Курсовая работа: Метод вейвлет-перетворення

Розклад в ряд Фур'є довільної функції y(t) коректно, якщо функція y(t) належить цьому ж простору L2(0,T), тобто квадратично інтегрувальна з кінцевою енергією:

|y(t)|2 dt < ¥ , t Î (0,T), (4.1. 7)

при цьому вона може бути періодично розширена й визначена на всій тимчасовій осі простору R(-¥, ¥) так, що

y(t) = y(t-T), t Î R,

за умови збереження кінцівки енергії в просторі R(-¥, ¥).

З позицій аналізу довільних сигналів і функцій у частотній області й точному відновленні після перетворень можна відзначити ряд недоліків розкладання сигналів у ряди Фур'є, які привели до появи віконного перетворення Фур'є й стимулювали розвиток вейвлетного перетворення. Відзначимо основні з них:

·          Обмежена нформативність аналізу нестаціонарних сигналів і практично повна відсутність можливостей аналізу їхніх особливостей (сингулярностей), тому що в частотній області відбувається «розмазування» особливостей сигналів (розривів, сходів, піків і т.п.) по всьому частотному діапазоні спектра.

·          Гармонійн базисні функції розкладу не здатні в принципі відображати перепади сигналів з нескінченною крутістю типу прямокутних імпульсів, тому що для цього потрібно нескінченно велика кількість членів ряду. При апроксимації стрибків нелокалізованими в часі базисними функціями необхідно, щоб суперпозиція цих функцій не тільки відновила стрибок, але й знищила один одного за межами стрибка, що робить рівнозначними всі компоненти його спектра. При обмеженн числа членів ряду Фур'є на околицях стрибків і розривів відновленого сигналу виникають осцилляции (явище Гіббса).

·          Перетворенням Фур'є відображаються глобальні відомості про частоти досліджуваного сигналу, оскільки базисні функції перетворення визначені на нескінченному тимчасовому нтервалі. ПФ не дає представлення про локальні властивості сигналу при швидких тимчасових змінах його спектрального складу. Так, наприклад, перетворення Фур' не розрізняє сигнал із сумою двох синусоїд. Перетворення Фур'є в принципі не має можливості аналізувати частотні характеристики сигналу в довільні моменти часу.

4.2 Віконне перетворення Фур'є

Частковим виходом з цієї ситуації є так зване віконне перетворення Фур'є з віконною функцією, що рухається по сигналі, що має компактний носій. Повний часовий інтервал сигналу, особливо при великій його тривалості, розділяється на підінтервали, і перетворення Фур'є виконується послідовно для кожного вікна окремо. Тим самим здійснюється перехід до частотно-тимчасового (частотно-координатному) поданню сигналів і результатом віконного перетворення є сімейство спектрів, яким відображається зміна спектра сигналу по інтервалах зрушення вікна перетворення. Це якоюсь мірою дозволя виділяти на координатній осі й аналізувати особливості нестаціонарних сигналів. Розмір носія віконної функції w(t) звичайно встановлюється порівнянним з нтервалом стаціонарності сигналу. Власне кажучи, таким перетворенням один нелокалізований базис розбивається на певну кількість базисів, локалізованих у межах функції w(t), що дозволяє представляти результат перетворення у вигляді функції двох змінних - частоти й тимчасового положення вікна. Віконне перетворення виконується відповідно до виразу:

S(w,bk) = s(t) w(t-bk) exp(-jwt) dt. (4.2.8)

Функція w(t-b) являє собою функцію вікна зрушення перетворення по координаті t, де параметром b задаються фіксовані значення зрушення. При зрушенні вікон з рівномірним кроком bk = kDb. В якості вікна перетворення може використовуватися як найпростіше прямокутне вікно ( w(t)=1 у межах вікна й 0 за його границями), так і спеціальні вагові вікна (Бартлетта, Гаусса, Кайзера та ін.), що забезпечують малі перекручування спектра за рахунок граничних умов вирізки віконних відрізків сигналів і нейтралізуюче явище Гіббса.

4.3 Приклад віконного перетворення

Приклад віконного перетворення для нестаціонарних сигналів на великому рівні шуму наведений на рисунку , наведеного у додатку А. По спектрі сигналу в цілому можна судити про наявність у його складі гармонійних коливань на трьох частотах. Віконне перетворення не тільки підтверджує даний висновок, але й показу конкретну локальність коливань по інтервалі сигналу й співвідношення між амплітудами цих коливань.

Координатна розв'язна здатність віконних перетворень визначається шириною віконної функц й, у силу принципу невизначеності Гейзенберга, обернено пропорційна частотній розв'язній здатності. При ширині віконної функції, рівної b, частотна розв'язна здатність визначається значенням Dw = 2p/b. При необхідній величині частотного дозволу Dw відповідно ширина віконної функції повинна, бути дорівнює b = 2p/Dw. Для віконних перетворень Фур'є ц обмеження є принциповими. При розмірі масиву даних N = 300 і ширині віконної функції Db = 100 частотна розв'язна здатність результатів перетворення зменшується в N/Db = 3 рази в порівнянні з вихідними даними, і графіки Sw(nDwSw) по координаті n для наочного зіставлення із графіком S(nDwS ) побудовано із кроком по частоті DwSw = 3DwS, тобто по точках n = 0, 3, 6, … , N...

4.4 Частотно-часов віконні перетворення

Функція віконних перетворень (4.2.8) може бути, переведена в тривимірний варіант із незалежними змінними й за часом, і по частоті:

S(t,w) = s(t-t) w(t) exp(-jwt) dt. (4.4.9)

На рисунку, наведеного у додатку Б, наведений приклад обчислення й представлення (модуль правої частини головного діапазону спектра) результатів тривимірної спектрограми при дискретному задані вхідного сигналу sq(n). Сигнал являє собою суму трьох послідовних радіоімпульсів з різними частотами без пауз, з відношенням сигнал/шум, близьким до 1. Віконна функція wi задана в однобічному варіанті з ефективною шириною вікна b @ 34 і повним розміром М =50. Установлений для результатів крок по частоті Dw = 0.1 трохи вище фактичної розв'язно здатності 2p/M = 0.126.

Для забезпечення роботи віконної функції по всьому інтервалі сигналу задавалися початкові й кінцеві умови обчислень (продовження на M крапок обох кінців сигналу нульовими значеннями).

Як видно за результатами обчислень, віконне перетворення дозволяє досить точно локалізувати інформативн особливості сигналу за часом і по частоті[13].

Використання дискретного вейвлет-перетворення дозволяє провести доведення багатьох положень теорії вейвлетів, пов'язаних з повнотою й ортогональністю базису, збіжністю рядів і т.д. Доказовість цих положень необхідна, наприклад, при стиску нформації або в завданнях чисельного моделювання, тобто у випадках, коли важливо провести розклад з мінімальним числом незалежних коефіцієнтів вейвлет-перетворення й мати точну формулу зворотного перетворення. Використання безперервного вейвлет-перетворення для аналізу сигналів більш зручно, а його деяка надмірність, пов'язана з безперервною зміною масштабного коефіцієнта а й параметра зрушення b, стає тут позитивною якістю, тому що дозволя більш повно й чітко представити й проаналізувати інформацію, що міститься у вихідних даних. Зокрема, стає можливим проведення локалізації й класифікац особливих крапок і обчислення різних фрактальних характеристик сигналу, а також виконання частотно-часового аналізу нестаціонарних сигналів. Наприклад, у таких сигналів, як мовний сигнал, спектр радикально міняється в часі, а характер цих змін являє собою дуже важливу інформацію при розпізнаванні мови.

На основі вейвлетів створюються й такі елементи, як високочастотний і низькочастотний вейвлет-фільтри, за допомогою яких відбувається фільтрація сигналу по алгоритму Малла (рисунок 4.6). При цьому для збільшення дозволу вейвлет-фільтрів по частоті використається простий і досить ефективний прийом. Опишемо його для ортогонального випадку[2].

Рисунок 4.6 – Розклад по вейвлет-пакетам.

Сімейства вейвлетів у тимчасовій або частотній області використаються для представлення сигналів і функцій у вигляді суперпозицій вейвлетів на різних масштабних рівнях декомпозиції (розкладання) сигналів. Перші теоретичні роботи з основ вейвлетних перетворень були виконані в 90-х роках минулого століття Мейером (Mayer Y.), Добеши (Daubechies I.) і Маллатом (Mallat S.A.). Математичний апарат вейвлет-перетворення перебуває в стадії активної розробки, однак спеціальн пакети розширень по вейвлетам уже існують в основних системах комп'ютерно математики (Matlab, Mathematica, Mathcad, і ін.).

У цей час вейвлет-перетворення й вейвлетний аналіз використовуються в багатьох галузях науки й техніки для всяких завдань: для розпізнавання образів, для чисельного моделювання динаміки складних нелінійних процесів, для аналізу апаратно нформації й зображень у медицині, космічній техніці, астрономії, геофізиці, для ефективного стиску сигналів і передачі інформації з каналів з обмеженою пропускною здатністю й т.д.

4.5 Розклад по піддіапазонам

Іноді буває корисно розкласти сигнал на компоненти, енергія яких зосереджена в різних частотних піддіпазонах (тобто істотно відмінна від нуля на різних під відрізках відрізка ), і кодувати їх з різним ступенем детальності (наприклад, залежно від чутливості людського вуха до звуків різної частоти). Розподіл «енергії» сигналу по частотах характеризує , Задовго до створення вейвлет-аналіза для цього використалася схема, що ми зараз опишемо.

Ми хочемо знайти два фільтри,  (придушуючий висок частоти) і ( придушуючий низьк частоти), які дозволяли б розкласти сигнал на два компоненти,  і , удвічі їх прорідити (половина значень стає зайвою – адже частотний діапазон скоротився вдвічі!), а потім, за допомогою транспонованих фільтрів, точно відновити за цими даними вихідний сигнал (цю операцію можна застосовувати рекурсивно). Умови на шукан фільтри зручно записати в термінах z-перетворення.

Нехай  – z-перетворення однієї з компонентів. Перед кодуванням вона проріджується вдвічі, а перед відновленням вихідного сигналу доводить до вихідної довжини вставкою нулів між сусідніми значеннями. При цьому z-перетворення з  перетворюється в . Підставивши дане рівняння для кожного з фільтрів, одержимо z-перетворення компонентів перед відновленням

 (4.5.10)

z-перетворення транспонованих фільтрів мають вигляд  і . Сигнал відновиться з хньою допомогою точно, якщо:

.

Одержуємо умови точного відновлення :

 (4.5.11)

У матричній формі вони записуються так:

,

де

 (4.5.12)

Підставивши , одержимо умови на ДПФ шуканих фільтрів:

    (4.5.13)

 

Допустимо, що ми знайшли  такий, що

 (4.5.14)

Тоді, підставивши

 (4.5.15)

ми бачимо, що умова виконується. Завдання звелося до знаходження тригонометричного багаточлена , що задовольняє умові. На методах побудови таких багаточленів ми зупинимося в наступній лекції. Фільтри  і , що задовольняють умові, називаються квадратурними дзеркальними фільтрами. На рисунку 4.7 (a) і (б), показані ДПФ такої пари фільтрів  і , а також вихідний сигнал до й після фільтрації (без проріджування)[12].

Рисунок 4.7(а) – Сигнал до фільтрації

Рисунок 4.7 (б) – Сигнал після фільтрації

5. ЗАСТОСУВАННЯ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛІЗА ДЛЯ ОБРОБКИ СИГНАЛІВ

5.1 Огляд існуючих методів

5.1.1 Пірамідне представлення сигналів

На рисунку 5.1 схематично зображене пірамідне представлення одномірного сигналу. Сигналові ставляться у відповідність дві піраміди: піраміда гауссіанів (ПГ) і піраміда лапласіанів (ПЛ). Ці назви відбивають аналогію з популярними в графіку операціями згладжування (згортки з колоколообразним фільтром) і виділення перепадів (обчислення “дискретного оператора Лапласа”). Можна вважати цю конструкцію спрощеним варіантом попередньої.

В основі ПГ знаходиться вихідний сигнал. Наступний поверх ПГ – вихідний сигнал, профільтрований низькочастотним фільтром   проріджений після цього вдвічі – передбачається, що фільтр h «убиває» верхню половину частотного діапазону, тому густоту вибірки можна відповідно зменшити. До цього поверху застосовується та ж операція, і так далі. У випадку кінцевих сигналів кожний наступний поверх удвічі коротше попереднього.

Рисунок 5.1 Пірамідне представлення сигналів

Поверхи ПЛ – різниці між послідовними поверхами ПГ. Вони обчислюються так. Нехай, наприклад,  і  – перший і другий поверхи ПГ,  – перший поверх ПЛ, що ми хочемо обчислити. Для цього спочатку вирівнюються довжини поверхів:

а потім виконується фільтрація сполученим фільтром  (його коефіцієнти – переставлені у зворотному порядку коефіцієнти , у Фур'є-області це рівнозначно переходу к) . У результаті виникає вектор  . По визначенню, .Тепер замість вихідного сигналу ( ) досить запам'ятати пари ( ). Вихідний сигнал можна точно відновити по формулі:

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5