Реферат: Исследование функций
max min
4. (см. пример 5). Исследуем функцию на выпуклость и найдем точки перегиба.
х | (–¥; 0) | 0 | (0; +¥) |
у'' | – | – | + |
у | выпукла вверх | – | выпукла вниз |
функция не определена |
Несмотря на то, что функция поменяла характер выпуклости при переходе через точку х = 0, но в ней нет перегиба, так как в этой точке функция не определена.
5. (см. примеры 6 и 7). Найдем асимптоты функции:
а) х = 0 – вертикальная асимптота;
б) у = х – наклонная асимптота.
6. Точек пересечения с осями координат у данной функции нет, так как , при любых х Î ú, а х = 0 Ï D(у).
7. По полученным данным строим график функции:
Пример 10. Построить график функции .
Решение.
1. D(у) = (–¥; –1) È (–1; 1) È (1; +¥).
2. – функция нечетная. Следовательно, график функции будет симметричен относительно начала координат.
3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум:
3х2 – х4 = 0, х2 · (3 – х2) = 0, х1 = 0, х2 = , х3 = .
х |
(–¥;) |
(; 0) |
–1 | (–1; 0) | 0 | (0; 1) | 1 |
(1; ) |
(; +¥) |
||
у' | – | 0 | + | – | + | 0 | + | – | + | 0 | – |
у | 2,6 | – | 0 | – | –2,6 |
4. Исследуем функцию на выпуклость и точки перегиба:
х = 0 – точка, подозрительная на перегиб.
х | (–¥; –1) | –1 | (–1; 0) | 0 | (0; 1) | 1 | (0; +¥) |
у'' | + | – | – | 0 | + | – | – |
у |
выпукла вниз |
– |
выпукла вверх |
0 | выпукла вниз | – |
выпукла вниз |
перегиб |
5. Найдем асимптоты функции:
а) х = –1, х = 1 вертикальные асимптоты.
Действительно:
б) у = kx + b.
,
Þ у = –1х + 0 = – х – наклонная асимптота.
6. Найдем точки пересечения с осями координат:
х = 0 Þ у = 0 Þ (0; 0) – точка пересечения с осями координат.
7. Строим график:
ЛИТЕРАТУРА
1. Гусак А. А. Математический анализ и дифференциальные уравнения.– Мн.: Тетрасистемс, 1998. – 415 с.
2. Минченков Ю. В. Высшая математика. Производная функции. Дифференциал функции: Учебно-методическое пособие.– Мн.: ЧИУиП, 2007.– 20 с.