Быстрый поиск

Курсовая работа: Власні значення і власні вектори матриці

Сюди ж (рядок 1 таблиці 1) поміщаємо елемент

що одержується аналогічним прийомом з контрольного стовпця Σ. Число -5 повинно співпасти з сумою елементів рядка I, що не входять в контрольний стовпець (після заміни елементу на -1). Для зручності число -1 записуємо поряд з елементом , відокремлюючи від останнього межею.

У рядках 5-8 в графі М-1 виписуємо третій рядок матриці М-1, яка в силу формули (7) співпадає з четвертим рядком початкової матриці А. У рядках 5-8 у відповідних стовпцях виписуємо елементи матриці

B = АМ3,

що обчислюються за двочленними формулами (6) для невідмічених стовпців і по одночленній формулі (6') для відміченого стовпця. Наприклад, для першого стовпця маємо:

і т.д.

Перетворені елементи третього (відміченого) стовпця отримуються за допомогою множення початкових елементів на = 0,5. Наприклад,

Відмітимо, що останній рядок матриці В повинен мати вигляд

0 0 1 0.

Для контролю поповнюємо матрицю В перетвореними по аналогічних двочленних формулах з відповідними елементами стовпця Σ. Наприклад,

Отримані результати записуємо в стовпці Σ' у відповідних рядках. Додавши до них елементи третього стовпця, одержимо контрольні суми

для рядків 5-8 (стовпець Σ).

Перетворення ,що проведене над матрицею і що дає матрицю , змінює лише третій рядок матриці В, тобто сьомий рядок таблиці. Елементи цього перетвореного рядка 7' виходять по формулі (10), тобто є сумами парних добутків елементів стовпця , що знаходяться в рядках 5-8, на відповідні елементи кожного із стовпців матриці В. Наприклад

і т. д.

Такі ж перетворення проводимо над стовпцем Σ:

В результаті одержуємо матрицю C, що складається з рядків 5, 6, 7', 8 з контрольними сумами Σ, причому матриця C подібна матриці А і має один зведений рядок 8. Цим закінчується побудова першого подібного перетворення .

Далі, прийнявши матрицю C за вихідну виділивши елемент (другий стовпець), продовжуємо процес аналогічним чином. В результаті одержуємо матрицю , елементи якої розташован в рядках 9, 10', 11, 12, що містить два зведені рядки. Нарешті, відправляючись від елементу (перший стовпець) перетворюючи матрицю D в подібну їй, одержуємо шукану матрицю Фробеніуса Р, елементи якої записані в рядках 13', 14, 15, 16. На кожному етапі процесу контроль здійснюється за допомогою стовпців Σ і Σ'.

Таким чином, матриця Фробеніуса буде мати вигляд:

Звідси віковий визначник, приведений до нормального виду Фробеніуса, запишеться так:

або

Виняткові випадки в методі А. М. Данілевського.

Процес А. М. Данілевського [1] відбувається без жодних ускладнень, якщо всі елементи, що виділяються, відмінн від нуля. Ми зупинимося зараз на виняткових випадках, коли ця вимога порушується.

Припустимо, що при перетворенні матриці А в матрицю Фробеніуса Р ми після декількох кроків пришли до матриці вигляду

причому виявилось, що .

Тоді продовжувати перетворення по методу А. М. Данілевського не можна. Тут можливі два випадки.

1. Нехай якийсь елемент матриці D, що стоїть ліворуч нульового елемента , відмінний від нуля, тобто , де. Тоді цей елемент висуваємо на місце нульового елементу , тобто переставляємо (k-1) -й і k -й стовпці матриці D і одночасно переставляємо (k-1) -й і l-й рядки. Можна довести, що одержана нова матриця D' буде подібна колишній. До нової матриці застосовуємо метод А.М.Данілевського.

2. Нехай , тоді D має вигляд

У такому разі віковий визначник det(D - lЕ) розпадається на два визначники

det (D - lЕ) = det (D1 - lЕ) det (D2 - lЕ).

При цьому матриця D2 вже приведена до канонічної форми Фробеніуса і тому det (D2 - lЕ) обчислюється відразу. Залишається застосувати метод А. М. Данілевського до матриці D1.

Обчислення власних векторів по методу А. М. Данілевського.

Метод А. М. Данілевського [1] да можливість визначати власні вектори даної матриці А, якщо відомі її власн значення. Неай l власне значення матриці А, а отже, і власне значення подібної їй матриц Фробеніуса Р.

Знайдемо власний вектор матриці Р, відповідний даному значенню l: Ру = lу. Звідси (Р - lЕ) у = 0 або

Перемножуючи матриці, одержимо систему для визначення координат власного вектора у:

(1)

Система (1) — однорідна. З точністю до коефіцієнта пропорційності розв’язки її можуть бути знайдені таким чином. Покладемо yn=1. Тоді послідовно одержимо:

(2)

Таким чином, шуканий власний вектор є

Позначимо тепер через х власний вектор матриці А, що відповідає значенню l. Тоді, очевидно, маємо:

Перетворення M1, здійснене над y, дає:

Таким чином, перетворення М1 змінює лише першу координату вектора. Аналогічно перетворення М2 змінить лише другу координату вектора М1у т.д. Повторивши цей процес n-1 разів, одержимо шуканий власний вектор х матриц А.

2.2 Метод А. Н. Крилова

Приведемо метод розгортання вікового визначника, що належить А. Н. Крилову [1] і заснований на істотно іншій ідеї, ніж метод А. М. Данілевського.

Нехай

(1)

— характеристичний поліном (з точністю до знаку) матриці А. Згідно тотожності Гамільтона-Келі, матриця А обертає в нуль свій характеристичний поліном; тому

. (2)

Візьмемо тепер довільний ненульовий вектор

Множачи обидві частини рівності (2) справа на , одержимо:

. (3)

Покладемо:

; (4)

тоді рівність (3) набуває вигляду

(5)

або

(5’)

Де

Отже, векторна рівність (5) еквівалентна системі рівнянь

(6)

з якої, взагалі кажучи, можна визначити невідомі коефіцієнти .

Оскільки на підставі формули (4)

то координати вектора послідовно обчислюються за формулами

(7)

Таким чином, визначення коефіцієнтів pj характеристичного полінома (1) методом А. Н. Крилова зводиться до розв’язання лінійної системи рівнянь (6), коефіцієнти якої обчислюються за формулами (7), причому координати початкового вектора

довільні. Якщо система (6) має єдиний розв’язок, то її корені р1, р2 . . ., рn коефіцієнтами характеристичного полінома (1). Цей розв’язок може бути знайдено, наприклад, методом Гауса. Якщо система (6) не має єдиного розв’язку, то завдання ускладнюється. В цьому випадку рекомендується змінити початковий вектор.

Приклад. Методом А. Н. Крилова знайти характеристичний поліном матриці

Розв’язання. Виберемо початковий вектор

Користуючись формулами (7), визначимо координати векторів

Маємо:

Складемо систему (6):

яка в нашому випадку має вигляд

Звідси

Розв’язавши цю систему, одержимо:

Отже

що співпадає з результатом, знайденим по методу А. М. Данілевського.

Обчислення власних векторів по методу А. Н. Крилова.

Метод А. Н. Крилова дає можливість просто знайти відповідні власні вектори [1].

Для простоти обмежимося випадком, коли характеристичний поліном

(1)

має різні корені . Припустимо, що коефіцієнти полінома (1) і його корені визначені. Потрібно знайти власн вектори , що відповідають відповідно власним значенням .