Быстрый поиск

Курсовая работа: Інтеграл Стілтьєса

Міністерство освіти і науки України

Полтавський державний педагогічний університет

імені В.Г. Короленка Кафедра математичного анілізу та інформатики

Курсова робота з математики

ІНТЕГРАЛ СТІЛТЬЄСА Виконала студентка групи М-41 Лозицька Тетяна Петрівна Науковий керівник канд. фіз.-мат. наук, доцент Кононович Тетяна Олександрівна

Полтава-2008

ЗМІСТ

ВСТУП

§1.Визначення інтегралу Стілтьєса

§2. Існування інтегралу Стілтьєса

2.1. Загальні умови існування інтегралу Стілтьєса.

2.2. Класи випадків існування інтегралу Стілтьєса

§3. Властивості інтегралу Стілтьєса

§4. Інтегрування за частинами

§5.Зведення інтеграла Стілтьєса до нтегралу Рімана

§6. Обчислення інтегралів Стілтьєса

§7. Приклади обчислення інтеграла Стілтьєса

§8.Граничний перехід під знаком нтеграла Стілтьєса

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

ВСТУП

Інтегрування у XIX сторіччі в основному пов’язано з теорією тригонометричних рядів. Інтеграл Стілтьєса виник в зовсім новій, нетрадиційній області, а саме в теорії ланцюгових дробів, залишаючись в межах цієї теорії він був частиною мало помітною, специфічним узагальненням нтеграла Рімана. Таким він був близько 15 років. Ф. Пісс в 1910 р. надрукував замітку, змістом якої була формула, яка виражала інтеграл Стілтьєса від неперервної функції f(x) через інтеграл Лебега від деякої сумовно функції другого аргументу.

Лебег пропонує на основі даного ним представлення інтеграла Стілтьєса визначити інтеграл Стілтьєса від розривної функції. У 1914р. Юнг показав, що метод монотонних послідовностей, застосований до інтеграла Стілтьєса, досить просто призводить до того ж узагальнення.

У зв’язку з переходом в простір більшого числа змінних до кінця сформулювалась точка зору на інтеграл, як на функцію множини. Така точка зору стала особливо родючою для теорії і дозволила серед множини визначень виділити таке поняття диференціювання, в термінах якого ця теорія набуває єдиної форми, незалежно від кількості змінних.

Дана тема представлена в інтегральному численні і вивчається як додатковий розділ курсу математичного аналізу.

Метою роботи вивчення умов існування, властивостей, методів обчислення інтеграла Стілтьєса. Відповідно до мети поставлені наступні завдання:

1. Ввести означення нтегралу Стілтьєса.

2. Визначити умови його існування та класи інтегрованих за Стілтьєсом функцій.

3. Вивчити процес зведення інтегралу Стілтьєса до інтегралу Рімана.

4. Розглянути приклади обчислення та граничний перехід під знаком інтегралу Стілтьєса

§1. Визначення інтегралу Стілтьєса

Інтеграл Стілтьєса (Th.J. Stieltjes[1]) - є безпосереднім узагальненням звичайного інтегралу Рімана. Визначається він наступним чином:

Нехай на проміжку [a,b] задані дві обмежені функції f(x) g(x). Розкладемо точками

(1)

проміжок [a,b] на частини і покладемо . Обравши у кожній з частин [] (i=0,1,…,n-1) за точкою обрахуємо значення функції f(x) помножимо його на відповідний проміжку [] приріст функції g(x)

Нарешті, складемо суму всіх таких добутків:

(2)

Ця сума має назву суми Стілтьєса.

Скінченна границя суми Стілтьєса , коли прямує до нуля називається нтегралом Стілтьєса функції f(x) no функції g(x) и позначається символом

(3)

Іноді, коли необхідно підкреслити, що інтеграл розглядається у сенсі Стілтьєса, вживають позначення

(S) або

Границя тут розуміється в тому ж сенсі, що і у випадку зі звичайним визначеним інтегралом. Точніше кажучи, число I називається інтегралом Стілтьєса, якщо для будь-якого числа > 0 існу таке число >0, що як тільки проміжок [a,b] розбитий на частини так, що , одразу ж виконується нерівність , яким би чином не обиралися точки у відповідних проміжках.

При існуванн нтеграла (3) також говорять, що функція на проміжку інтегровна по функції . Очевидно, що єдина відміна даного визначення від звичайного визначення інтегралу Рімана полягає в тому, що множиться не на приріст незалежної змінної, а на приріст другої функції. Таким чином, інтеграл Рімана є частковим випадком інтегралу Стілтьєса, коли в якост функції взято саму незалежну змінну : = [1;8]

§2. Існування інтегралу Стілтьєса

2.1 Загальні умови існування інтегралу Стілтьєса

Встановимо загальні умови існування інтегралу Стілтьєса, обмежуючись припущенням, що функція монотонно зростає.

Звідси слідує, що при тепер всі , подібно тому, як раніше було . Це дозволяє послідовно замінюючи лише на повторити всі побудови.

Аналогічно до сум Дарбу, і тут доцільно ввести суми

, ,

де і Mi означають, відповідно, нижню і верхню точні межі функції в - тому проміжку . Ці суми будемо називати нижньою верхньою сумами Дарбу-Стілтьєса. Перш за все, ясно, що (при одному й тому самому розбитті) , причому служать точними межами для стілтьєсових сум . Самі ж суми Дарбу-Стілтьєса мають дві наступні властивості:

1. Якщо до наявних двох точок розбиття додати нові точки, то нижня сума Дарбу-Стілтьєса може від цього лише зрости, а верхня сума – лише зменшитися.

2. Кожна нижня сума Дарбу-Стілтьєса не перебільшує кожної верхньої суми, хоча б і такій, що відповідає іншому розбиттю проміжку.

Якщо ввести нижній верхній інтеграли Дарбу-Стілтьєса:

= ,

то виявляється, що .

Нарешті, за допомогою сум Дарбу-Стілтьєса легко встановити для випадку, що розглядається, основну ознаку існування інтегралу Стілтьєса:

Теорема. Для існування інтегралу Стілтьєса необхідно і достатньо, щоб виконувалося

, або , (4)

якщо під , як зазвичай, розуміти коливання функції в -му проміжку .

2.2 Класи випадків існування нтегралу Стілтьєса

1. Якщо функція а функція має обмежену зміну, то нтеграл Стілтьєса

(5)

існує.

Спочатку припустимо, що монотонно зростає, тоді за довільно заданим , враховуючи рівномірну неперервність функції , знайдеться таке , що на будь-якому проміжку, довжина якого менше , коливання буде менше за . Нехай тепер проміжок розбитий на частини так, що . Тоді всі < і

звідки й слідує виконання умови (4), а, отже, снування інтеграла також.

У загальному випадку, якщо функція має обмежену зміну, її можна представити у вигляді двох зростаючих обмежених функцій: . У відповідності до цього, перетворюється і сума Стілтьєса, що відповідає функції :

Так, за вже доведеним, кожна із сум і при прямує до граничної межі, це справедливо і відносно суми , що треба було довести.

Можна послабити умови, що накладаються на функцію якщо одночасно посилити вимоги до функції :

2. Якщо функція інтегровна на проміжку за Ріманом, а задовольняє умові Ліпшиця:

(6)

то інтеграл (5) існує.

Для того, щоб знов мати можливість застосувати встановлений вище критерій, припустимо спочатку функцію як таку, що не лише задовольняє умові (6), але і монотонно зростаючу.

Враховуючи (6), очевидно , так, що

Але остання сума при і сама прямує до нуля, як наслідок інтегровності (за Ріманом) функції , а тоді прямує до нуля і перша сума, що доводить існування інтеграла (5).