Быстрый поиск

Дипломная работа: Разработка анимационно-обучающей программы механической системы

Сила тяжести, направления вертикально вниз, уравновешивается реакцией деформированных рельсов, и результирующая этих сил не может сообщить системе горизонтального ускорения, т. е. не может изменить скорость, а следовательно, и количество движения системы. Таким образом, мы можем с известной степенью приближения считать данную систему замкнутой.

Положим теперь, что человек сходит с тележки влево(рис. 2. б), имея скорость . Чтобы приобрести эту скорость , человек должен, сократив свои мышцы, подействовать ступнями ног на площадку тележки и деформировать ее. Сила, действующая со стороны деформированной площадки на ступни человека, сообщает телу человека ускорение влево, а сила, действующая со стороны деформированных ступней человека (в соответствии с третьим законом динамики), сообщает тележке ускорение вправо. В результате, когда взаимодействие прекратится (человек сойдет с тележки), тележка приобретает некоторую скорость .

Для нахождения скоростей и с помощью основных законов динамики надо было бы знать, как меняются силы взаимодействия человека и тележки со временем и где приложены эти силы. Закон сохранения количества движения позволяет сразу найти отношение скоростей человека и тележки, а также указать их взаимную направленность, если известны значения масс человека и тележки .

Пока человек неподвижно стоит на тележке, общее количество движения системы остается равным нулю:

Отсюда

или

Скорости, приобретенные человеком и тележкой, обратно пропорциональны их массам. Знак «минус» указывает на их противоположную направленность.

2.Если человек, двигаясь со скоростью , вбегает на неподвижно стоящую тележку и останавливается на ней, то тележка приходит в движение, так что общее количество движения ее и человека оказывается равным количеству движения, которым обладал раньше человек один:

3.Человек, движущийся со скоростью ,вбегает на тележку, перемещающуюся ему навстречу со скоростью , и останавливается на ней. Далее система человек – тележка движется с общей скоростью Общее количество движения человека и тележки равно сумме количеств движения, которыми они обладали каждый в отдельности:

4. Использовав то обстоятельство ,что тележка может перемещаться только вдоль рельсов, можно продемонстрировать векторный характер изменения количества движения. Если человек входит и останавливается на неподвижной до этого тележке один раз вдоль направления возможного ее движения, второй раз – под углом 45є, а третий – под углом 90є к этому направлению, то во втором случае скорость, приобретенная тележкой, примерно в полтора раза меньше, чем в первом , а в третьем случае тележка неподвижна .

§1.1.3 Движение центра масс механической системы

Покажем, что поступательное движение механической системы как целого можно характеризовать движением одной точки – центра масс системы, считая, что в ней сосредоточена масса всех тел, входящих в систему.

Перепишем равенства (6.4) в виде

продифференцируем по времени:

В равенствах (6.17) слева стоит произведение суммарной массы тел образующих систему, и компонент представляющих собой слагающие скорости движения центра масс системы по осям координат, а справа компоненты вектора полного количества движения тел системы:

Полное количество движения механической системы равно количеству движения материальной точки массой, равной массе тел системы и движущейся, как движется ее центр масс.

Продифференцируем равенство (1.18) по времени и сравним с выражением (1.14). В равенстве (1.18) после дифференцирования справа, а в равенстве (1.14) слева стоит одна и та же величина – производная от вектора полного количества движения тел системы. Следовательно,

где - количество движения центра масс системы, - вектор результирующей внешних сил, действующих на тела системы.

Центр масс механической системы движется так же, как двигалась бы материальная точка, в которой сосредоточена масса всех тел системы, под действием результирующей внешних сил, приложенных к телам, образующим систему.

Если механическая система замкнута, т. е. то

=const.

Центр масс замкнутой механической системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.

Закон движения центра масс механической системы не дает полной картины движения отдельных ее тел, но позволяет установить некоторые важные особенности движения системы в целом.

Рассмотрим, например, движение солнечной системы. С большой степенью точности ее можно считать замкнутой, пренебрегая взаимодействием с другими космическими телами. Следовательно, центр масс солнечной системы можно считать движущимся прямолинейно и равномерно.

Рассмотрим твердое тело, находящееся в покое. Положим, на него одновременно подействовали двумя силами, равными по величине, но противоположно направленными и приложенными в двух точках A и B, не совпадающих с центром масс (рис. 3). Такая система сил называется парой сил. Каков характер движения тела?

Рис.3. Тело под действием сил поворачивается вокруг центра масс.

Результирующая приложенных к телу внешних сил равна нулю. Следовательно , центр масс тела должен остаться в покое. Тело, одна точка которого неподвижна, может, очевидно, только вращаться вокруг этой точки. И следовательно, тело под действием приложенной пары сил будет поворачиваться вокруг центра масс C. Иногда, руководствуясь только интуицией, приходят к ошибочному заключению, что в описанном случае тело должно вращаться вокруг точки О, расположенной между точками приложения пары сил.

§ 1.1.4 Движеие тел переменной массы. Уравнение мещерского. Формула циолковского

В природе и современной технике мы нередко сталкиваемся с движением тел, масса которых меняется со временем. Масса земли возрастет вследствие падения на нее метеоритов, масса метеорита при полете в атмосфере уменьшается в результате отрыва или сгорания его частиц, масса дрейфующей льдины возрастет при намерзании и убывает при таянии и т. д. Движение якоря с якорной цепью, когда все большее число звеньев цепи сходит с лебедки, -пример движения тела переменной массы. Ракеты все систем, реактивные самолеты, реактивные снаряды и мины также являются телами, масса которых изменяется во время движения.

Общие законы динамики тел с переменной массой были открыты и исследованы И. В. Мещерским и К. Э. Циолковским. Циолковским были разработаны фундаментальные проблемы реактивной техники, которые в наши дни служат основной для штурма человеком межпланетных пространств.

Для вывода основного уравнения движения тела переменной массы рассмотрим конкретный случай движения простейшей ракеты (рис. 4).

Мы будем рассматривать ракету достаточно малое тело, положение центра тяжести которого не меняется по мере сгорания пороха. В этом случае мы можем считать ракету материальной точкой переменной массы, совпадающей с центром тяжести ракеты.

Не рассматривая физико-химическую природу сил, возникающих при отбрасывании от ракеты газов, образованных при сгорании пороха, сделаем такое упрощающее вывод предположение.

Рис.4. Схема порохового снаряда: А-вырывается; В - граната с взрывателем; С – пороховая ракетная камера; D - стабилизатор.

Будем считать , что отбрасываемая от ракеты частица газа dM взаимодействует с ракетой M только в момент их непосредственного контакта. Как только частица dM приобретает скорость относительно точки M, ее воздействие на нее прекращается. Предположим далее, что изменение массы ракеты M происходит непрерывно, без скачков. (Это значит, что мы не рассматриваем многоступенчатые ракеты, масса которых меняется скачкообразно. ) Это предположение позволяет считать, что существует производная от массы по времени.

Пусть в момент t масса ракеты M, а ее скорость относительно неподвижной системы координат (рис. 5). Положим, за время dt от ракеты отделилась частица массы (-dM) со скоростью (относительно той же неподвижной системы координат ), равной .

Знак «минус» перед приращением массы указывает на то, что приращение это отрицательное, масса ракеты убывает.

Положим, равнодействующая внешних сил, действующих на ракету (силы тяжести и сопротивления среды), F. Как сказано выше, в момент отделения частицы массы (-dM) между ней и ракетой действует неизвестная нам реактивная сила . Сила для системы ракета частица является внутренней. Чтобы исключить

Рис.5.К выводу уравнения движения тела переменной массы.

ее из смотрения, вспользуеамя законом изменения количества движения. Количество движения системы ракета – частица а момент t, т. е. перед отделением частицы:

Количество движения системы в момент (после отделения частицы) складывается из количества движения массы , получившей скорость , и количества движения массы частицы – dM, летящей со скоростью :

Изменение количества движения системы за время dt:

(мы отбросили член второго порядка малости ). Величина должна быть приравнена импульсу равнодействующей внешних сил:

Отсюда, перегруппировав члены и разделив на dt, получим основное уравнение движения точки переменной массы:

Это уравнение иначе называют уравнением Мещерского. Для ракеты , так как при полете масса ее убывает. Если масса тела во время движения увеличивается, то . При уравнение (1.22) переходит в уравнение второго закона Ньютона для случая постоянной массы. Величина есть скорость выбрасываемых ракетой частиц относительно системы координат, движущейся с ракетой. Эту скорость называют обычно просто относительной скоростью V. Тогда равенство (1.22) запишется в виде

Второй член правой части равенства (1.23) представляет собой реактивную силу, действующую на массу M со стороны вылетевшей частицы dM.

Для любого момента времени произведение массы тела на его ускорение равно векторной сумме равнодействующей приложенных к телу внешних сил и реактивной силы. При движении ракеты вблизи Земли равнодействующая внешних сил представляет собой сумму силы тяжести и силы сопротивления воздуха. Ускорение ракеты зависит еще и от реактивной силы, изменяя величину и направление которой можно управлять полетом ракеты.

Если относительная скорость отбрасываемых частиц равна нулю: ,то из формулы(1.22) следует:

т. е. если относительная скорость отбрасываемых частиц равна нулю, то уравнение движения точки переменной массы имеет формально тот же вид, что и для точки постоянной массы, но в этом случае масса M- функция времени t.

Важный вклад в механику тел переменной массы применительно к конкретным задачам реактивной техники внесен знаменитым русским ученым Константином Эдуардовичем Циолковским. В 1903 г. была издана его работа «Исследование мировых пространств реактивными приборами», в которой К. Э. Циолковский исследовал ряд случаев прямолинейных движений ракет. К. Э. Циолковским обоснована и доказана возможность практического использования реактивного движения. Им найдены условия, при которых можно получить скорости, достаточные для осуществления космического полета. Полученная им формула, связывающая скорость ракеты с ее начальной массой, до сих пор используется для предварительных расчетов. В работах 1911-1914 гг. он изучил вопрос о величине запасов топлива, необходимых для преодоления сил тяготения Земли, и предложил высококалорийное топливо, позволяющее получить большие скорости истечения газовых струй. К. Э. Циолковского по праву считают изобретателем жидкостных ракет дальнего действия и основоположником теории межпланетных полетов.

Ему принадлежит идея разработки теории так называемых многоступенчатых ракет, когда на некоторых интервалах времени масса ракеты меняется непрерывно, а в некоторые моменты – скачком. Им проведены большие исследования по оценке сил сопротивления при движении тел переменной массы. К. Э. Циолковским поставлен целый ряд оригинальных проблем, имеющих решающее значение для развития реактивной техники.

Для того чтобы выяснить основные факторы, создающие возможность реактивного движения с большими скоростями, рассмотрим движение точки переменной массы безвоздушном пространстве (отсутствует сопротивление движению тела), без действия внешних сил (силы тяготения) . предположим, что скорость истечения частиц направлена прямо противоположно вектору скорости тела . Эти условия соответствуют так называемой первой задаче Циолковского. В результате получаем формулу Циолковского и следствие из нее. Найдем при сделанных предположениях скорость движения тела (точки) и закон ее движения.