Курсовая работа: Власні значення і власні вектори матриці

Далі, як відомо, є власними значеннями матриці. Тому

тобто якщо

то

. (5)

Степені  знаходяться безпосереднім перемножуванням.

Таким чином, схема розкриття вікового визначника по методу Леверрьє вельми проста, а саме: спочатку обчислюються   степені даної матриці А, потім знаходяться відповідні sk - суми елементів головних діагоналей матриць , нарешті, по формулах (3) визначаються шукані коефіцієнти .

Метод Леверрьє вельми трудомісткий, оскільки доводиться підраховувати високі степені даної матриці. Достоїнство його — нескладна схема обчислень і відсутність виняткових випадків.

Приклад. Методом Леверрьє розгорнути характеристичний визначник матриці

Розв’язання. Утворюємо степені  матриц А. Маємо:

Відмітимо, що не було необхідност обчислювати  повністю, досить було знайти лише головні діагональні елементи цієї матриці.

Звідси

Отже, по формулах (3) матимемо:

Таким чином, ми одержуємо вже відомий результат:

2.4      Метод невизначених коефіцієнтів

Розгортання вікового визначника можна також здійснити за допомогою знаходження досить великої кількості його числових значень.

Нехай

(1)

є віковим визначником матриці А, тобто

.

Якщо в рівності (1) послідовно покласти, то для коефіцієнтів одержимо систему лінійних рівнянь

(2)

Звідси

(3)

І

З системи (3) можна визначити коефіцієнти  характеристичного полінома (1).

Вводячи матрицю

і вектори

систему (3) можна записати у вигляд матричного рівняння

 (4)

звідси

(5)

Відмітимо, що обернена матриця  залежить тільки від порядку n вікового визначника і може бути знайдена наперед, якщо доводиться мати справу з масовим розкриттям вікових визначників одного і того ж порядку.

Таким чином, застосування цього методу зводиться до обчислення числових визначників

і знаходження розв’язку стандартно лінійної системи (4).

2.5      Метод скалярних добутків для знаходження першого власного значення дійсної матриці

Для відшукання першого власного значення  дійсно матриці А можна вказати дещо інший ітераційний процес, що є іноді вигіднішим. Метод [1] заснований на утворенні скалярних добутків

 

 де А' — матриця, транспонована з матрицею А, і у0 — вибраний яким-небудь чином початковий вектор.

Переходимо тепер до викладу самого методу.

Нехай А — дійсна матриця і власні значення, які передбачаються різними, причому

Візьмемо деякий ненульовий вектор у0 за допомогою матриці А побудуємо послідовність ітерацій

(1)

Для вектора у0 утворюємо також за допомогою транспонованої матриці А' другу послідовність ітерацій

(2)

де .

Згідно з теоремою 1 розділу X § 16 в просторі Еп виберемо два власні базиси    відповідно для матриць А А', що задовольняють умовам біортонормування:

(3)

де   . Позначимо координати вектора у0 в базисі  через , а в базисі  — через  тобто

 

Звідси

(4)

І

()

Складемо скалярний добуток

Звідси через умову ортонормування знаходимо:

(5)

Аналогічно

(6)

Отже, при  маємо:

Таким чином,

(7)

Цей метод особливо зручний для симетричної матриці А, оскільки тоді А'=А, і ми маємо просто

(8)

і, отже, тут потрібно побудувати тільки одну послідовність .

Приклад. Методом скалярних добутків знайти найбільше власне значення матриці

Розв’язання. Оскільки матриця А симетрична, то досить побудувати лише одну послідовність ітерацій .

Вибираючи за початковий вектор

можна використати результати таблиці 27. Наприклад, при k = 5 і k = 6 маємо:

 

Звідси

І

Отже,

що співпадає в написаних знаках із значенням, знайденим раніше за допомогою А10у0.

Зауваження. Методи знаходження найбільшого по модулю кореня характеристичного рівняння можна використовувати для знаходження найбільшого по модулю кореня алгебраїчного рівняння

(9)

Дійсно, рівняння (9), як легко безпосередньо перевірити, є віковим для матриці

тобто рівняння (9) еквівалентно рівнянню

Якщо рівняння (9) не має нульового кореня, то аналогічним способом може бути визначений найменший по модулю корінь цього рівняння, а саме, при ,вважаючи , одержимо:

(10)

Зворотна величина найбільшого по модулю кореня рівняння (10), очевидно, дасть нам найменший по модулю корінь рівняння (9).

Знаходження другого власного значення матриці і другого власного вектора.

Нехай власні значення  матриці А такі, що

(1)

тобто є два відмінних один від одного, найбільших по модулю власних значення    матриц А. У такому разі прийомом, аналогічним розібраному вище (§ 11), можна приблизно знайти друге власне значення   власний вектор , що відповіда йому.

З формули (2) маємо:

(2)

І

(3)

Виключимо з формул (2) і (3) члени, що містять . Для цього від рівності (3) віднімемо рівність (2), помножену на . В результаті одержимо:

(4)

Введемо позначення

(5)

причому вираз (5) називатимемо - різницею від . Якщо , то очевидно, що перший доданок в правій частині рівності (4) є її головним членом при , і ми маємо наближену рівність

(6)

Звідси

(7)

Нехай

З формул (6) і (7) виводимо:

(8)

Користуючись формулою (8), можна приблизно обчислити друге власне значення . Відмітимо, що на практиці зважаючи на втрату точності при відніманні близьких чисел іноді вигідніше номер ітерації k для визначення  брати меншим, ніж номер ітерації т для визначення , тобто доцільно вважати:

(9)

де k- найменше з чисел, при якому починає позначатися переважання  над наступними власними значеннями. Формула (9), взагалі кажучи, дає грубі значення для . Відмітимо, що якщо модулі всіх власних значень різні між собою, то за допомогою формул, аналогічних формулі (9), можна обчислити і решту власних значень дано матриці. Проте результати обчислень будуть ще менш надійні.

Що стосується власного вектора , те, як витікає з формули (6), можна покласти:

.

(10)

Є розповсюдження даного методу на випадок кратного кореня характеристичного рівняння.

Приклад. Визначити подальші власн значення і власні вектори матриці

Розв’язання. Для знаходження другого власного значення приймемо k = 8. Маємо:

45433 21141 6 201	202833 93906 27 342	905238 417987 121 248

Складаємо - різниці по формулі

де . Для кожного із стовпців приймається своє значення  а саме:  = 4,462;  = 4,456;  = 4,447 (таблиця 2).

Таблиця 2

Обчислення другого власного значення

202833 93906 27 342	202722 94204 27         76	111 – 298 – 234	905238 417987 121 248	905041 418445 121 590	197 – 458 – 342

Звідси одержуємо:

Отже, приблизно можна прийняти:

В якості другого власного вектора можна прийняти:

Нормуючи цей вектор, одержимо:

Оскільки матриця А — симетрична, то вектори   повинн бути ортогональні між собою. Перевірка дає:

Звідси , що досить неточно.

Третє власне значення  знаходимо по сліду матриці А:

Звідси

.

Власний вектор

можна обчислити з умов ортогональності:

Звідси

Або

Після нормування остаточно отримаємо:

2.6      приклади задач, що зводяться до відшукання власних значень та власних векторів матриці

Задача 1

Дослідимо тривісне напруження стану елемента тіла, представленого на малюнку. Матриця напруги для нього має вигляд

Якщо виходити з того, що руйнування станеться при максимальній напрузі, то необхідно знати величину найбільшого головного напруження яке відповідає найбільшому власному значенню матриц напруги. Для знаходження цієї напруги скористаємося одним методом ітерацій. Одержимо власне значення   такий власний вектор

Задача 2. [12, стор. 70]Для довільного тривимірного твердого тіла можна ввести три моменти інерції відносно трьох взаємно перпендикулярних осей і три змішані моменти інерції відносно трьох координатних площин. Відомо, що для несиметричного тіла при фіксованому початку координат існує єдина орієнтація координатних осей, при якій змішані моменти інерції обертаються в нуль. Такі осі називаються головними осями інерції, а відповідні моменти нерції - головними моментами інерції, серед яких є найбільший, найменший такий, що має проміжне значення. Для матриці моментів інерції

знайти три головних моменти інерції.

Задача 3. [12, стор. 70]Баржа призначена для перевезення через озеро Ері зчепки з шести залізничних вагонів. Буксир тягне її за носову частину, як показано на малюнку. Значення мас вагонів і коефіцієнтів жорсткост сполучних елементів вказані під малюнком. Існує побоювання, що в зчепленн вагонів при хвилюванні на озері можуть виникнути резонансні продольні коливання. Обчислити шість власних частот даної механічної системи і порівняти їх з частотою хвилі, рівній 1 рад/с. Власні частоти пов'язані з власними значеннями динамічної матриці D співвідношенням

Динамічна матриця утворюється із матриць жорсткості [К] і мас [M]

.

Задача 4. [12, стор. 71] Консольний брус довжиною 10 м, що має згинну жорсткість   погону масу 10 кг/м, апроксимується двома точковими масами по 50 кг кожна, що розташовані в центрі та на вільному кінці бруса.

 

Потрібно знайти дві основні частоти коливань бруса. Це можна зробити, знаючи власні значення динамічно матриці  та маючи на увазі, що

.

  діагональна матриця, на діагоналі якої стоять маси точок;

  матриця згину, в якій елементи і-го рядка являють собою відхилення точки j під дією одиничної сили, що прикладена до точки і. Осьова сила відсутня. Деформаціями здвигу можна знехтувати.

Висновки

У першому розділі курсової роботи проаналізовано науково-методичну літературу з теми дослідження.

Вивчення даної теми ми почали з розкриття дуже важливого для нашого дослідження поняття "матриця".

Ми розглянули основні відомості про матриці та визначники, висвітлили означення власних значень та власних векторів матриць.

В другому розділі ми розглянули теоретичні основи таких методів:

1)         метод А. М. Данілевського;

2)         метод А. Н. Крилова;

3)         метод Леверрьє;

4)         метод невизначених коефіцієнтів;

5)         метод скалярних добутків для знаходження першого власного значення дійсної матриці.

Наведен приклади задач з фізики, що зводяться до відшукання власних значень та власних векторів матриці.

Дана робота має практичне застосування, її матеріал може бути використаний на факультативних заняттях з лінійної алгебри для формування наукового світогляду та математичної культури студентів.

Список використаних джерел

1.         Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. — 3-е изд. — М.: Наука, 1966. — 560 с.

2.         Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учеб. Для вузов — 4-е изд. — М.: Наука. Физматлит, 1999. — 296 с.

3.         Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Мир, 1988. — 512 с.

4.         Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. 3-е изд. — М.: Наука, 1968. — 402 с.

5.         Марчук Г. И. Методы вычислительной математики — М.: Наука, 1977. — 392с., ил.

6.         Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения/Под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1987. — 368 с.

7.         Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. — М.: Физматгиз, 1963. — 408 с.

8.         Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве: Пер. с англ. — М.: Мир, 1982. — 304 с., ил.

9.         Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных уравнений. — М.: Мир, 1969. — 285 с.

10.      Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений: Пер. с англ. М.: Мир, 1980. — 277 с., ил.

11.      Хемминг Р. В. Цыфровые фильтры: Пер. с англ./Под ред. А. М. Трахтмана — М.: Советское радио, 1980. — 224 с., ил.

12.      Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ: Практическое руководство. Пер. с англ. — М.: Мир, 1982. — 238с., ил.

[1] Нормуванням (на одиницю) вектора х називають множення його на ; нормований вектор має одиничну довжину.