Дипломная работа: Дифференциальная геометрия торсов в пространстве 1R4 с псевдоевклидовой касательной плоскостью

Þ

Это означает, что базисы {} и {} выражаются друг через друга. Из этого следует, что

  (23),

при любом параметре v, значит касательная плоскость к торсу одна и та же вдоль образующей. Известно, что соприкасающаяся плоскость к кривой g в точке M определяется векторами  . Таким образом, исходя из формулы (23) получим, что соприкасающаяся плоскость ребра возврата g - есть касательная плоскость к торсу.

Рассмотрим торс пространства 1R4, порожденной кривой  определяемый уравнением (23). Введем координатные линии на поверхности торса: u-линии (v=c) и v-линии (u=c). Найдем скалярное произведение векторов

 (24)

В общем случае относительно величин  и  ничего сказать нельзя. Поэтому будем делать предположение относительно кривой g. Предположим, что касательный вектор к кривой g во всех точках является вектором действительной длины. На ребре возврата g выбираем естественную параметризацию. Пусть u=u(s), тогда  и  Параметр s  обозначим через u, получим , т.е. вектор  имеет постоянную длину, тогда поскольку , из (24) следует, что , а значит координатные линии на торсе в такой системе координат не ортогональны. Перейдем к новым координатам U и V так, чтобы координатные линии были ортогональны, причем заметим, чтоv-линии – это прямолинейные образующие торса. При переходе к новым координатам потребуем, чтобы семейство v-линий осталось прежним, а u-линии изменились и стали перпендикулярны v-линиям. Таким образом, перед нами стоит задача отыскания ортогональных траекторий к прямолинейным образующим торса.

Рассмотрим первую квадратичную форму поверхности, которая при условии, что касательная плоскость к торсу является псевдоевклидовой.

Пусть S гладкая поверхность,  - ее векторное уравнение и

Первой квадратичной формой поверхности S называют выражение I=.

Запишем это выражение подробнее. Имеем

 

откуда

 . (25)

Выражение (25) в каждой точке поверхности S представляет собой квадратичную форму от дифференциалов du и dv.

Для коэффициентов первой квадратичной формы часто используют следующие обозначения:

.

Таким образом первая квадратичная форма имеет вид:

(26)

Рис. 4.2. Угол между кривыми x1 и x2 на поверхности S

Угол между кривыми равен углу между касательными. Пусть гладкие кривые x1 и x2 лежат на поверхности S с векторным уравнением  и пересекается в некоторой точке X0.

Вектор  лежит в касательной плоскости к поверхности S в точке X0 (Рис.4.2).

Значения дифференциалов  можно выбрать так, чтобы  был вектором касательной к кривой x1 в точке X0. Достаточно взять () (здесь u=u(t) и v=v(t) – уравнения кривой x1 на поверхности S).

Аналогично строится вектор  - вектор касательной к кривой x2 в точке X0, отвечающий значениям дифференциалов ,  функций, определяющих кривую x2:

 .

Поэтому

Требуется, чтобы ортогональные линии были ортогональны, т.е.

 

Учитывая, что u – естественный параметр, найдем коэффициенты E, F, G:

Подставляя полученные выражения в (26) имеем

 

Воспользовавшись (27) и полученными выражениями для коэффициентов, получим  Разделим последнее равенство на , получим

Исходное семейство линий задано дифференциальным уравнением

, а ортогональные траектории получены в виде  Подставляя эти выражения в (28), имеем уравнение для , из которого . Учитывая, что исходное семейство линий – это v-линии, для которых du=0, а значит l=0, получим m=-1. Таким образом, , решая это дифференциальное уравнение, находим u+v=const условие ортогональности траекторий. Итак, искомая замена координат имеет вид:

Тогда обратная замена:

 

Уравнение торса в новых координатах примет вид:

 

Обозначим U, V теми же символами u, v тогда уравнение торса перепишется следующим образом:

.(29)

Рассмотрим на торсе (29) кривую

u=u(t), v=v(t).(30)

Получим ее уравнение в виде:

. (31)

Направляющий вектор касательной:

.  (32)

Касательная к любой кривой, лежащей на торсе и проходящей через данную точку N, лежит в плоскости  Эта плоскость будет называться касательной плоскостью к торсу и обозначается

Найдем векторы . Из уравнения (29) получим:

.

Таким образом, плоскость определяется точкой L торса и векторами , и следовательно, совпадает с соприкасающейся плоскостью ребра возврата g.

Рис.4.3

Получена теорема.

Теорема 4.1. Касательная плоскость к торсу в произвольной точке прямолинейной образующей совпадает с соприкасающейся плоскостью к ребру возврата в точке касания прямолинейной образующей.

Построим канонический репер в произвольной точке N торса. Будем считать параметр u естественным параметром ребра возврата. Тогда согласно

(9):

Введем следующие обозначения:

Тогда - вектор мнимой длины, а  - вектор единичной длины, взаимно ортогональные и лежат в касательной плоскости к торсу в точке N, совпадающей с соприкасающейся плоскостью ребра возврата, причем  идет по прямолинейной образующей, а  ему ортогонален.

 

Вектора  получим из векторов  соприкасающегося репера ребра возврата параллельным переносом в точку L. При этом получим репер  в произвольной точке L торса, с условием

.(33)

Уравнение (33) целиком определяется торсом. Этот репер  будем называть каноническим репером торса.

Найдем деривационные формулы канонического репера торса с учетом того, что  зависят только от u. С учетом (14) и (15):

 и         (34)

§5. Линии на торсах пространства Минковского

Рассмотрим торс в пространстве Минковского, заданный уравнением (29) .

Будем считать, что соприкасающийся флаг ребра возврата  имеет тип 50: {M, 1R1, 1R2, 1R3, 1R4}, где параметр u есть естественный параметр на ребре возврата . В данном случае на торсе строится канонический репер {M, }. Деривационные формулы этого репера имеют вид (34).

Определение 5.1. Кривая d: u=u(t); v=v(t)  (35) на торсе Т называется (k,n) – геодезической, если соприкасающаяся n - плоскость этой кривой в каждой точке содержит k – мерную нормаль к торсу.

Возможны варианты: (1,2); (1,3); (2,3). Выясним существуют ли такие геодезические кривые на торсе данного типа. Касательная плоскость к торсу в точке L есть плоскость , а нормальная плоскость к торсу . Найдем соприкасающуюся 2-плоскость линии d: r=r(u(t),v(t)). Эта плоскость определяется так: . Находим производные вектор - функции, преобразуем их с помощью деривационных формул (34):

 (36)

(37)

+++

+++++

++

++

++

+++

++

++

++++

+

  +

+(

++

+)+(+)+ (38)

Нормаль к торсу  зададим в виде: . С другой стороны, нормаль к поверхности, исходя из определения, содержится в соприкасающейся 2-плоскости , т.е. . Составим уравнение

=p()+q().

Сгруппировав коэффициенты при , получаем систему:

(38’)

Из системы видим, что если (1,2) – геодезическая линия существует, то она определяется нормалью . Учитывая этот факт, преобразуем систему следующим образом:

Таким образом, уравнение (1,2) – геодезической линии можно представить в виде нормальной системы дифференциальных уравнений:

 (39)

Теорема Пикара. Если правые части системы

 

в некоторой окрестности начальной точки () имеют непрерывные в этой окрестности частные производные по , то система имеет единственное решение, определенное в некоторой окрестности точки  и удовлетворяющее начальным условиям

.

Согласно теореме Пикара система (39) имеет единственное решение. Значит, через каждую точку торса в каждом направлении касательной плоскости проходит единственная (1,2) – геодезическая линия.

Пусть d: r=r(u(t),v(t)) на торсе является (2,2) – геодезической. Тогда, согласно определению, система (38’) должна быть разрешима при любых коэффициентах  и , но т.к. , то это условие не выполняется. Значит, на торсе с касательной псевдоевклидовой плоскостью не существует (2,2) – геодезических линий.

Рис. 5.1

Теорема 5.1. Геодезических линий типа (2,2) на торсе нет.

Рассмотрим вопрос о существовании (1,3) – геодезических линий на торсе. Соприкасающуюся 3-плоскость к кривой в некоторой точке можем задать линейным уравнением

Рис. 5.2

Таким образом, нормальная плоскость и соприкасающаяся 3-плоскость всегда имеют пересечение, являющееся не менее чем прямой. Значит, любая линия на рассматриваемой поверхности является (1,3)-геодезической.

§6. Асимптотические линии на торсе пространства Минковского

Определение 6.1. Направление на поверхности называется асимптотическим, если нормальная кривизна поверхности в этом направлении обращается в нуль.

Определение 6.2. Нормальной кривизной кривой на поверхности пространства Минковского называется проекция вектора кривизны этой кривой на нормальную плоскость к поверхности в этой точке.

Определение 6.3. Кривая на поверхности называется асимптотической линией, если в каждой своей точке она имеет асимптотическое направление.

Определение 6.4. Вектором кривизны кривой  на поверхности пространства Минковского будем называть вектор , где s – естественная параметризация на этой кривой.

Пусть  - произвольная кривая на торсе. Построим канонический репер кривой в точке N: . Нормальная кривизна кривой  в точке N – это проекция вектора кривизны  на нормаль к поверхности. В пространстве 1R4 к поверхности в данной точке существует целая плоскость нормалей, поэтому необходимо определить нормаль, на которую будет проецироваться вектор кривизны. Координаты вектора в репере  согласно формуле (37) равны:

º(A;B;C;0)

Нормальную кривизну  определим как длину отрезка NL1, где L1 – точка пересечения плоскости  и проходящей через точку L, с нормальной плоскостью . Определим координаты точки L1: x1=0, x2=0,   x3=0, x4=0; Þ x3=C, x4=0. Значит, , т.е. нормальная кривизна кривой  на торсе пространства Минковского, с псевдоевклидовой касательной плоскостью, является действительной величиной.

Определим геодезическую кривизну  кривой  как длину отрезка NL2, где L2 – точка пересечения плоскости с касательной плоскостью . Определим координаты точки L2:  x3=0, x4=0; x1=0, x2=0; Þ x1=A, x2=B. Следовательно, координаты точки L2:

  x1=A, x2=B, x3=0, x4=0. |NL2|=.

Рассмотрим нормальную кривизну . Справедлива формула первой квадратичной формы поверхности: , таким образом,

  (40)

На торсе с касательной псевдоевклидовой плоскостью асимптотические линии есть прямолинейные образующие торса, а также линии v=u.

Нормальная кривизна кривой  в точке N зависит только от , т.е. от направления в касательной плоскости.

Заключение

В работе исследуется геометрия поверхностей пространства Минковского.

В пространстве 1R4 рассматриваются торсы, то есть поверхности образованные касательными к некоторой кривой пространства Минковского, называемой ребром возврата для этого торса. Рассмотрен класс таких поверхностей, ребро возврата которых имеет соприкасающийся флаг вида {M, R1, 1R2, 1R3}.

Для торсов такого класса решены следующие задачи:

1.       построен канонический репер торса;

2.       получены деривационные формулы построенного канонического репера;

3.       определено понятие (n,k) – геодезических линий на торсе;

4.       получена теорема о существовании (1,2)-, (2,3) – геодезических линий на исследуемом торсе;

5.       вводится обобщение понятия асимптотических линий на поверхности пространства Минковского, находятся асимптотические линии на торсе рассматриваемого класса.

Результаты проводимого исследования докладывались на республиканской научно-практической конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Современные проблемы математического моделирования и новые образовательные технологии в математике» (Брест, 23 апреля 2009 года). На основании доклада будет напечатана статья в сборнике материалов конференции.

Список использованных источников

1.       Атанасян, Л.С. Геометрия: учеб. пособие в 2 ч./ Л.С. Атанасян, Г.Б. Гуревич. – М.: Просвещение, 1976. – Ч.2. – 488 с.

2.       Базылев, В.Т. Геометрия: в 2 т./ В.Т. Базылев, К.И. Дуничев. - М.: Просвещение, 1972. – Т.2. – 352 с.

3.       Бакельман, И.Я. Введение в дифференциальную геометрию: учебное пособие/ И.Я. Бакельман, А.Л. Вернер, Б.Е. Кантор. – М.: Наука, 1973. – 437 с.

4.       Матвеев, Н.М. Дифференциальные уравнения: учеб. пособие для студ. пед. ин-тов по физ. – мат. спец./ Н.М. Матвеев. – М.: Просвещение, 1988. – 464 с.

5.       Погорелов, А.В. Геометрия: учебник для студентов математических специальностей университетов и пед. институтов/ А.В. Погорелов. – М.: Наука, 1974. – 173 с.

6.       Позняк, Э.Г. Геометрия: учеб. пособие/ Э.Г. Позняк, Е.В. Шикин. - М.: изд-во МГУ, 1990. – 384 с.

7.       Рашевский, П.К. Курс дифференциальной геометрии/ П.К. Рашевский. М.: Просвещение, 1982. – 220 с.

8.       Рашевский, П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ/ П.К. Рашевский. – М.: Наука, 1964. – 538 с.

9.       Тайманов, И.А. Лекции по дифференциальной геометрии/ И.А.Тайманов. Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. – 176 с.

10.  Фиников, С.П. Дифференциальная геометрия: курс лекций для мат. ф-та МГУ/ М.С. Фиников. – М.: московский университет, 1961. – 150 с.

11.  Шварц, Д. Дифференциальная геометрия и топология/ Д. Шварц. – М.: Мир, 1970. – 224 с.