Быстрый поиск

Контрольная работа: Область прогноза для однофакторной и двухфакторной модели. Точечный прогноз на основании линейной прогрессии

Министерство образования и науки Украины

Донбасская государственная машиностроительная академия

Контрольная работа

по дисциплине: «Эконометрика»

Выполнил:

студент гр. ПВ 09-1з

Измайлов А.О.

Проверила:

Гетьман И.

Краматорск 2010

1. Теоретический вопрос

Область прогноза для однофакторной и двухфакторной модели. Точечный прогноз на основании линейной прогрессии.

Область прогнозов находится так: среди выборочных х находят xmin и xmax. Отрезок прямой, заключенный между ними называется областью прогнозов.

Прогнозируемый доверительный интервал для любого х такой .

Совокупность доверительных интервалов для всех х из области прогнозов образует доверительную область, которая представляет область заключения между двумя гиперболами. Наиболее узкое место в точке .

Прогноз для произвольного х дает интервал, в который с вероятностью g попадает неизвестное . Т.е. прогноз при заданном х составит от до с гарантией .

Максимальная ошибка прогноза.

Выборочные значения yi равны , где коэффициенты регрессии для всей генеральной совокупности, - случайная величина, значение которой мы определить не можем, так как не знаем .

Для неизвестных коэффициентов могут быть найдены доверительные интервалы, в которые с надежностью g попадают : , .

Геометрический смысл коэффициента - ордината пересечения прямой регрессии с осью 0Y, коэффициента - угловой коэффициент прямой регрессии. Вследствие этого возникает следующая ситуация:

Истинная прямая регрессии может с вероятностью g занимать любое положение в доверительной области.

Наиболее максимальное отклонение от расчетного значения - или . Найдем ошибку прогноза для каждого из значений:

, .

Т.е. максимальная ошибка прогноза в процентах составляет: , т.е. чем больше полуширина доверительного интервала, тем больше ошибка. Ширина доверительного интервала возрастает с ростом коэффициента доверия и уменьшается с ростом объема выборки со скоростью . Т.е. увеличив объем выборки в 4 раза, в 2 раза сузим доверительный интервал, т.е. в 2 раза уменьшим ошибку прогноза. С уменьшением коэффициента доверия уменьшается ошибка прогноза, но растет вероятность того, что истинное значение не попадет в доверительный интервал.

Прогноз на основании линейной модели для двуфакторной модели.

Целью регрессионного анализа является получение прогноза с доверительным интервалом. Прогноз делается по уравнению регрессии

(1)

Точка прогноза из p-мерного пространства с координатами выбирается из области прогноза. Если, например, модель двухфакторная , то область прогноза определяется прямоугольником, представленным на рис. 1.

Рис. 1

Т.е. область прогноза определяется системой неравенств:

Чтобы получить формулу для вычисления полуширины d доверительного интервала, нужно перейти к матричной форме записи уравнения регрессии.

Матричная запись многофакторной регрессии

Данные для построения уравнения регрессии, сведем в таблицу:

Таблица 1

№ набл	Y	X1	X2	…	Xp
1	y1	x11	x12		x1p
2	y2	x21	x22		x2p
			…
n	yn	xn1	xn2		xnp

(2)

Подставляя в уравнение (2) значения из каждой строки таблицы, получим n уравнений.

(2)

ei – случайные отклонения (остатки), наличие которых объясняется тем, что выборочные точки не ложатся в точности на плоскость (1), а случайным образом разбросаны вокруг нее.

Чтобы записать систему (2) в матричном виде, вводим матрицу X, составленную из множителей при коэффициентах b1, b2, …, bp.

Матрица . Размерность матрицы n´p+1.

Еще вводятся матрицы:

Вектор столбец , , , размерностью n´1.

Тогда в матричной форме уравнение регрессии записывается так:

Полуширина доверительного интервала рассчитывается по формуле:

где - среднее квадратическое отклонение остатков;

- критическая точка распределения Стьюдента, соответствующая уровню доверия g=(0.95, 0.99, 0.999) и степени свободы k=n-p-1.

вектор точка из области прогноза.

2. Задача

Найдите коэффициент эластичности для указанной модели в заданной точке x. Сделать экономический вывод.

X=1

1. Найдем производную функции ,

2. Найдем эластичность. , тогда

3. Коэффициент эластичности для точки прогноза:

X=1

Коэффициент эластичности показывает, что при изменении фактора X =1 на 1% показатель Y уменьшится на 0,5%.

3. Задача

Для представленных данных выполнить следующее задание:

1. Провести эконометрический анализ линейной зависимости показателя от первого фактора. Сделать прогноз для любой точки из области прогноза, построить доверительную область. Найти коэффициент эластичности в точке прогноза.

2. Провести эконометрический анализ нелинейной зависимости показателя от второго фактора, воспользовавшись подсказкой. Сделать прогноз для любой точки из области прогноза, построить доверительную область. Найти коэффициент эластичности в точке прогноза.

3. Провести эконометрический анализ линейной зависимости показателя от двух факторов. Сделать точечный прогноз для любой точки из области прогноза. Найти частичные коэффициенты эластичности в точке прогноза.

Производительность труда, фондоотдача и уровень рентабельности по плодоовощным консервным заводам области за год характеризуются следующими данными:

№ района	Фактор		Уровень убыточности продукции животноводства %
	Удельный вес пашни в сельскохозяйственных угодьях %	Удельный вес лугов и пастбищ %


1	80	20	20
2	87,2	12,8	37,5
3	90,8	9,2	43,4
4	94,7	11,3	45,6
5	81,4	18,6	23,4
6	79,2	10,8	25
7	71,3	28,7	17,2
8	86,2	13,8	33,3
9	71,4	28,6	15
10	77,7	22,9	18,7
11	75,4	14	24,8
12	77,9	13	34,5
13	87,2	12,8	33,1
14	68,1	25	19,2
15	86,2	13,8	31,8