Курсовая работа: Анализ алгоритмов нечисленной обработки данных
Шаг 3.4. За индекс k необходимо взять значение переменной s, которое содержит указатель правого или левого потомка k-го элемента и переход на Шаг 3.2.
Шаг 3.5. В поле указателя левого или правого потомка k-го элемента записывается значение индекса i. Поля i-го элемента, содержащие указатели левого, правого потомков и предка, обнуляются.
Данный алгоритм реализован в виде процедуры Tree (Приложение Б). Схема алгоритма процедуры Tree представлена в Приложении В.
3.4 Сортировка двоичным деревом
Идея сортировки деревом заключается в следующем. Если у элемента есть левая ветвь, то элемент с наименьшим значением признака надо искать на этой ветви. Если у элемента левой ветви нет, то он должен быть перенесён в результирующий массив b1. После этого очередной элемент разыскивается в правой ветви, если она есть, или возвращается по обратному указателю. После возвращения к какому-либо элементу по левой или правой ветви дальнейшие действия идут так, как будто у этого элемента соответствующей ветви нет. И так до тех пор, пока все элементы исходного массива, образующие двоичное дерево, не будут упорядочены по возрастанию.
Алгоритм сортировки деревом приведен ниже:
Шаг 1. Записываются элементы исходного массива (дерева) в результирующий массив (сортируемое дерево). Просмотр дерева начинается с первого элемента i:=1. Устанавливается счетчик, индекс для просмотра сортируемого дерева k:=0.
Шаг 2. Проверяется i-й элемент массива (дерева) на наличие левого потомка. Если он имеется, то за i-й элемент берется левый потомок и повторяется Шаг 2. Увеличивается счетчик количества перестановок m:=m+1.
Шаг 3. Увеличение счетчика k, в сортируемом массиве берется следующий элемент k:=k+1 и вместо него записывается i-й элемент.
Проверяется i-й элемент массива (дерева) на наличие правого потомка. Если он имеется, то за i-й элемент берется правый потомок и повторяется Шаг 2. Увеличивается счетчик количества перестановок m:=m+1.
Шаг 4. Индексу j присваивается значение индекса i j:=i, за индекс i берется обратный указатель (предок) i:=b[i,5], и если предок существует, то происходит следующая проверка: если предок (i-й элемент) больше своего потомка (j-й элемент), то повторить Шаг 3, иначе повторить Шаг 4.
Шаг 5. Увеличение счетчика перестановок m:=m+1.
Шаг 6. Запись отсортированного массива (дерева) в файл.
Схема алгоритма двоичного поиска приведена в приложении В. Алгоритм реализован в виде процедуры Dv_Poisk (приложение Б).
Шаг 1. Установить начальные значения верхнего и нижнего индекса, счетчика сравнений k и : vi:=N, ni:=1, k:=0 и f:=false,так как элемент ещё не найден.
Шаг 2. Нахождение среднего элемента массива: sri:=((ni+vi) div 2).
Шаг 3. Увеличение счетчика k на единицу: k:=k+1;
Шаг 4. Если средний элемент равен искомому: a[sri]=x, то элемент найден: f:=true;
Шаг 5. Если x>a[sri] переход на шаг 6, иначе на шаг 7.
Шаг 6. За новое значение ni принимается sri+1, а значение vi не меняется.
Шаг 7. За новое значение vi принимается sri-1, а значение ni не меняется.
Шаг 8. Повторение цикла до тех пор, пока счетчик не станет больше максимального количества сравнений: k>log2n , либо элемент не будет найден.
Шаг 9. Если f:=true, то выполняется шаг 10, иначе шаг 11.
Шаг 10. На экран выводится: (‘Element naiden, Index=’, sri,'. Sravnenii ‘,k).
Шаг 11.На экран выводится: (‘Element ne naiden’).
Схема алгоритма записи в файл упорядоченного массива приведена в приложении В. Алгоритм реализован в виде процедуры Save_To_File (приложение Б).
Шаг 1. При n≤16 массив записывается в файл после каждой перестановки.
Шаг 2. При n≥128 массив записывается в файл через каждые 10 перестановок.
Каждый элемент отсортированного массива располагается в четырёх позициях.
4 Инструкции по пользованию программой
Программа, реализованная в соответствии с задачей, поставленной на курсовом проекте, написана на языке Turbo Pascal 7.0. Для запуска программы необходимо иметь компилятор Turbo Pascal 7.0. После запуска программы следует нажать комбинацию клавиш Ctrl+F9. В появившемся окне будет сообщение с просьбой ввести число элементов. Введите целое число n от 16 до 1024 элементов (можно и меньше 16), а затем нажмите клавишу Enter. Если введено n≤16, то ввод элементов надо осуществить с клавиатуры, то есть вручную. Каждый вводимый элемент должен быть положительным и меньше 1000.
Если введено n>16, то программа сформирует массив самостоятельно при помощи датчика случайных чисел;
Дальше потребуется ввести элемент для поиска - x. Затем нажать Enter.
В дальнейшем программа автоматически выведет результаты поисков: линейного и двоичного. Результат включает в себя:
- для линейного поиска - количество сравнений;
- отсортированный массив, где все элементы расположены по возрастанию значений;
- для двоичного поиска – количество сравнений и перестановок, а также индекс искомого элемента;
Все результаты приведены в приложении Г.
Программа, представленная в данном курсовом проекте, разработана на языке высокого уровня – Turbo Pascal 7.0. Она состоит из основной программы и 7 подпрограмм (процедур).
Описания процедур приведены ниже.
4.2.1 Процедура VVod
Предназначена для формирования массива длиной до 1024 элементов. Процедура использует локальную переменную i для обращения к элементам массива. Входные параметры (в скобках указан способ передачи): n длина массива (по значению), A – формируемый массив (по ссылке).
Данная процедура выводит на экран сформированный массив, используя те же входные параметры, что и процедура VVod.
Предназначена для записи во внешний текстовый файл сортируемый массив после заданного числа перестановок. Входные параметры: текстовый файл F(по ссылке), n – длина массива, a – записываемый сортируемый массив, m – количество перестановок.
Эта процедура предназначена для поиска заданного элемента методом линейного поиска. Входные параметры: n – длина массива, a – исходный массив, x – заданный элемент. Локальные переменные: i – индекс элемента, счетчик, k – количество сравнений.
Данная процедура реализует двоичный поиск. Входные параметры – те же, что и в процедуре Lin_Poisk. Локальные переменные: k количество сравнений, ni – индекс нижней границы массива, vi – индекс верхней границы массива, sri – индекс среднего элемента массива.
4.2.6 Процедура Tree
Для построения дерева из исходного массива используется процедура Tree. Она формирует дерево b из массива a. Входные параметры: a - исходный массив (по значению), n – длина массива (по значению). Выходной параметр: b – двумерный массив (дерево). Локальные переменные: i,j – индексы элемента в дереве.
Сортирует дерево, полученное из исходного массива. Входные параметры: b – исходное дерево (по значению), n – длина массива (по значению). Выходной параметр: b1 – результирующий массив (отсортированное дерево). Локальные переменные: k – количество узлов в дереве, m – количество перестановок, i1 индекс элемента в дереве (массиве).
4.3 Область и условия применения программы
В данной программе были разработаны алгоритмы нечисленной обработки данных – линейный и двоичный поиск, сортировка деревом. Сортировку деревом очень удобно использовать, когда необходимо сэкономить максимально возможно количество времени, но для представления дерева требуются большие затраты дополнительной памяти.
Программа является познавательной, её целесообразно использовать в качестве обучающего примера.
На основе проведенных тестов программы был проведен анализ алгоритмов нечисленной обработки данных на примере массива длиной в 16, 128, 512, 1024 элементов.
Для проведения анализа линейного поиска в качестве заданного элемента были взяты числа, расположенные в начале, в середине, в конце и в произвольной позиции массива. Для линейного поиска теоретическое время поиска определяется по формуле Tтеор.=[время сравнения]×N/2
Результаты приведены в нижеследующей таблице.
Таблица 2. Результаты линейного поиска
| Количество элементов массива | 16 | 128 | 512 | 1024 | ||||
| Позиция элемента | Искомый элемент | Количество сравнений | Искомый элемент | Количество сравнений | Искомый элемент | Количество сравнений | Искомый элемент | Количество сравнений |
| Первая | 5 | 1 | 0 | 1 | 48 | 1 | 0 | 1 |
| Средняя | 15 | 8 | 85 | 64 | 894 | 256 | 465 | 512 |
| Последняя | 3 | 16 | 314 | 128 | 191 | 512 | 242 | 1024 |
| Произвольная | 4 | 13 | 272 | 5 | 747 | 511 | 425 | 10 |
| Элемент отсутствует | 101 | 16 | 999 | 128 | 982 | 512 | 987 | 1024 |
| Среднее значение | 10,8 | 65,2 | 358,4 | 513,6 | ||||
| Теоретическое значение | 8 | 64 | 256 | 512 | ||||
По данным таблицы 2 построены графики функции зависимости времени поиска от количества элементов массива (рисунок 2).
Рисунок 1. График результатов линейного поиска
Вывод: Из рисунка 2 видно, что график линейного поиска имеет линейный характер. Теоретическое время незначительно отличается от практического, что означает правильность результатов выполнения линейного поиска.
Данный метод удобен для массивов с малой длиной, но использование его для больших массивов занимает много времени.
Анализ двоичного поиска был проведен на примере числового одномерного массива длиной в 16, 128, 512, 1024 элементов. В качестве искомых элементов были взяты числа, расположенные в первой, средней, последней и произвольной позициях. Для двоичного поиска теоретическое время поиска определяется по формуле Tтеор.=[время сравнения]× log2N
Результаты приведены в таблице, которая приведена ниже.
Таблица 3. Результаты двоичного поиска
| Количество элементов массива | 16 | 128 | 512 | 1024 | ||||
| Позиция элемента | Искомый элемент | Количество сравнений | Искомый элемент | Количество сравнений | Искомый элемент | Количество сравнений | Искомый элемент | Количество сравнений |
| Первая | 0 | 4 | 0 | 7 | 0 | 9 | 0 | 10 |
| Средняя | 13 | 1 | 310 | 1 | 156 | 1 | 491 | 1 |
| Последняя | 45 | 4 | 901 | 7 | 491 | 9 | 942 | 10 |
| Произвольная | 2 | 2 | 80 | 3 | 127 | 7 | 660 | 9 |
| Элемент отсутствует | 88 | 4 | 1001 | 7 | 1002 | 9 | 1003 | 10 |
| Среднее количество сравнений | 3 | 5 | 7 | 8 | ||||
| Теоретическое значение | 4 | 7 | 9 | 10 | ||||
Ниже приведен график зависимости времени поиска от количества элементов массива.
Рисунок 2. График результатов двоичного поиска
Вывод: Из рисунка 2 видно, что график двоичного поиска имеет логарифмический характер. Теоретическое время незначительно отличается от практического, что означает правильность результатов выполнения двоичного поиска.
