Быстрый поиск

Дипломная работа: Дифференциальная геометрия торсов в пространстве 1R4 с псевдоевклидовой касательной плоскостью

Множество векторов, ортогональных вектору , имеет вид и определяет 3-плоскость которое является 3-плосткостью вида R3. Следовательно, 1R1^R3. Это означает, что к прямой 1R3 ортогональной является 3-плоскость типа R3. Верно и обратное.

Рассмотрим вектор () и найдем множество векторов ортогональных к данному вектору. Если вектор ортогонален (), то .

Получаем, что

Отсюда, , а — произвольные. - это множество векторов, ортогональных вектору () и определяет 3-плоскость которое является 3-плосткостью вида . Значит, ^. Это означает, что к прямой ортогональной является 3-плоскость типа . Верно и обратное.

Заметим, что Ì.

Найдем множество векторов, ортогональных к векторам . Если вектор ортогонален , то Отсюда,

Таким образом, ортогональным дополнением к векторам является множество векторов . Эти векторы определяют 2-плоскость которая является 2-плосткостью вида 1R2. Следовательно, R2 ^1R2 (к двумерной плоскости R2 ортогональной является плоскость вида 1R2).

Найдем множество векторов, ортогональных к векторам . Если вектор ортогонален , то Отсюда,

Таким образом, ортогональным дополнением к векторам является множество векторов . Эти векторы определяют 2-плоскость которое является 2-плосткостью вида R2, Следовательно, R2 ^1R2 (к двумерной плоскости R2 ортогональной является плоскость вида 1R2). Верно и обратное.

Найдем множество векторов, ортогональных к векторамЕсли вектор ортогонален , то

Отсюда,

Таким образом, ортогональным дополнением к векторам является множество векторов . Эти векторы определяют 2-плоскость которая является 2-плосткостью вида . Следовательно, ^.

Таким образом, получена теорема.

Теорема 1.1. В пространстве 1R4 существуют следующие типы прямых, плоскостей и 3-плоскостей:

- прямые: R1, 1R1,.

- 2-плоскости: R2, 1R2,.

- 3-плоскости: R3, 1R3,.

§2. Кривые в пространстве 1R4

В пространстве 1R4 выберем базис

где Точка MÎ1R4, имеющая в репере R координаты (): M()R.

Определение 2.1. Кривой в пространстве 1R4 называется множество точек этого пространства, координаты которых задаются уравнениями:

(6)

Или в векторном виде . (7)

Определение 2.2. Функция, имеющая непрерывные производные до k-го порядка включительно на отрезке [a,b], называется k раз дифференцируемой функцией на этом отрезке.

Определение 2.3. Кривая g называется дифференцируемой класса Сk, если функции (6), задающие параметрические уравнения, являются k раз дифференцируемыми функциями.

Пусть кривая g является кривой класса C3. Рассмотрим на дифференцируемой кривой g вектора:

Определение 2.4. Точка M, принадлежащая кривой g, называется неособой, если в этой точке вектора , линейно независимы. В противном случае точка M кривой g называется особой.

Определение 2.5. Прямая называется касательной к кривой в точке M, 2-плоскость называется соприкасающейся плоскостью кривой g, 3-плоскость называется соприкасающейся 3-плоскостью кривой g в точке M.

Очевидно, ÌÌ.

Теорема 2.1. Кривая g имеет в каждой точке касательную и притом единственную.

Если r=r(t) - векторное уравнение кривой, то касательная в точке Р, соответствующей значению параметра t, имеет направление вектора r'(t).

Теорема 2.2. Кривая g имеет в каждой точке соприкасающуюся плоскость. При этом соприкасающаяся плоскость либо единственная, либо любая плоскость, содержащая касательную к кривой, является соприкасающейся.

Если r=r(t) уравнение кривой g, то соприкасающаяся плоскость в точке, соответствующей значению параметра t, параллельна векторам r'(t) и r''(t).

Теорема 2.3. Задание касательной, соприкасающейся плоскости и соприкасающейся 3-плоскости корректно, т.е. не зависит от параметризации кривой.

Для доказательства достаточно перейти к новому параметру и сравнить направляющие вектора.

Определение 2.5. Соприкасающийся флаг – это совокупность, состоящая из точки кривой, касательной к кривой в этой точке, соприкасающейся 2-плоскости к кривой в этой точке и соприкасающейся 3-плоскости к кривой в этой точке. [M, ], M ÌÌÌ.