Курсовая работа: Математичний більярд

З траєкторією XYZ можна зв'язати сімейство «паралельних періодичних траєкторій», зображене на малюнку.

Якщо трикутник АВС вважати плоскою пластинкою, то кожну траєкторію побудованого пучка можна уявляти собі як пружну замкнуту нитку, обвиваючу цю пластинку поперемінно перехідну з однієї неї сторони на іншу 6 разів.

Але якщо ΔАВС — тупокутний, то ця конструкція періодичних траєкторій не спрацьовує — пружна нитка зіскочить з пластинки через вершину тупого кута. Отже знайти періодичні більярдні траєкторії в тупокутних трикутниках досить важко.

Дв конструкції для тупокутних трикутників:

Якщо намотати нитку на пластинку способом, зображеним на малюнку а), то зіскакування не відбудеться. Уважний розгляд цього малюнка підказує ідею, як будувати складніші періодичні траєкторії для спеціальних класів тупокутних трикутників.

Стійкі траєкторії

Тільки що побудовані періодичні траєкторії мають один істотний недолік — при скільки завгодно малій зміні кутів трикутника вони руйнуються (в тому сенсі, що поблизу початкової траєкторії немає періодичних траєкторій в деформованому трикутнику). Зараз ми побудуємо періодичну траєкторію в тупокутному трикутнику, вільну від цього дефекту.

Хай гострі кути α і β тупокутного трикутника АВС зв'язані нерівностями

(π-β)/2<kα <π/2≤(k+1)α

(π- α)/2<Lβ <π/2≤( L +1)β, де k і L – деякі натуральні числа. Зробимо k-1 дзеркальних відбиттів трикутника АВС навколо вершини А проти годинникової стрілки і L-1 відбиттів навколо вершини С за годинниковою стрілкою. Крайні промені AN s CN утворюють з основою АС гострі кути kα Lβ. В гострокутному трикутнику АNC існує три ланкова періодична траєкторія, що сполучає основи його висот. Тоді при накладанні «гармошкою» на трикутник АВС коридору, складеного з ΔАВС і k +L-2 віддзеркалень трикутників, наша траєкторія перейде в 2 (k +L)-1-ланкову періодичну траєкторію в ΔАВС. Ця траєкторія – стійка.

Теоретичні відомості про більярди в многокутниках та багатогранниках

Задач на побудову траєкторій в многокутниках зводимо до побудови обмоток.

Перш за все опишемо ще один подход до більярдів, що дає можливість будувати пучки - з перескакуванням. Хай Q — фіксований многокутник. Виберемо на площині напрям відліку кутів—скажімо, задаватимемо напрям v на Q кутом φ, відлічуваним від напряму сторони АВ многокутника Q проти годинникової стрілки до напряму v. Кут φ вимірятимемо в радіанах, причому так, що 0<φ<2п . Для кожного числа φ між 0 і 2π готуємо свій екземпляр багатокутника Q, на якому намалюємо пучок паралельних траєкторій з напрямом φ. Цей багатокутник Q з намальованими на ньому траєкторіями позначимо Q(φ) таким чином, ми «запасли» нескінченний набір екземплярів Q(φ) многокутника Q. Наклавши їх один на одного в порядку зростання. ф, отримаємо призму висоти 2я, в підставі якій лежить багатокутник Q.

Розглянемо кулю, що «скаче» з одного многокутника на інші многокутники за наступним правилом. Якщо в початковий момент часу куля знаходилася на багатокутнику Q(φ1), то він рухається по своїй траєкторії до тих пір, поки не потрапить на одну із сторін, скажемо CD. Якби куля була більярдна, то він відскочив би від сторони CD за законом пружного віддзеркалення і став би рухатися під новим напрямом φ2. Наша ж кулька, що скаче, перескакує з боку CD многокутника Q(φ1) в ту ж точку тієї ж сторони CD іншого многокутника Q(φ2) , де φ2 було визначене вище із закону пружного віддзеркалення, і рухається по намальованій на Q(φ2) траєкторії, Дійшовши до сторони KL багатокутника Q(φ2) , кулька перескакує в ту ж крапку на тій же стороні KL наступного многокутника Q(φ3), де φ3 — напрям, під яким рухається більярдний шар після зіткнення із стороною КL, налетівши на неї під напрямом φ2. І так далі як зображено на малюнку.

Якщо накласти всі ці багатокутники один на одного, то відрізки траєкторії, що скаче, дадуть траєкторію більярда в багатокутнику Q.

Многокутники Q, всі кути яких вимірні з π називаються раціональними.

Більярд в будь-якому раціональному многокутнику зводиться до обмоток кренделя – сфери з ручками, який отримується в результаті вищеописаних склейок. На крендел бувають неперіодичні траєкторії і заповнюється всюди щільно лише частина кренделя. (Доведення основане на теоремі Якобі).

Доведена теорема, що в будь-якому раціональному многокутнику існують періодичн траєкторії.

Тепер перейдемо до наступного розділу курсової роботи, де продемонстровано, як викладені теоретичні відомості застосовуються на практиці.

Практичне застосування теорії математичних більярдів

Практичні задачі, що розв’язуються застосуванням правил побудови більярдних траєкторій

Ось деяк олімпіадні задачі, що дуже витончено розв’язуються за допомогою «більярдів». Мова йде про «переливання», які, здавалось би, не мають нічого спільного з більярдами.

Є два сосуди мкістю 7 і 11 літрів і велика бочка, що наповнена водою. Як за допомогою цих двох сосудів відміряти рівно два літри? На сосудах не можна робити засічок, не можна нахиляти, щоб відміряти долі літра.

Запропонована задача вирішується або алгебраїчним методом, або методом спроб та помилок.

Цю задачу можна з легкістю розв’язати, викресливши більярдну траєкторію кулі, що відбивається від бортів ромбічного столу. Межі таких столів зручніше за все малювати на папері, на якому нанесена гратка з однакових рівносторонніх трикутників. В наведеній задачі сторони столу мають бути завдовжки 7 і 11 одиниць. По горизонтал відкладено кількість води в 11-літровому сосуді в будь-який момент часу, а по вертикалі – та ж величина для 7-літрового сосуда.

Як же користуватися діаграмою? Шар знаходиться в лівій нижній вершині в точці О. Він буде рухатися вздовж нижньої основи ромба до тих пір, поки не досягне право бокової сторони в точці 11. Це значить, що 11-літровий сосуд наповнений верхи, а 7-літровий порожній. Відбившись пружно від правого борту, куля покотитися вгору і вліво і вдариться в верхній борт в точці з координатами 4 по горизонталі і 7 по вертикалі. Це значить, що в 11-литровому сосуді залишилось лише 4 літри води, а 7 літрів з нього перелили в менший сосуд.

Простежач подальший рух кулі і записуючи всі етапи його руху до тих пір, поки він не попаде в точку 2 верхнього борта, ви отримаєте відповідь і взнаєте, в якій послідовності маєте виконувати переливання, щоб виміряти 2 літри води. Всі 18 переливань зображені схематично на малюнку, що приведено нижче.

Похилі стрілочки кажуть про те, що вода переливається з одного сосуду в інший, а вертикальн значать, що або вода цілком виливається з меншого сосуду назад до бочки, або більший сосуд треба наповнити до країв.

Чи є це рішення найкоротшим? Ні, існує другий шлях, коли воду спочатку наливають в 7-літровий сосуд. На діаграмі це відповідає тому, що куля з точки 0 котитися вгору вздовж лівого борту до тих пір, поки не вдариться в верхній борт. Намалював траєкторію більярдної кулі, можна переконатися, що точка 2 досягається цього разу за 14 віддзеркалень від борта. Отриманий розвязок з 14 переливаннями вже є найкоротшим.

Метод більярдно кулі можна застосувати до будь-якої задачі про переливання рідини за допомогою не більш, ніж трьох сосудів.

Ось і стара головоломка з трьома сосудами, що приписують ще Нікола Фонтана, італійському математику XVI століття. Восьмилітровий сосуд до країв наповнений водою. За допомогою порожніх сосудів ємкістю 3 і 5 літрів воду треба порівну розлити в два великі сосуди. Діаграма для цієї задач ромбічний стіл розміром 3´5. Головна діагональ ромба, що поділена похилими прямими на 8 частин, відноситься до 8-літрового сосуду.

Як і в попередній задачі, більярдна куля починає рухатися з точки 0. За допомогою намальовано траєкторії отримаємо розв’язок з мінімальною кількістю переливань, що дорівню 7.

Якщо об’єми двох менших сосудів не мають спільного дільника (взаємно прості), а об’єм третього сосуда більше або дорівнює сумі об’ємів двох менших, то за допомогою цих сосудів можна виміряти будь-яку цілу кількість літрів, починаючи з 1 літра закінчуючи об’ємом середнього сосуду.

Маючи, наприклад, сосуди місткістю 15,16 і 31 літр можна виміряти будь-яку кількість води від 1 до 16 літрів. Така процедура неможлива, якщо об’єми двох менших сосудів мають спільний дільник. Коли об’єм більшого сосуда менше суми об’ємів двох інших, виникають нові обмежування. Якщо, наприклад, об’єми сосудів дорівнюють 7,9 і 12 літрів, то в ромбічного столу треба відсікти нижній правий кут. Тоді шар зможе потрапити в будь-яку точку від 1 до 9, за виключенням точки 6. Не дивлячись на те, що 7 і 9 взаємно прості, виміряти 6 літрів води виявляється неможливим з-за того, що найбільший сосуд має надто маленький об’єм.

Узагальнення вказаного методу на випадок чотирьох сосудів зводиться до руху більярдної кул в об’ємній (тетраедричній) області.

Розгляну інший тип елементарних геометричних задач, що відносяться до більярдів. В них вимагається знайти замкнену траєкторію більярдної кулі в даному многокутнику, або знайти шлях більярдної кулі, що попадає через задану кількість ударів з однієї фіксованої точки всередині многокутника до іншої. Для рішення цих задач дуже зручним є метод «дзеркального відбиття» або «випрямлення» більярдно траєкторій, суть якого наводилась в теоретичній частині.

Продемонструю метод випрямлення на наступних прикладах.

1.         Нехай на прямокутному більярдному столі знаходиться одна куля; під яки кутом його необхідно направити з точки А, щоб він після заданої кількості відбиттів від бортів попав в точку В (наприклад в лузу?)

Для розв’язання зобразимо прямокутник (початковий більярд) симетрично відносно всіх його сторін; всі отримані так5им чином прямокутники знов відобразимо відносно всіх його сторін, і так далі, до нескінченності. В результаті всіх зроблених відбиттів траєкторія кулі «розпрямляється».

Якщо отримана «випрямлена траєкторія» проходить через образ точки В в одному з прямокутників, то траєкторія кулі в початковому прямокутнику пройде через В. Тому, для того щоб пустити кулю з точки А так, щоб вона після заданої кількості відбиттів о стінки прямокутного більярду попала в точку В, необхідно провести такий відрізок з початком в точці А і кінцем в одному з образів точки В, щоб він перетнув цю ж саму кількість разів лінії грат «клітчатої площини». Зробивши зворотню процедуру «складання» проведеного відрізка, перетворимо його в шукану траєкторію в початковому більярді.

2. Роздивлюсь більярд в рівносторонньому трикутнику. Оскільки однаковими рівносторонніми трикутниками можна без щілин і перекриттів замостити всю площину, і тут можна застосувати процедуру «випрямлення більярдної траєкторії».

Траєкторія більярдної кулі вирішує наступну відому задачу: знайти найкоротший шлях, по якому має повзти бджола з точки А в точку В всередині рівностороннього трикутника, щоб спочатку насолодитися медом на одній стороні трикутника, потім цукром – на другій стороні, і варенням – на третій. (Покладають, що кожна сторона повністю змащена відповідним речовиною)

Відповідь приведена на малюнку нижче.

Легко побачити, що інший шлях, що йде потрібним способом від А до В, після дзеркальних відбиттів перетворюється в шлях з точки а в точку В''', довжина якої більша, ніж відрізок АВ''', і тому не є найкоротша.

3. Виникає два питання, пов’язаних з узагальненням плоского більярду на випадок простору: чи снують замкнені більярдні траєкторії всередині куба, що є просторовим аналогом квадрата, і тетраедра – просторового аналогу рівностороннього трикутника?

В одній з численних статей о Льюісє Кероллє (відомий письменник був математиком за фахом) згадка про більярд всередині куба. Ця задача не є «надуманою». Реальн молекули повітря в кубічній кімнаті як раз і уявляють собою «більярдні кулі». Що стикаються одна з одною і з стінами кімнати за законом пружного удару. До кубу теж можна застосувати метод «випрямлення траєкторії».

Провівши 5 віддзеркалень від граней куба ми отримали шукану замкнену траєкторію. Якщо згорнути куби, зробивши зворотні віддзеркалення, отримаємо замкнену більярдну траєкторію з 6 ланок. (Ця траєкторія відома хімікам-органікам як «шестикутник в форм крісла». Вона дуже часто зустрічається у вуглеводних сполученнях).

Для знаходження замкнено більярдної траєкторії в тетраедрі роблять те ж саме, як і у випадку куба.

Застосування математичних законів методів більярдів, що наводились в теоретичному розділі для розвязання задач більярдної гри. Пропонується для використання на факультативах з математики, на нетрадиційних уроках та як ілюстрації до методів побудови траєкторій на прямокутному столі.

Застосування інформатики для рішення проблем математичних більярдів

Комп’ютерний, або обчислювальний експеримент дозволяє без особливих розумових зусиль розглянути досить складн явища і скласти якісь уявлення про них. З розповсюдженням комп’ютерної техніки такі експерименти проникають в багато галузей людської діяльності. З обчислювальних досліджень більярдів існує десятки наукових робіт.

Як робиться обчислювальний експеримент? Обирається точка z0 і будується більярдна траєкторія, що виходить з неї. Програма видає наступну (після z0 ) точку віддзеркалення z1 € М , потім точку другого віддзеркаленні і так далі. Важливо, щоб фазовий циліндр М містив інваріантні криві (незмінні при перетвореннях).

Для ілюстрац наведемо результат обчислювального експерименту французьких дослідників А. Хел Т. Дюмона. Вони прорахували більярд в області, обмеженій двома дугами AD і ВС більшого радіусу і двома дугами AB і CD – меньшого радіусу. В такій побудов виділяють 10 інваріантів. Це ілюструє малюнок, приведений нижче.

Математичний більярд в силовому полі

Математичний більярд - відома задача, розв'язується аналітично звичайно на прямокутному "столі". Аналітичне ж рішення задачі математичного більярда в силовому полі (наприклад, в полі сили тяжкості) на "столах", що мають різні форми, вельми скрутно. Графічне представлення траєкторій руху абсолютно пружного тіла (без урахування опору середовища) може бути отримано за допомогою комп'ютера.

На мал. 1 - 5 представлені траєкторії руху тіл на столі з параболічним бортом. На мал. 1 - тіло рухається в полі з , з початковою швидкістю, рівною нулю. Таке ж сімейство кривих виходить для випадків руху тіл, кинутих "під кутом до горизонту", якщо перший удар об стінку буде справа. В осоружному випадку, траєкторії матимуть інший вигляд - мал. 3, як вироджуються у відрізок параболи, якщо перший удар відбувається під кутом 90 0 . На цих малюнках чітко видні "заборонені зони".

На рис.4 представлений випадок повернення в початкову крапку після 14 ударів об параболічний борт.

На рис.5 зображено сімейство кривих - траєкторія руху тіла з крапки А 1 з невеликої відстані від параболічного борту.

На мал. 6 - 8 зображені траєкторії руху тіла у кута борту з різними кутами розчину - 90 0 (рис.6), 60 0 (мал. 8) і - менше 90° (мал. 7).

Чітко видна "заборонена зона" на рис. 8.

 

1. Задача повинна займати важливе місце в курсі фізики; 2. спираючись на вивчений матеріал, повинна містити нові елементи 3. носити узагальнений характер, щоб можна було вирішувати великий клас задач по вибраній темі; 4. математичний апарат повинен бути найпростішим з можливих, але не шкодити строгості математичної моделі.

Робота з пакетом Derive

Оголосимо спочатку в пакеті Derive невеличку бібліотеку допоміжних функцій для розв’язування деяких стандартних задач аналітично геометрії.

#1: SYM_Z(p, c) := 2·c – p

Функція SYM_Z(P, C) повертає образ точки P при симетр відносно точки C. Наступна функція SYM_L(P, A, q) повертає образ точки P при симетрії відносно прямої, що проходить через точку A паралельно вектору q.

Функція SYM_PL(P, A, B) повертає образ точки P при симетрії відносно прямої AB.

Функція SYM_PL(P, A, B) повертає образ точки P при симетрії відносно прямої AB.

Значенням функції PR(v) є вектор, що одержується із вектора v при повороті на 90°.

Оголосимо тепер функцію SOL2(m, n, p, q), що поверта розв’язок системи векторних рівнянь

Функція INTERSECT(A, B, C, D) повертає точку перетину прямих AB і CD.

LINE1(n, r0, r) — пряма, що проходить через точку r0 перпендикулярно вектору n (r — радіус-вектор довільної точки прямої); LINE2(q, r0, r) — пряма, що проходить через точку r0 паралельно вектору q; Оголосимо тепер функцію BIL2(K, L, A, B, C) , яка поверта вектор, елементами якого є дві точки, що задають відбитий промінь. Функція REPLACELAST(u, v) вилучає останній елемент вектора u і дописує в кінець одержаного вектора елементи вектора v.

Тепер ми можемо випробувати нашу програму на практиці. Розглянемо більярд у трикутнику з вершинами (2; 2), (5; 6), (8; 2). Спочатку побудуємо сам трикутник.

#22: [[2, 2], [5, 6], [8, 2],[2, 2]]

Побудуємо більярдну траєкторію, що задається точкою (3; 2) та вектором (0; 1).

#23: BIL([3, 2], [0, 1], [1, 1], [4, 5], [7, 1], 4)

Після спрощення виразу #23, одержимо:

#24: [[3, 2], [3, 11/3], [181/39, 485/117], [1389/527, 1], [1837/975, 6373/2925], [1037/175, 1]]

Результат побудови зображено на рис.2.

Збільшимо кількість вершин більярду.

#25: BIL([3, 2], [0, 1], [1, 1], [4, 5], [7, 1], 100)

#26: [[3, 2], [3, 11/3], [181/39, 485/117], [1389/527, 1], [1837/975, ...

Результат побудови виразу #26 (рис.3) на перший погляд може здатися неправдоподібним, оскільки наш більярд повинен містити 101ланку. Що ж це означає?

Наша більярдна траєкторія періодична! Це означає, що траєкторія через деякий час попаде в початкову точку Р(3; 2) і матиме в цій точці напрям v(0; 1). Очевидно, що далі точка буде повторювати попередню траєкторію. Траєкторія двічі зустрічається з основою трикутника під прямим кутом і змінює напрям руху на протилежний. Неважко переконатися, що побудована періодична траєкторія має 98 вершин.

Як і очікувалося більярдна точка після трьох зіткнень з сторонами трикутника не влучила у вершину і продовжила свій шлях у трикутнику (рис.5). На рисунку 6 наведено збільшене зображення околу вершину трикутника, а на рисунку 7 зображено перші 500 ланок того ж самого більярда.

Рисунок 5

Рисунок 6

Рисунок 7

За допомогою ц програми можна створювати такі цікаві траєкторії, як показані на малюнку, наведеному нижче.

Висновок

В результат проведеної роботи, зазначеної у вступі, були отримані такі висновки:

Хоча математичний більярд – достатньо молода теорія, але в останній період вона здобула широке визнання. Основну роль в бурхливому розвитку цієї теорії відіграє застосування комп’ютерних програм для моделювання ситуацій розташування траєкторій. В практичній частині яскраво показано доцільність вивчення елементів теорії математичних більярдів, а саме «методу випрямлень» і побудові траєкторій в опуклих гладких областях, в школ на факультативах з математики. Дуже цікавими виявились правила гри в дійсний більярд, що витікають з математичної теорії. Це можна застосовувати для проведення нетрадиційних уроків з математики. Важливі висновки були зроблен при розробках комп’ютерної програми для побудови більярдних траєкторій. На наглядному прикладі використання математичних відомостей було продемонстровано використання математичних правил в фізичних дослідженнях.

Отримані висновки свідчать про широкі можливості застосування теорії. Як зауваження, хотілось би запропонувати введення елементів теорії математичних більярдів в курс геометр в вищих спеціалізованих навчальних закладах, поряд з вивченням теми Симетрія. На доданках 1 і 2 запропоновані задачі для самостійної роботи студентів другого курсу спеціальності «математика».

Отже, можна підбити висновки і на основі вищезазначеного стверджувати, що поставлена в вступній частині мета в ході роботи була досягнена.

Список джерел

1.   Балін І.В. В мире бильярда Ростов н/д: «Фенікс», 2001.

2.   Біркгоф Г. Динамические системы. – М.,: Л.:ОГИЗ, 1941

3.   Гальперін Г.О. Биллиарды и хаос – М.:Знание, 1991.

4.   Гальперін Г.О., Земляков О.М. Математические бильярды М.:Наука, 1990. //Библиотечка «Квант», вып.77.

5.   Гальперін Г.О., Стьопін А.М. Периодические движения бильярдного шара – Квант, 1989, № 3.

6.   Земляков А.Н. Бильярды и поверхности. –Квант, 1979, №9.

7.   Земляков А.Н. Математика бильярда. – Квант, 1976, 5.

8.   Коріоліс Г.Г. Математическия теория бильярдной игры. – М.: Гостехиздат, 1956

9.   Лазуткін В.Ф. Выпуклый биллиард и собственные функции оператора Лапласа – С.-П.: Изд-во ЛГУ, 1981

10.      Раков С.А. Комп’ютерне моделювання трикутного математичного більярду // Комп’ютер у школі та сім’ї. 2005. — №1. — C. 42–47.

11.      Сінай Я.Г. Бильярдные траектории в многогранном угле // Успехи математических наук. – 1978. – Т.33. Вып.1. – с.291-300.

12.      Сінай Я.Г. Динамические системы с упругим отражениями. Эргодические свойства рассеивающихся биллиардов. //Успехи математических наук, 1970, т. 25, вып 2.

13.      Совертков П.И. Занимательное компьютерное моделирование в элементарной математике: Учебное пособие. – М.: Гелиос АРВ, 2004. – 384 с.