Дипломная работа: Алгебраические системы замыканий
Пример 1.3: Каждому множеству X точек плоскости A = R2 поставим в соответствие его выпуклую оболочку 
. Ясно, что X
оператор замыкания на множестве A.
Предложение 1. Если A – такое упорядоченное множество с наибольшим элементом, в котором каждое подмножество обладает точной нижней гранью, то A является полной решеткой.
Доказательство:
∆ Заметим, что если каждое подмножество точной нижней гранью обладает, следовательно, ей обладает и пустое множество, то есть в A существует наибольший элемент.
Требуется доказать, что A – полная решетка, то есть любое непустое подмножество имеет наибольший и наименьший элемент.
Рассмотрим X
A, Y – множество всех верхних граней множества X в A и положим y = inf Y.
Тогда любой элемент из X
будет нижней гранью множества Y
и, следовательно, x
y для любого x
X; если также x
z для любого x
X, то z
Y и, следовательно, y
z. Поэтому y = sup X. ▲
Определение 8. Упорядоченное множество (I,
)
называется направленным, если для любых i, j
I существует такой элемент k
I, что i
k, j
k, то есть для любого двухэлементного множества из I существует верхняя граница.
Предложение 2. Пусть A – упорядоченное множество; тогда следующие три условия эквивалентны:
(i) Каждое непустое направленное подмножество множества A имеет точную верхнюю грань.
(ii) Каждая непустая цепь множества A имеет точную верхнюю грань.
Доказательство:
∆ Каждая вполне упорядоченная цепь является цепью, и каждая цепь
направлена, следовательно, (i)
(ii); чтобы закончить
доказательство, покажем, что (ii)
(i). Возьмем максимальную
цепь, в ней существует точная верхняя грань. Тогда по лемме Цорна и
направленное подмножество множества A имеет точную верхнюю грань. ▲
Предложение 3 (лемма
Цорна). Непустое
упорядоченное множество, в котором каждая цепь обладает верхней гранью, имеет
максимальный элемент, точнее для любого элемента a из A
существует элемент b
a, являющийся максимальным в A.
Лемма Цорна была предложена в 1935 году. Она часто заменяет рассуждения, основанные на таких эквивалентных ей принципах, как принцип максимальности Хаусдорфа, аксиома выбора, теорема Цермело о вполне упорядоченности.
Можно показать эквивалентность этих утверждений лемме Цорна, но мы не будем этого делать, так как это не является целью дипломной работы. Лемма Цорна принимается нами в качестве аксиомы.
§2. Связь систем замыканий с операторами замыкания
В параграфе 1 были даны определения систем замыканий и операторов замыкания. Между ними существует взаимосвязь. Сформулируем эту взаимосвязь в качестве теоремы и докажем её.
Теорема 1. Каждая система замыканий D на множестве A определяет оператор замыкания на A по правилу
(X) = ∩ Y
X.
Обратно, каждый оператор замыкания на A определяет систему замыканий
D = X
A .
Доказательство:
∆ 1) Пусть дана система замыканий D и оператор , определенный по правилу (X) = ∩ Y
X. Докажем, что – оператор замыкания. Для этого
проверим выполнимость условий J. 1
J. 3. Этот оператор удовлетворяет
условиям J. 1 – 2 по определению. По
условию, D – система замыканий. Тогда
(X) = X
X
D, (1)
так как (X)
D, то отсюда вытекает J. 3.
2) Обратно, пусть задан оператор замыкания (удовлетворяющий J. 1 – 3) и пусть
D = (X) = X. (2)
Докажем, что D – система замыканий. Если (Xi)i
I – произвольное семейство в D и ∩Xi = X,
то X
Xi; следовательно, по J. 1. (X)
(Xi) = Xi для всех i, и поэтому
(X)
∩Xi = X.
Вместе с условием J. 2 это показывает, что (X) = X, то есть X
D. Таким образом, с помощью мы построили систему замыканий D.
3) Покажем, что
соответствие D 
взаимно однозначно.
Во-первых, пусть D – произвольная система замыканий, – оператор, определенный равенством (X) = ∩ Y
X для всех X
A, и D ' – система замыканий, определенная оператором по формуле (2). Тогда D ' = D
в силу (1). Возьмем затем произвольный оператор замыкания , и пусть D – система замыканий, определенная оператором по формуле (2), а ' – оператор, определенный системой D по формуле (X) = ∩Y
D . Как только что было показано, D тогда также определяется оператором ', и, следовательно,
(X) = X
'(X)
= X. (3)
В силу
J. 3, (X) = (X); поэтому
из (3) вытекает, что '(X) = (X). Но X
(X)
и, применяя ' получаем '(X)
'(X) = (X), а
обратное включение следует из соображений симметрии. ▲
Системы замыканий и операторы замыкания могут быть определены на любой полной решётке L и соотношения между ними, установленные в теореме 1, сохраняются.
На самом деле теорема 1 является частным случаем соответствующей теоремы (при L = B (A)) для произвольной полной решётки L.
Элементы системы D называются замкнутыми множествами
множества A, а (X) называется замыканием множества X в A ((X) на самом деле замкнуто в силу J. 3). Как было отмечено, D является полной
решеткой относительно 
. Точнее, если
задано некоторое семейство (Xi)i
I в D, то множество ∩Xi будет наибольшим замкнутым множеством,
содержащимся во всех множествах Xi, а ∩Y
D – наименьшим замкнутым множеством,
содержащим все множества Xi.
§3. Алгебраические системы замыканий
Начнем с понятия алгебраической операции.
Пусть A – универсальная алгебра с множеством
алгебраических операций Ω. Каждая операция ω из Ω имеет
определённую арность n,
n
N
{0}.
Для любого натурального n n-арная операция ω – это
отображение из An
в A, то есть каждой упорядоченной n-ке {a1; …; an}
An операция ω ставит в
соответствие однозначно определённый элемент ω(a1; …; an) из A.
В случае п = 1 это будет любое преобразование множества A (отображение A в себя).
Если n = 0, то a0 – это одноэлементное множество и 0-арная операция ω переводит элемент a0 в некоторый элемент ω(a0) = ω из A, то есть 0-арная операция ω фиксирует некоторый элемент в A: является некоторым выделенным элементом алгебры A.
Если
дана универсальная алгебра A с
множеством алгебраических операций Ω, то подмножество B
A называется подалгеброй алгебры
A, если оно замкнуто относительно всех операций из Ω. Иными
словами, для любого ω
Ω, n
1, и любых а1, а2,
, ап
B должно быть
ω(а1,
а2, …, ап)
B.
С другой стороны, элементы, отмечаемые в A всеми 0-арными операциями из Ω (если такие существуют), должны содержаться в подалгебре B.
Очевидно, что пересечение любой системы подалгебр универсальной алгебры A, если оно не пусто, будет подалгеброй этой алгебры.
Отсюда следует, что если X – непустое подмножество алгебры A, то в A существует
наименьшая среди подалгебр, содержащих целиком множество X. То есть существует наименьшая подалгебра в A, содержащая X и она равна пересечению всех
подалгебр алгебры A,
содержащих X. Обозначим её через 
и назовём подалгеброй, порожденной множеством X.
Стоит отметить, что пересечение подалгебр может быть пустым, если множество алгебраических операций Ω алгебры не содержит 0-арных операций.
Заметим, что система
S(А) всех подалгебр
алгебры A является алгебраической системой
замыканий, то есть соответствующий оператор замыкания X
является алгебраическим.
Очевидно, что соответствие
X
является оператором замыкания.
Проверим, является ли он алгебраическим.
Возьмём a
, тогда a будет принадлежать и 
,
где 
– конечное подмножество
множества X, так как элемент a получается путём применения
конечного числа конечноместных n-арных операций ω
Ω.
Справедливо и обратное утверждение:
Если D – произвольная алгебраическая система замыканий
на множестве A,
то для подходящего набора алгебраических операций
Ω и соответствующей структуры 
универсальной алгебры
на A, имеем S(A) = D.
Для доказательства обозначим
через (X) оператор замыкания для алгебраической системы
замыканий D на множестве A. Зададим алгебраические операции на A следующим образом. Каждой n-ке a1, …, an
A, где n
N, и произвольному элементу b
({a1, …, an}) поставим в соответствие свою n-арную операцию ω, определенную
следующим правилом:
ω(x1, …, xn) = 
(4)
Это определяет структуру универсальной
алгебры 
на A, где для каждого натурального числа n операции из Ω заданы формулой (4).
Таким образом определено бесконечно много алгебраических операций на множестве A, если A бесконечно.
Пусть Ω(X) = 
оператор замыкания, соответствующий системе S(A)
подалгебр универсальной алгебры A. Проверим, что (X) = Ω(X).
Пусть X
A и предположим сначала, что X конечно, то есть X = {c1, …, cm}. Тогда (X)
Ω(X) по определению (4) алгебраических операций
ω.
C другой стороны, так как (X) = (X), то для любой n-ки a1, …, an
(X) и для любой n-арной операции ω
Ω
ω(a1, …, an)
({a1, …, an})
(X) = (X). Поэтому (X)
является подалгеброй алгебры 
и,
значит, Ω(X)
(X).
Пусть теперь X – произвольное подмножество множества A, тогда, так как оба оператора замыкания (X) и Ω(X) алгебраические (первый по предположению, а второй в силу доказанного выше), имеем
