Быстрый поиск

Дипломная работа: Разработка анимационно-обучающей программы механической системы

или

Положим, , где - функция, определяющая закон изменения массы. Очевидно, так как начальная масса , то функция при должна быть . Подставив в (1.26) значение M и проинтегрировав, получим:

Для определения постоянной С учетом, что при , тогда

Эта формула носит название формулы Циолковского. Из формулы следует, что скорость, приобретенная точкой переменной массы, зависит от относительной скорости V и отношения начальной массы к остающейся к концу процесса горения. Если масса точки в конце процесса горения , отброшенная масса (масса топлива) – m, то при нулевой начальной скорости () получаем для расчета скорости в конце процесса горения выражения:

Отношение называют число Циолковского. Для современных ракет можно положить . Тогда при числе Циолковского Z=0,250; 9,000; 32,333; 999,000 получим соответственно скорости .

Из формулы Циолковского (1.27) следует , что:

1) Скорость точки переменной массы в конце активного участка (в конце процесса отбрасывания частиц) тем больше, чем больше скорость отбрасывания частиц;

2) Скорость в конце активного участка тем больше, чем больше число Циолковского;

3) Скорость точки переменной массы в конце активного участка не зависит от закона изменения массы (режима горения). Заданному числу Циолковского соответствует определенная скорость точки в конце процесса горения не зависимо от того, быстро или медленно шло горения. Это следствие является проявлением закона сохранения количества движения;

4) Для получения возможно больших скоростей точки переменной массы в конце активного участка выгоднее идти по пути увеличения относительной скорости отбрасывания частиц, чем по пути увеличения запасов топлива.

§1.2 Некоторые задачи моделирования механических систем (на примере движение тела с переменной массой)

Имеется много случаев, когда масса тела изменяется в процессе движения за счет непрерывного отделения или присоединения вещества (ракета, реактивный самолет, платформа, нагружаемая на ходу, и др.).

Наша задача: найти уравнение движения такого тела.

Рассмотрим решение этого вопроса для материальной точки, называя ее для краткости телом. Пусть в некоторой момент времени масса движущего тела A равна m, а присоединяемая (или отделяемая) масса имеет скорость u относительно данного тела.

Введем вспомогательную инерциальную K-систему отсчета, скорость которой такова же, как и скорость тела A в данный момент . Это значит, что а момент тело A покоится в K- системе.

Пусть далее за промежуток времени от до тело A приобретает в K-системе импульс . Этот импульс тело A получит, во-первых, вследствие присоединения (отделения) массы , которая приносит (уносит) импульс , и, во-вторых, вследствие действия силы F со стороны окружающих тел или силового поля. Таким образом, можно записать , что

где знак плюс соответствует присоединению массы, а знак минус отделению. Оба эти случая можно объединить, представив в виде приращения массы тела A (действительно, в случае присоединения массы , а в случае отделения ). Тогда предыдущее уравнение примет вид

Поделив это выражение на , получим

где - скорость присоединяемого (или отделяемого) вещества относительно рассматриваемого тела.

Это уравнение является основным уравнением динамики материальной точки с переменной массой. Его называют уравнением Мещерского. Будучи полученным в одной инерциальной системе отсчета, это уравнение в силу принципа относительности справедливо и в любой другой инерциальной системе. Заметим , что если система отсчета неинерциальная, то под силой F следует понимать результирующую как сил взаимодействия данного тела с окружающими телами, так и сил инерции.

Последний член уравнения (1.26) носит название реактивной силы: . Эта сила возникает в результате действия на данное тело присоединяемой (или отделяемой) массы. Если масса присоединяется, то и вектор R совпадает по направлению с вектором u; если же масса отделяется, то и вектор R противоположен вектору u.

Уравнение Мещерского по своей форме совпадает с основным уравнением динамики материальной точки постоянной массы: слева – произведение массы тела на ускорение, справа – действующие на него силы, включая реактивную силу. Однако в случае переменной массы нельзя внести массу под знак дифференцирования и представить левую часть уравнения как производную по времени от импульса, ибо ,

Обратим внимание на два частных случая.

1. Если u=0. т. е. масса присоединяется или отделяется без скорости относительно тела, то R=0, и уравнение (1.26) принимает вид

где - масса тела в данный момент времени. Это уравнение определяет , например, движение платформы, из которой свободно высыпается песок (см. задачу 10, пункт 1-й).

2. Если u=-v, т. е. присоединяемая масса неподвижна в выбранной системе отсчета или отделяемая масса становится неподвижной в этой системе, то уравнение (1.28) принимает другой вид

или

иначе говоря, в этом частном случае – и только этом – действие силы F определяет изменение импульса тела с переменной массой. Данный случай реализуется, например, при движении платформы, нагружаемой сыпучим веществом из неподвижного бункера (см. задачу 10, пункт 2-й).

Рассмотрим пример на применение уравнения Мещерского.

Пример. Ракета движется в инерциальной K-системе отсчета в отсутствие внешнего силового поля, причем так, что газовая струя вылетает с постоянной относительно ракеты скоростью u. Найти зависимость скорости ракеты от ее массы , если в момент старта ее масса была равна .

В данном случае F=0 и из уравнения (1.28) следует

Проинтегрировав это выражение с учетом начальных условий, получим

где знак минус показывает, что вектор v (скорость ракеты) противоположен по направлению вектору u. Отсюда видно, что скорость ракеты в данном случае (u=const) не зависит от времени сгорания топлива: v определяется только отношением начальной массы ракеты к оставшейся массе m.

Заметим, что если бы вся масса горючего была одновременно выброшена со скоростью u относительно ракеты , то скоростью последней оказалась бы иной. Действительно, если ракета вначале покоилась в выбранной инерциальной системе отсчета, а после одновременного выброса всего горючего приобрела скорость v, то из закона сохранения импульса для системы ракета – горючее следует

где u+v - скорость горючего относительно данной системы отсчета. Отсюда

скорость ракеты v в этом случае оказывается меньше, чем в предыдущем (при одинаковых значениях отношения ). В этом нетрудно убедиться, сравнив характер зависимости v от в обоих случаях. С ростом в первом случае (когда вещество отделяется непрерывно) скорость v ракеты, согласно (1), растет неограниченно, во втором же (когда вещество отделяется одновременно) скорость v, согласно (2), стремится к пределу, равному - u.

Задачи к главе 1

1.1. Частица движется с импульсом под действием силы F(t). Пусть a и b – постоянные векторы, причем a ^ b. Полагая, что:

1) , где - положительная постоянная, найти вектор F в те моменты времени, когда F ^ p;

2) , где - вектор, противоположный по направлению вектору а, найти вектор p в момент , когда он окажется повернутым на 90○ по отношению к вектору .

Решение. 1. Сила , т. е. вектор F все время перпендикулярен вектору a. Следовательно, вектор F будет перпендикулярен вектору p в те моменты, когда коэффициент при b в выражении для обращается в нуль. Отсюда и соответствующие значения вектора F равны:

2. Приращение вектора p за промежуток времени есть Интегрируя это уравнение с учетом начальных условий, находим

где, по условию, противоположен вектору а. Вектор p окажется перпендикулярным вектору в момент , когда . В этот момент .

Рис. 6

1.2. Через блок (рис. 6) перекинут шнур на одном конце которого находится лестница с человеком А, а на другом – уравновешивающий груз массы М. Человек , масса которого m, совершил вверх перемещение относительно лестницы и затем остановился. Пренебрегая массами блока и шнура, а также трением в оси блока, найти перемещение центра инерции этой системы.

Решение. Сначала все тела системы покоились, поэтому приращение импульсов тел при движении равно самим импульсам. Силы натяжения шнура слева и справа одинаковы, а следовательно импульсы груза и лестницы с человеком в каждый момент времени будут равны между собой, т. т. , или

где v1, v и v2 - - скорости груза, человека и лестницы. Учитывая , что v2= -v1 и v=v2 + v¢, где v¢ - скорость человека относительно лестницы, получим

v1= (m/2M)v¢. (1)

С другой стороны , импульс всей системы. Отсюда с учетом (1) найдем

И наконец, искомое перемещение

Другой способ решения основан на свойстве центра инерции данной системы характеризуется радиусом – вектором

где - радиусы-векторы центров инерции груза M, лестницы и человека относительно некоторой точки О данной системы отсчета. Отсюда перемещение центра инерции равно

где

-перемещения груза M, лестницы и человека относительно данной системы отсчета. Имея в виду, что получим в результате

1.3. система состоит из двух шариков с массами , которые соединены между собой невесомой пружинкой. Шарикам сообщили скорости , как показано на рис.7, после чего система начала двигаться в однородном поле сил тяжести Земли. Пренебрегая сопротивлением воздуха и считая, что в начальный момент пружинка не деформирована, найти:

1) скорость центра инерции этой системы в зависимости от времени;

2) внутреннюю механическую энергию системы в процессе движения.

Рис. 7 рис. 8

Решение. 1. Приращение вектора скорости центра инерции, есть . проинтегрировав это уравнение, получим , где -начальная скорость центра инерции. Отсюда