над двоичными числами можно свести к двум элементарным - сложению и сдвигу двоичных кодов, изображающих числа. Это позволит технически реализовать четыре действия арифметики в одном устройстве, называемом арифметико-логическом (АЛУ), используя одни и те же электрические схемы.
1.4.1. Представление чисел со знаками
При выполнении арифметических операций в ЭВМ применяют прямой, обратный и дополнительный коды.
Как уже говорилось выше, кодом называют такую запись числа, которая отличается от естественной и общепринятой. Так вот, в математике естественной формой записи числа является запись, при которой непосредственно перед старшей значащей цифрой числа помещается знак плюс(+) или минус(-), а длина записи определяется величиной числа (иначе, количество символов, использованных для записи разных чисел, как правило, не совпадает). В ЭВМ это не так. Одной из важнейших характеристик любой ЭВМ является длина слова в ней. Длина слова определяется количеством двоичных разрядов слова.
