Быстрый поиск

Курсовая работа: Інтеграл Стілтьєса

, (7)

де абсолютно інтегровна на проміжку , то інтеграл (5) існує.

Нехай , так, що монотонно зростає. Якщо інтегровна за власним змістом, і виходячи з цього, обмежена: , то для маємо .

Таким чином, у цьому випадку задовольня умові Ліпшиця, та інтеграл існує в силу (2).

Припустимо тепер, що інтегровна у невласному сенсі. Обмежимося випадком однієї особливої точки, скажімо . Перш за все, за довільно взятим вибираємо так, щоб було

, (8)

де - загальне коливання функції на розглядуваному нами проміжку.

Розіб’ємо проміжок довільно на частини і складемо суму

Вона розкладається на дві суми , з яких перша відповідає проміжкам, що цілком містяться в проміжку , а друга – решт проміжків. Останні, скоріш за все, містяться в проміжку , якщо тільки ; тоді в силу (8),

З іншого боку, так як на проміжку функція інтегровна у власному сенсі, то за доведеним, при достатньо малому сума стане меншою за . Звідси слідує (4), що потрібно було довести.

У загальному випадку, коли функція абсолютно інтегровна на проміжку , ми розглянемо функції

очевидно, невід’ємн нтегровні на даному проміжку. Так як

то питання зводиться до вже розглянутого випадку.

ЗАУВАЖЕННЯ. Нехай функція неперервна на проміжку і має, виключаючи лише скінчене число точок, похідну , причому ця похідна інтегровна (у власному чи невласному змісті) від до ; тоді, як відомо, ма місце формула (7):

Якщо абсолютно інтегровна, то до функції повністю справедливо все викладене в п. 3.[1;3]

§3. Властивості інтегралу Стілтьєса

З визначення нтегралу Стілтьєса безпосередньо випливають такі його властивості:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

При цьому у випадках 2, 3, 4 з існування інтегралів у правій частині випливає існування нтеграла у лівій частині. Далі маємо

5. ,

у припущенні, що і існують всі три нтеграли.

Для доведення цієї формули достатньо включити точку с в число точок розбиття проміжку , при складанні суми Стілтьєса для інтегралу .

Перш за все, з існування інтеграла уже випливає існування обох нтегралів і .

Для своєрідного граничного процесу, за допомогою якого для стілтьєсової суми отримується інтеграл Стілтьєса, має місце принцип збіжност Больцано-Коші. Таким чином по заданому враховуючи снування інтеграла знайдеться таке , що будь-які дві суми і , яким відповідають і , різняться менш ніж на . Якщо при цьому у склад точок розбиття включити точку с, а точки розбиття, що припадають на проміжок , брати в обох випадках одними й тими самими, то різниця зведеться до різниці двох сум Стілтьєса, що належать вже проміжку , бо решта доданків взаємно скорочуються. Застосовуючи до проміжку обрахованим для нього стілтьєсовим сумам той же принцип збіжності, зробимо висновок про існування інтеграла . Аналогічним чином встановлюється і існування інтегралу . Але, важливо відмітити, що з існування обох інтегралів і , взагалі кажучи, не випливає існування інтегралу . Щоб упевнитися в цьому, достатньо розглянути приклад. Нехай на проміжку функції і задані наступними рівностями:

Легко побачити, що інтеграли

обидва існують рівні 0, бо відповідні суми Стілтьєса всі рівні 0: для першого це випливає з того, що завжди =0, для другого з постійності функції , завдяки чому =0.

У той же час нтеграл не існує. Дійсно, розіб’ємо проміжок так, щоб точка 0 не потрапила у склад точок розбиття, і складемо суму:

Якщо точка 0 потрапляє в проміжок , так, що , то в сумі залишиться лише один -й доданок; решта будуть нулі, тому що для . Отже,

В залежності від того, чи буде або , виявиться або , так що границі не має

Вказана своєрідна умова пов’язана з наявністю розривів у точці для обох функцій і . [8]

§4. Інтегрування за частинами

Для інтегралів Стілтьєса має місце формула

– (8)

в припущенні, що існу один з цих інтегралів; існування іншого звідси вже випливає. Ця формула носить назву формули інтегрування за частинами. Доведемо її.

Нехай існує інтеграл . Розклавши проміжок [а, b] на частини [xi , xi+1] (i = 0, 1, ..., n — 1), оберемо в цих частинах довільно по точці таким чином, що

Суму Стілтьєса для інтеграла

можна представити у вигляді

Якщо додати або відняти зправа вираз то перепишеться так:

Вираз у фігурних дужках представляє собою стілтьесову суму для інтеграла (існування якого припущено!). Вона відповідає розбиттю проміжку [а, b] точками ділення якщо в якості обраних з проміжків точок узяти xi, а для проміжків , відповідно, а b. Якщо, як зазвичай, покласти то тепер довжини всіх частинних проміжків не перевищать .

При сума у квадратних дужках пряму до , з чого слідує, що існу границя і для , тобто інтеграл і цей інтеграл визначається формулою (9). [8]

§5. Зведення інтеграла Стілтьєса до інтегралу Рімана

Нехай функція f(x) неперервна на проміжку [a, b], a g(x) монотонно зростає в цьому проміжку, притому в суворому сенсі. Тоді, як показав Лебег (Н. Lebesgue), інтеграл Стілтьеса за допомогою підстановки безпосередньо зводиться до нтегралу Рімана.

Доведемо тепер, що

(10)

де останній інтеграл береться у звичайному сенсі, його існування забезпечено, так як функція g(v), а з нею і складна функція f(g-1(v)) неперервні.

Для цього розкладемо проміжок [а, b] на частини за допомогою точок ділення

a=x0<x1<…<xi<xi+1<…<xn=b

и складемо стілтьесову суму

Якщо покласти vi = g(xi) (i = 0, 1, . . ., n), то будемо мати

v0<v1< ... <vi< vi+1 < ... <vn = V.

Так як хi = g-1 (vi), то

Цей вираз має вигляд ріманової суми для інтеграла

Маємо

так що

Припустимо тепер настільки малими, щоб коливання функції f(x) у всіх проміжках [xі, хі+1] були менше довільно наперед заданого числа > 0. Так як при , очевидно, , то одночасно і <.