Курсовая работа: Анализ алгоритмов нечисленной обработки данных
Курсовая работа: Анализ алгоритмов нечисленной обработки данных
Аннотация
Данный курсовой проект посвящен рассмотрению и изучению алгоритмов нечисленной обработки данных – линейный и двоичный поиск, а также упорядочение массива методом сортировки деревом. Алгоритмы реализованы на языке Turbo Pascal 7.0.
Содержание
1 Постановка задачи. 3
2 Метод решения. 4
2.1 Сортировка двоичным деревом. 4
2.1.1 Организация массива в виде двоичного дерева. 4
2.1.2 Простейший способ. 4
2.1.3 Описание построения дерева. 5
2.1.4 Описание сортировки деревом. 6
2.2 Линейный поиск. 7
2.3 Двоичный поиск. 8
2.4 Метод оценки времени поиска. 10
3 Алгоритмизация задачи. 11
3.1 Ввод и вывод массива. 11
3.2 Линейный поиск. 12
3.3 Построение двоичного дерева. 12
3.4 Сортировка двоичным деревом. 13
3.5 Двоичный поиск. 14
3.6 Запись в файл. 15
4 Инструкции по пользованию программой. 16
4.1 Руководство пользователя. 16
4.2 Руководство программиста. 16
4.2.2 Процедура Vivod. 17
4.2.3 Процедура Save_To_File. 17
4.2.4 Процедура Lin_Poisk. 17
4.2.5 Процедура Dv_Poisk. 17
4.2.6 Процедура Tree. 18
4.2.7 Процедура Tree_Sort 18
4.3 Область и условия применения программы.. 18
5 Анализ результата. 19
5.1 Линейный поиск. 19
5.2 Двоичный поиск. 20
5.3 Анализ сортировки деревом. 22
Заключение. 24
Список литературы.. 25
Приложение А.. 26
Приложение Б. 29
Необходимо:
1) Создать набор входных данных длиной 16, 128, 512, 1024 элементов для программ поиска и сортировки. Для массива длиной, не превышающей 16 элементов, предусмотреть ввод элементов с клавиатуры, в остальных случаях генератором случайных чисел.
2) Разработать алгоритм и программу упорядочения методом минимальной по памяти турнирной сортировки.
3) Разработать алгоритм и программу поиска заданного элемента в неупорядоченных массивах. Метод линейного и двоичного поиска.
4) Осуществить отладку программы на тестовых примерах.
5) Оценить время сортировки и поиска информации для массивов заданной длины.
Требования к программе:
1) основные алгоритмы оформить в виде подпрограмм;
2) программа должна быть самодокументированной;
Обеспечить формирование массива:
1) путем ввода элементов с клавиатуры при n≤16;
2) с помощью генератора случайных чисел при n>16;
2.1 Сортировка двоичным деревом
2.1.1 Организация массива в виде двоичного дерева
Чтобы облегчить поиск в массиве элемента с нужным значением признака, не обязательно упорядочивать его по этому признаку в линейную последовательность. Двоичным называется ориентированное дерево, у которого в каждую вершину, кроме одной, корня дерева, заходит одна дуга и из каждой вершины исходит не более двух дуг. Ветвью дерева называют поддерево, состоящее из некоторой дуги данного дерева, ее начальной и конечной вершин, а также всех вершин и дуг, лежащих на всех путях, выходящих из конечной вершины этой дуги.
Сначала рассматривается весьма простой метод построения дерева, организующего массив. При этом методе, в известном смысле, отдаются на волю случая. Как будет видно, можно все же получить хорошие результаты, если в исходном состоянии массива значения признака, взятые в порядке возрастания номеров элементов, образуют хорошо перемешанную последовательность.
Первый элемент массива поместим в корень дерева. Со вторым элементом поступают так. Сравнивают значение p2 признака этого элемента со значением p1 признака элемента, помещенного в корень дерева (т.е первого элемента).
Если p2<p1, то к корню пририсовывают дугу, направленную влево, и помещают второй элемент в конце этой дуги. Если же p2≥p1, то делают то же самое, но дугу направляют вправо. В общем случае, когда требуется выбрать место на дереве для i-го элемента массива (к этому моменту дерево уже содержит i- 1 вершину и i-2 дуги), поступают следующим образом. В процессе выбора просматривается некоторый путь по дереву (цепочка смежных неповторяющихся вершин и дуг), выходящий всегда из корня. Чтобы, находясь в некоторой вершине пути, определить, обрывается ли путь в этой вершине, а если нет, то какая вершина следующая, применяется один и тот же прием для каждой вершины, в том числе и для корня. Сравнивается значение pi признака размещаемого элемента со значением pk признака элемента, помещенного в данной вершине. Если pi <pk , то смотрят, исходит ли из этой вершины дуга влево. Если исходит, то вершина в конце этой дуги будет следующей вершиной пути, если нет, то достраивают эту дугу и помещают i-й элемент в ее конце. Если же pi ≥ pk , то все происходит аналогично, но с дугой, направленной вправо. Таким образом, из каждой вершины может исходить самое большее две дуги, как и полагается для двоичного дерева.
Метод организации массива в виде двоичного дерева требует несколько больших затрат как на организацию массива, так и на поиск в нем нужного элемента, чем это минимально необходимо. Впрочем, это увеличение не столь существенно. Этот метод оптимален по порядку роста трудоемкости поиска в зависимости от размера массива. Это означает, что для данного метода, так же как и для оптимального, эта зависимость имеет вид c∙log n (с точностью до величин меньшего порядка роста) и разница заключается лишь в значении коэффициента пропорциональности c.
2.1.3 Описание построения дерева
Пусть каждый элемент исходного массива a состоит из двух полей: признака a[i,1] и собственно значения элемента a[i,2], где i – номер элемента в исходном массиве. Чтобы описать массив, упорядоченный в виде дерева, каждый элемент надо снабдить ещё, по меньшей мере двумя полями, содержащими номера элементов, расположенных в конце левой и правой дуг, исходящих из вершины, в которую помещён данный элемент. Этих двух дополнительных полей достаточно для построения дерева и для поиска в нем. Однако для других операций с деревом желательно иметь ещё одно поле, содержащее номер того элемента, к которому подвешен (безразлично, слева или справа) данный элемент. Пусть исходный массив уже содержит все необходимые поля, то есть, описан как
mas=array [1..n, 1..5] of integer,
но значения дополнительных полей a[i,3], a[i, 4] и a[i,5] перед началом работы алгоритма не определены. Называются эти поля соответственно левым, правым и обратным указателем. Если после окончания работы алгоритма левый (правый) указатель какого-либо элемента содержит нуль, это означает, что из вершины, в которую помещён данный элемент, не исходит левая (правая) дуга. Обратный указатель содержит нуль только для первого элемента, который помещён в корне дерева. Остальные детали процедуры ясны из приведённого в начале этого раздела словесного описания алгоритма.
2.1.4 Описание сортировки деревом
Имеются два массива: a – исходный и b – отсортированный. В массиве b элементы массива a расположены в порядке возрастания значения признака. Если у элемента есть левая ветвь, то элемент с наименьшим значением признака разыскивается на этой ветви. Если у элемента левой ветви нет, то он переносится в массив b, так как в массиве нет элемента с меньшим значением признака. После этого очередной элемент разыскивается в правой ветви, если она есть, или возвращается по обратному указателю. После возвращения к какому-либо элементу по левой или правой ветви дальнейшие действия идут так, как будто у этого элемента соответствующей ветви нет.
Для неупорядоченного исходного массива единственным способом нахождения заданного элемента в этом массиве является линейный поиск. Этот метод состоит в последовательном сравнении каждого элемента массива с заданным для поиска элементом. При линейном поиске иногда просматривается половина, а то и больше элементов исходного массива. Этот метод удобен и прост для массивов с меньшей длиной. Для массивов большей длины это метод вызывает затруднения, так как время поиска будет очень медленным.
Применим метод линейного поиска на примере поиска в неупорядоченном массиве A элемента X=11. Дан массив A, который состоит из 10 элементов.
Таблица 1 – Линейный поиск
| № Элемента | Сравнение | № Проверки |
| 1 |
5 |
1 |
| 2 | 12≠11 | 2 |
| 3 | 68≠11 | 3 |
| 4 | 0≠11 | 4 |
| 5 | 92≠11 | 5 |
| 6 | 87≠11 | 6 |
| 7 | 7≠11 | 7 |
| 8 | 32≠11 | 8 |
| 9 | 11=11 | 9 |
| 10 | 24 |
11Из таблицы 1 видно, что для нахождения элемента X=11 пришлось выполнить 9 сравнений. Если бы элемента 11 не оказалось под номером 9, то поиск выполнялся бы до его нахождения, либо до окончания массива.
2.3 Двоичный поиск
Одним из эффективных методов поиска в больших отсортированных массивах является двоичный, другое название бинарный, поиск. Так называемый, поиск методом деления пополам. Вместо просмотра подряд всех элементов массива делим его пополам. Так как массив отсортирован, то, сравнивая искомый элемент со значением среднего элемента массива, можно сделать вывод, о том, что может ли быть элемент с таким значением в массиве и в какой половине он находиться, то есть, определить область дальнейшего поиска. Затем делится пополам та часть массива, в которой находится элемент, и так до тех пор, пока рассматриваемая часть массива получится состоящей из одного элемента.
Допустим, есть упорядоченный по возрастанию массив из целых чисел. Необходимо определить, содержит ли этот массив некоторое число (образец).
Алгоритм двоичного поиска:
1. Сначала образец сравнивается со средним (по номеру) элементом массива
- если образец равен среднему элементу, то задача решена;
- если образец больше среднего элемента, то это значит, что искомый элемент расположен, ниже среднего элемента (между элементами с номерами sre+1), и за новое значение verhe принимается sre+i, а значение nize не меняется;
- если образец меньше среднего элемента, то это значит, что искомый элемент расположен выше среднего элемента (между элементами с номерами verhe и sre-1), и за новое значение nize принимается sre-1, а значение verhe не меняется.
2. После того как определена часть массива, в которой может находиться искомый элемент, вычисляется новое значение sredе и поиск продолжается.
Применим метод двоичного поиска на примере поиска в упорядоченном массиве. X – искомый элемент, равный 11, а A – массив, состоящий из 10 элементов:
1) 0 - verhe
5
7
11
12 - srede
24
32
68
87
92 – nize
srede равный 12>11 = X, следовательно искомый элемент находится выше среднего элемента.
2) 0 - verhe
5
7 - srede
11– nize
Srede равный 7< 11=X, значит нужный элемент находится ниже среднего элемента. Выполняем дальнейшее сравнение. Так как ниже остался всего один элемент, то сравниваем его с искомым.
3) 11=11
В итоге нужный элемент найден на третьем сравнении. Данный пример наглядно показывает всё удобство и легкость двоичного метода поиска. Результаты работы программы приведены в приложении Г.
2.4 Метод оценки времени поиска
Для сравнительной оценки быстроты поисков, введем условную единицу времени, равную времени, затраченному на сравнение двух элементов. Для теоретической оценки средней быстроты поиска используем формулы:
tлин = 
,
где tлин – среднее время линейного поиска; (1)
N – размер массива.
tдв = log2 N,
где tдв – среднее время двоичного поиска; (2)
N – размер массива.
Решение задачи, поставленной в курсовом проекте, включает в себя следующие этапы:
Формирование исходного неупорядоченного массива и запись его в текстовый файл.
Линейный поиск заданного элемента в массиве.
Построение двоичного дерева.
Сортировка исходного массива деревом.
Двоичный поиск заданного элемента в отсортированном массиве.
Запись отсортированного массива в текстовый файл.
Схема алгоритма создания неупорядоченного массива приведена в приложении В. Алгоритм реализован в виде процедуры Vvod (приложение Б).
Шаг 1. Если n≤16, то переход на шаг 2, иначе шаг 4.
Шаг 2 Ввод осуществляется с клавиатуры в цикле с параметром i:
for i:=1 to n do read(A[i]).
Шаг 3. Запись каждого элемента в текстовый файл F_1 после считывания.
Шаг 4. Массив формируется с помощью датчика случайных чисел также в цикле с параметром i : for i:=1 to n do
A[i]:=random(1000);
Шаг 5. Запись сформированного массива в текстовый файл F_1, элементы которого располагаются в четырёх позициях.
Процедура Vivod выводит на экран сформированный неупорядоченный массив.
3.2 Линейный поиск
Схема алгоритма линейного поиска приведена в приложении В. Алгоритм реализован в виде процедуры Lin_Poisk (приложение Б).
Шаг 1. Установить счетчик количества сравнений в 0: k:=0.
Шаг 2. Последовательное сравнение элементов исходного массива с заданным элементом x в цикле с параметром i.
Шаг 3. Элемент массива равен искомому элементу: a[i]=x, то счетчику присваивается индекс искомого элемента: k:=i, а также осуществляется выход из цикла с помощью процедуры break;
Шаг 4. Если k≠0, тогда шаг 5, иначе шаг 6.
Шаг 5. Вывод на экран сообщения Writeln (‘Element naiden. Sravnenii-‘,k).
Шаг 6.Вывод на экран сообщения Writeln (‘Element ne naiden’).
3.3 Построение двоичного дерева
Процедура Tree представляет исходный массив A в виде дерева B. Формирование двоичного дерева выполняется следующим образом:
Шаг 1. Обнуляются поля первого элемента, содержащего левый, правый и обратный указатели b[1,3]:=0; b[1,4]:=0; b[1,5]:=0.
Шаг 2. Записываются элементы массива в получаемое дерево. В дереве b заполняются первые 2 поля – поле значения и признака. Первый элемент является корнем дерева
Шаг 3. Цикл организации двоичного дерева. Для каждого элемента массива (дерева), начиная со второго, необходимо выполнять следующие действия:
Шаг 3.1. Просмотр начинается со сравнения i-го элемента с корнем дерева, т.е. индекс k устанавливается в единицу k:=1.
Шаг 3.2. Сравнение: если i-й элемент массива меньше корня дерева, тогда его необходимо записать в левую ветвь j:=3, иначе – в правую ветвь j:=4.
Шаг 3.3. Проверка: если у k-го элемента есть левый или правый потомок, то переход на Шаг 3.4, иначе – переход на Шаг 3.5.
