Дипломная работа: Алгебраические системы замыканий

Обратно, пусть D – индуктивная система замыканий на A и  – соответствующий оператор замыкания. Нужно показать, что для любого XA

(X) = sup (F) .

Пусть K = (F) для фиксированного XA; тогда нужно показать, что sup K D. Отсюда будет следовать, что sup K = (X), поскольку sup K  является наименьшим замкнутым множеством, содержащим все элементы множества X. Теперь для любых Y, ZA имеем

(Y)(Z)(Y Z),

и если Y, Z – конечные подмножества множества X, то Y Z также конечно. Это показывает, что K  направлено, и, следовательно, sup K D, что и утверждалось.      ▲

Используя предложение 2, получаем

Следствие 1. Если D – алгебраическая система замыканий на A и K – направленная подсистема системы D, то sup K D.

Доказательство:

∆ Из леммы Цорна вытекает, что каждая непустая индуктивная система подмножеств множества A содержит максимальное подмножество.

Это приводит к следствию 2 из теоремы 2, в котором содержатся наиболее важные применения леммы Цорна к алгебре.

Следствие 2. Пусть D – алгебраическая система замыканий в A, и пусть A0, A1, B – такие подмножества множества A, что BD и BA1 = A0. Тогда D  содержит элемент C, который является максимальным в D относительно свойств CB, CA1 = A0.

Доказательство:

∆ Для доказательства этого утверждения возьмём систему D ' всех таких множеств XD, что XB и XA1 = A0, и покажем, что D ' обладает максимальным элементом. Во-первых, D ' ≠ , так как BD '. Пусть теперь (Xi) – некоторая цепь в D ' и положим X = sup Xi. Тогда XD, так как система D  индуктивна. Далее XB и XA1 = A0; поэтому XD '. Таким образом, система D ' индуктивна, и по лемме Цорна D ' обладает максимальным элементом.   ▲

§ 5. Задачи

Задача 1. Установить, что при соответствии Галуа XX*, YY* выполняется тождество (Xi)* = Xi*, для произвольных семейств подмножеств (Xi)iI.

Решение:

Без ограничения общности возьмём два множества X1 и X2 и покажем, что (X1X2)* = X1*X2*.

Множеству X1 поставим в соответствие множество X1*:

X1* = y1B.

Аналогично для множества X2:

X2* = (x2, y2)Ф.

Пусть X3 = X1X2. Тогда (X1X2)* или X3* будет иметь следующую структуру: X3* = y3B или другими словами это такие y3 из B, что пары (x1, y3) и (x2, y3) должны принадлежать соответствию Ф одновременно для всех x1 и x2 из X1X2. То есть множество элементов y3 из B это множество, состоящее из элементов y1X1* и y2X2*, которые одновременно должны удовлетворять соотношениям (x1, y1)Ф, (x1, y2)Ф, (x2, y1)Ф, (x2, y2)Ф. То есть элементы y3 принадлежат пересечению множеств X1* и X2*, что и требовалось показать.

Задача 2. Пусть XH(X) произвольное отображение множества B (A) в себя. Показать, что (X) = H(X)X определяет оператор замыкания тогда и только тогда, когда X(Y) влечёт (X)(Y).

Решение:

a)                           докажем прямое утверждение: если (X) = H(X)X определяет оператор замыкания тогда X(Y) влечёт (X)(Y).

Пусть X(Y), то есть XH(Y)Y. Так как по условию (Y) = H(Y)Y – оператор замыкания, то для него выполняются аксиомы J. 1 J. 3. Применим аксиому J. 1 к XH(Y)Y и аксиому J. 3 к ((Y)):

XH(Y)Y H(X)XH(H(Y)Y)(H(Y)Y)H(X)XH(Y)Y. То есть (X)(Y).

b)                           докажем обратное утверждение: если X(Y) влечёт (X)(Y) тогда (X) = H(X)X определяет оператор замыкания.

Для доказательства обратного утверждения, необходимо проверить выполнимость аксиом J. 1 J. 3 оператора замыкания.

Для начала докажем вспомогательное утверждение о том, что YX* тогда и только тогда, когда XY*.

Доказательство:

∆ Докажем прямое утверждение.

Пусть YX*. Тогда, применив к нему свойство (7), получим Y*X**. По свойству (7) имеем включение XX**. Следовательно, получаем XX**Y* или XY*.

Докажем обратное утверждение.

Пусть XY*. Тогда X*Y**Y       ▲

J. 1: пусть XY и Y(X), тогда по доказанному выше утверждению включение Y(X) равносильным образом можно заменить на X(Y). Получим, что XX(Y) или X(Y). Тогда по условию пункта b) задачи X(Y) влечёт (X)(Y). Следовательно, если XY, то (X)(Y).

J. 2: пусть XY и Y(X) по утверждению, значит, X(X).

J. 3: по J. 2 X(X). Применим к нему свойство (7), получим (X)(X). Применим это же свойство к X(Y)(X)(Y), получим (X)(Y)(X)(Y). Далее по утверждению Y(X)(Y)(X). Получили (Y)(X)(Y). При этом (Y)(X) (по утверждению). Следовательно, мы получаем обратное включение (X)(X). Тем самым получили, что (X) = (X).

Следовательно, (X) = H(X)X оператор замыкания.

Задача 3. Показать, что множество всех предупорядоченностей ρ на множестве A является алгебраической системой замыканий. Верно ли это для множества всех упорядоченностей?

Решение:

Непустое множество  назовём предупорядоченным, если введенное на нём бинарное отношение ρ рефлексивно и транзитивно. Такое отношение ρ называется отношением предпорядка на A.

Пусть XAA, или XB (AA). Обозначим через J(X) пересечение всех предпорядков на A, содержащих X:

J(X) = {ρ – предпорядок на A: Xρ}.

Так как при пересечении бинарных отношений на множестве свойства рефлексивности и транзитивности сохраняются, то J(X) наименьший предпорядок на A, содержащий X. Ясно, что AA является предпорядком на A. Поэтому система всех предпорядков на A является системой замыканий на этом множестве.

Остаётся проверить, будет ли система предпорядков алгебраической. Для этого возьмём произвольную пару (a, b)J(X), где XAA. Предпорядок J(X) получается из множества пар X добавлением пар вида (c, c), где cA, и его расширением по транзитивности: если уже получены пары (d, e) и (e, f), то добавляем и пару (d, f). При этом пара (a, b) в результате последовательного применения расширений по рефлексивности и транзитивности принадлежит конечному множеству пар FX. Следовательно, (a, b)J(F).

Для множества всех упорядоченностей верно лишь в том случае, когда множество A содержит один элемент. Иначе, не выполняется свойство антисимметричности.

Задача 4. Показать, что совокупность всех алгебраических систем замыканий на данном множестве A является системой замыканий на B (A). Всегда ли эта система замыканий будет алгебраической?

Решение:

Очевидно, что множество всех алгебраических систем замыкания на данном множестве A является системой замыкания на булеане B (A). Чтобы показать, является ли эта система алгебраической, воспользуемся теоремой 2.

Будем считать, что имеется семейство алгебр , iI. Каждой из них поставлена система подалгебр S(). Пересечению соответствующих систем замыканий соответствует алгебра , при Ω=. Для произвольного подмножества X в A рассмотрим подалгебру  алгебры . И возьмём элемент a из . Элемент a выражается через конечное множество  элементов из  с помощью последовательного применения конечного числа операций из Ω. Следовательно, a принадлежит замыканию .

Библиографический список

1.         Кон П. Универсальная алгебра – М.: Мир, 1968. – 352 с.

2.         Курош А. Г. Лекции по общей алгебре – М.: Наука, 1973. – 400 с.

3.         Курош А. Г. Курс высшей алгебры – СПб.: Лань, 2006. – 432 с.

4.         Оре О. Теория графов – М.: Наука, 1968. – 336 с.

5.         Общая алгебра. Т. 1 / под общ. ред. Л. А. Скорнякова – М.: Наука, 1990. – 592 с.

6.         Постников М. М. Теория Галуа – М.: Издательство физико-математической литературы, 1963. – 220 с.

7.         Риге Ж., Бинарные отношения, замыкания, соответствия Галуа // Кибернетический сборник / под ред. А. А. Ляпунова, О. Б. Лупанова. – вып. 7. – М.: Издательство иностранной литературы, 1963. – С. 129-185.