Контрольная работа: Область прогноза для однофакторной и двухфакторной модели. Точечный прогноз на основании линейной прогрессии
Обозначим вес пашни в с/х
% – Х, уровень убыточности (%) – У. Построим линейную зависимость показателя от
фактора. Найдем основные числовые характеристики. Объем выборки n=15 – суммарное
количество наблюдений. Минимальное значение Х=68,1, максимальное значение Х=94,7,
значит, удельный вес пашни меняется от 68,1 до 94,7 %. Минимальное значение У=15,
максимальное значение У=46,5, уровень убыточности животноводства от 15 до 46,5%.
Среднее значение 
. Среднее
значение пашни составляет 80,1%, среднее значение уровня убыточности составляет
28,2%. Дисперсия 
= 58,83,
= 92,965.
Среднеквадратическое отклонение 
7,67, значит среднее отклонение пашни от среднего
значения, составляет 7,67%., 
9,64,
значит среднее отклонение уровня убыточности от среднего значения, составляет 9,64%.
Определим, связаны ли Х и У между собой, и, если да, то определить формулу
связи. По таблице строим корреляционное поле (диаграмму рассеивания) – нанесем
точки 
на график. Точка с
координатами 
=(80; 27,08)
называется центром рассеяния. По виду корреляционного поля можно предположить,
что зависимость между y и x линейная. Для определения тесноты линейной связи
найдем коэффициент корреляции: 
=0,88 Так как 
то линейная связь между Х и У достаточная. Пытаемся
описать связь между х и у зависимостью 
. Параметры b0, b1 находим по
МНК. 
Так как b1>0,
то зависимость между х и y прямая: с ростом пашни уровень убыточности
животноводства возрастает. Проверим значимость коэффициентов bi.
Значимость коэффициента b может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:
-4,608. Значимость 
равна 0,000490101, т.е практически 0%. Коэффициент b0
статистически не значим.
6,744. Значимость 
равна 1,375·10-5, т.е 0%, что меньше,
чем 5%. Коэффициент b1 статистически значим. Получили модель
зависимости уровня пашни от убыточности животноводства 
После того, как была построена модель, необходимо проверить ее на адекватность.
Для
анализа общего качества оцененной линейной регрессии найдем коэффициент
детерминации: 
=0,777.
Разброс данных объясняется линейной моделью на 77,7% и на 22,3% – случайными
ошибками. Качество модели плохое.
Проверим с помощью критерия Фишера.
Для
проверки найдем величины: 
1012,166 и 
1012,166. Вычисляем k1=1,
k2=13. Находим наблюдаемое значение критерия Фишера 
45.48. Значимось этого значения a=1,37610-5,
т.е. процент ошибки равен 0%, что меньше, чем 5%. Модель 
считается адекватной с гарантией более 95%.
Найдем прогноз на
основании линейной регрессии. Выберем произвольную точку из области прогноза 
, х=80
Рассчитываем прогнозные
значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза: 
Найдем полуширину
доверительного интервала в каждой точке выборки xпр: 
sе – средне квадратичное отклонение выборочных точек от линии регрессии
4,72
ty = критическая точка распределения Стьюдента для надежности g=0,9 и k2=13.
n =15.
или 
xпр – точка из области прогнозов.
Прогнозируемый
доверительный интервал для любого х такой 
, где d(х=80)=10,53, т.е. доверительный интервал для хпр=80
составит от 16,55 до 37,61 с гарантией 90%.
Совокупность доверительных интервалов для всех х из области прогнозов образует доверительную область.
Т.е. при пашни 80 % уровень убытка животноводства составит от 16% до 37,5%.
Найдем эластичность.
Для линейной модели 
Коэффициент эластичности показывает, что при изменении х=80 на 1% показатель y увеличивается на 3,29%.
Обозначим пашни в с/х – Х, уровень
убыточности – У. Построим нелинейную зависимость показателя от фактора вида 
. Найдем основные числовые
характеристики. Объем выборки n=15 – суммарное количество наблюдений.
Минимальное значение Х=9.2, максимальное
значение Х=28.7, значит, площадь пашен изменяется от 9.2 до 28.7%. Минимальное
значение У=15, максимальное значение У=45.6, уровень убыточности животноводства
изменяется от 15 до 45.6%. Среднее значение 
. Среднее значение пашни составляет 17.02%, среднее
значение уровня убыточности животноводства составляет 28.17%.
Дисперсия 
=42.45, 
=92.965.
Среднеквадратическое
отклонение 
6.52, значит
среднее отклонение объема пашни от среднего значения, составляет 6.52%, 
9.64, значит среднее отклонение уровня
убыточности животноводства от среднего значения, составляет 9.64%.
Определим, связаны ли Х и
У между собой, и, если да, то определить формулу связи. По таблице строим корреляционное
поле (диаграмму рассеивания) – нанесем точки 
на график.
Точка с координатами 
=(17.02; 28.17) называется
центром рассеяния.
По виду корреляционного поля можно предположить, что зависимость между y и x нелинейная.
Пытаемся описать связь
между х и у зависимостью 
. Перейдем к линейной модели. Делаем линеаризующую
подстановку: 
, 
. Получили новые данные U и V.
Для этих данных строим линейную модель: 
Проверим тесноту линейной
связи u и v. Найдем коэффициент корреляции: 
0,864. Между u и v сильная линейная связь.
Параметры b0, b1
находим по МНК. 
Проверим значимость коэффициентов bi. Значимость коэффициента b может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:
=0.845. Значимость 
равна 0,413, т.е практически 41%. Коэффициент b0
статистически не значим.
6.19 Значимость 
равна 0,000032, т.е практически 0%. Коэффициент b1
статистически значим.
Получили линейную модель 
После того, как была построена модель, необходимо проверить ее на адекватность.
Для
анализа общего качества оцененной линейной регрессии найдем коэффициент
детерминации: 
=0,747.
Разброс данных объясняется линейной моделью на 75% и на 25% – случайными
ошибками. Качество модели хорошее.
Проверим с помощью критерия Фишера.
Для
проверки находим величины: 
972.42 и 
25.32. Вычисляем k1=1,
k2=13. Находим наблюдаемое значение критерия Фишера 
38.41. Значимось этого значения a=0,000032, т.е.
процент ошибки практически равен 0%. Модель
считается адекватной с гарантией более 99%.
Так как линейная модель адекватна, то и соответствующая нелинейная модель тоже адекватна.
Находим параметры исходной нелинейной модели: а=b1=370.76; b= b0=3.53.
Вид нелинейной функции: 
.
Т.е. зависимость уровня убыточности
от площади пашен имеет вид: 
.
Найдем прогноз на основании модели. Выберем произвольную точку из области прогноза [9.2; 28.7], х=15
Рассчитываем прогнозные
значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза: 
28.25
Найдем полуширину доверительного интервала в каждой точке выборки. Для этого найдем полуширину для линейной модели:
sе – средне квадратичное отклонение выборочных точек от
линии регрессии 
5.03
uпр – точка из области прогнозов.
Прогнозируемый доверительный интервал для любого u такой 
Для нелинейной модели
найдем доверительный интервал, воспользовавшись обратной заменой: 
Совокупность доверительных
интервалов для всех х из области прогнозов образует доверительную область.
Прогноз для х=15 составит от 17.03 до 39.48 с гарантией 90%.
Т.е. при площади пашен 15 уровень убыточности животноводства составит от 17.03% до 39.48%.
Найдем эластичность.
Коэффициент эластичности для точки прогноза:
,
Коэффициент эластичности для точки прогноза:
Коэффициент эластичности показывает, что при изменении площади паши 15 % на 1% уровень убыточности животноводства увеличивается на 13.12%.
Обозначим удельный вес пашни – Х1 %, удельный
вес лугов и пастбищ - Х2 %, уровень убыточности продукции животноводства - У %.
Построим линейную зависимость показателя от факторов. Найдем основные числовые
характеристики. Объем выборки n=15 – суммарное количество наблюдений.
Минимальное значение Х1=68.1, максимальное значение Х1=94.7, значит, удельный
вес пашни изменяется от 68.1 до 94.7%. Минимальное значение Х2=9.2, максимальное
значение Х2=28.7, значит, вес лугов и пастбищ изменяется от 9.2 до 28.7%.
Минимальное значение У=15, максимальное значение У=45.6, уровень убыточности
животноводства изменяется от 15 до 45.6%. Среднее значение 
.
Среднее значение веса пашни составляет 80.98 %, среднее значение веса лугов и пастбищ составляет 17.02, среднее значение уровня убыточности животноводства составляет 28.17%.
Дисперсия 
=58,83, 
=42,45 
=92.96%.
Среднеквадратическое
отклонение 
7.67, значит
среднее отклонение веса пашни от среднего значения, составляет 7.67%.,
среднеквадратическое отклонение 
6.52, значит среднее отклонение удельного веса лугов
и пастбищ от среднего значения, составляет 6.52%,
9.65, значит среднее отклонение уровня убыточного
животноводства от среднего значения, составляет 9.65%.
Прежде чем строить
модель, проверим факторы на коллинеарность. По исходным данным строим
корреляционную матрицу. Коэффициент корреляции между X1 и X2
равен 0,89. Так как 
, значит
X1 и X2 – неколлинеарные
Определим, связаны ли Х1, Х2 и У между собой.
Для определения тесноты
линейной связи найдем коэффициент корреляции: r=0,892. Так как 
то линейная связь между Х1, Х2 и
У достаточная.
Пытаемся описать связь
между х и у зависимостью 
.
Параметры b0, b1,
b2 находим по МНК. 
.
Проверим значимость коэффициентов bi.
Значимость коэффициента b может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:
-0,867. Значимость 
равна 0.402, т.е приблизительно 40%. Так как это значение
намного больше 5%, то коэффициент b0 статистически не значим.
3.04. Значимость 
равна 0.0102, т.е 1%. Так как это значение меньше
5%, то коэффициент b1 статистически значим.
-2.107. Значимость 
равна 0.056, т.е 5%. Так как это значение больше
5%, то коэффициент b2 статистически не значим.
Проверим адекватность.
Для
анализа общего качества оцененной линейной регрессии найдем коэффициент
детерминации: 
=0,8377. Разброс данных объясняется линейной
моделью на 84% и на 16% – случайными ошибками. Качество модели хорошее.
Проверим с помощью критерия Фишера.
Для
проверки найдем величины: 
545.17 и 
17.6. Вычисляем k1=2,
k2=12. Находим наблюдаемое значение критерия Фишера 
30.98 Значимость этого значения a=0.000018, т.е.
процент ошибки равен 0,00018%. Так как это значение меньше 5%, то модель 
считается
адекватной с гарантией более 99%.
Получили модель
зависимости уровня удельного веса пашни от удельного веса лугов и пастбищ и
убыточности скотоводства 
Найдем прогноз на
основании линейной регрессии. Выберем произвольную точку из области прогноза:
х1=80, х2=30. Рассчитываем
прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза: 
Т.е. при удельном весе пашен 80% и весе лугов и пастбищ 30% уровень убыточности животноводства составит 19.86%.
Найдем эластичность по каждому фактору.
Для линейной модели
,
.
Коэффициент эластичности показывает, что увеличении пашен с 80 % на 1% и при уровне лугов 30 %, уровень убыточности увеличится с 19.86 грн на 2.89%.
Для линейной модели
,
.
Коэффициент эластичности показывает, что увеличении пашен с 80 % на 1% и при уровне лугов 30 %, уровень убыточности уменьшиться с 19.86 грн на 0.89%.
Для уменьшения убыточности животноводства целесообразней увеличивать вес лугов и пастбищ при неизменном весе пашен.
Использованная литература
1. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов / В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш и др. - М.: ЮНИТИ, 1999. - 391 с.
2. Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде EXCEL. Практикум: Учебное пособие для вузов. - М.: Финстатинформ, 2000.- 136 с.
3. Компьютерные технологии экономико-математического моделирования: Учебное пособие для вузов / Д.М. Дайитбегов, И.В. Орлова. - М.: ЮНИТИ, 2001.
4. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2001.
5. Практикум по эконометрике: Учебное пособие / Под ред. И.И. Елисеевой - М.: Финансы и статистика, 2001.
