Реферат: Шпоры по вышке
Смысл смешенного произведения: сначала два вектора векторно перемножают, а затем полученный скалярно перемножают с третьим вектором. Смешанное произведение представляет собой число – число. Результат смешанного произведения – объем параллелепипеда, образованного векторами.
Свойства.
1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке сомножителей:
2. Смешанное произведение не изменится при перемене местами векторного и скалярного произведения.
3. Смешанное произведение меняет знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей.
4. Смешанное произведение трех ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.
Три вектора называются компланарными, если результат смешанного произведения равен нулю.
16. Линейные преобразования пространства. Матрица линейного преобразования. Связь между координатами образа и прообраза.
Рассмотрим линейное пространство V, в котором каждому элементу x, в силу некоторого закона поставлен элемент этого же пространства.
- прообраз
- образ
Каждому прообразу соответствует единственный образ.
Каждый образ имеет единственный прообраз.
Линейное преобразование пространства, при котором существует взаимнооднозначные соответствия.
Блективное преобразование – называется линейным, если выполняются 2 условия.
1.
2.
Рассмотрим n-мерное линейное пространство
Для того, чтобы задать линейные преобразования в этом пространстве достаточно задать это преобразование для базисных векторов.
Матрица линейного преобразования.
Пусть F – линейное преобразование линейного пространства, переводящая базис в базис . Т.к. - базис, то верны соотношения
А – является матрицей линейного преобразования или линейным оператором пространства.
Связь между координатами образа и прообраза.
В базисе вектор имеет координаты
Линейное преобразование – матрица линейного оператора.
Каждому линейному преобразованию соответствует 1 матрица линейного оператора и наоборот.
Если имеется квадратная матрица задано линейное преобразование пространства.
17. Связь между координатами одного и того же линейного оператора в разных базисах.
Т – матрица перехода от e к e’ , то:
Если линейный оператор имеет в базисе невырожденную матрицу Т, матрица этого оператора в любом другом базисе не будет вырождена.
18. Характеристическое уравнение линейного оператора. Собственные векторы линейного оператора и их свойства.
Если в базисе линейный оператор имеет матрицу А, а в базисе () оператор имеет матрицу В
λ – произвольное число ≠0
Е – единичная матрица
Если характеристически многочлен линейного оператора прировнять к 0, получим характеристическое уравнение линейного оператора.
Собственные векторы линейного оператора
Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора, если оператор к , получим этот же , умноженный на некоторое к.
к – собственное число оператора А=
Каждый собственный вектор имеет единственное собственное число.
19. Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми.
Векторное уравнение прямой.
Положение прямой можно задать по точке и направляющему вектору.
Пусть прямая L задана ее точкой M0(x0;y0;z0) и направляющим вектором S(m;n;p). Возьмем на прямой L точку M(x;y;z). Обозначим радиус-векторы точек M и M0 через r и r0.
Тогда уравнение прямой запишется в виде:
где t – скалярный множитель (параметр).
Параметрические уравнения прямой.
Канонические уравнения прямой.
S(m;n;p) – направляющий вектор прямой L. M0(x0;y0;z0) – точка на прямой. соединяет M0 с произвольной точкой М.
Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.
M1(x1;y1;z1) M2(x2;y2;z2)
В качестве направляющего вектора можно задать вектор
Следовательно:
, тогда
Общее уравнение прямой.
Уравнение прямой как линию пересечения двух плоскостей. Рассмотрим:
Т.к. прямая перпендикулярна векторам n1 и n2 то направляющий вектор запишется как векторное произведение:
Угол между прямыми.
;
20. Плоскость в пространстве. Виды уравнения плоскостей. Угол между плоскостями.
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно данному вектору.
Пусть плоскость задана точкой M0(x0;y0;z0) и вектором , перпендикулярной этой плоскости.
Возьмем произвольную точку M(x;y;z) и составим вектор . При любом расположении точки М на плоскости Q , поэтому .
Общее уравнение плоскости.
· Если D=0, то данному уравнению удовлетворяет точка О (0;0;0)
· Если С=0 то вектор . Следовательно, плоскость параллельна оси oz, если В=0 – то oy, если А=0 – то ox.
· Если C=D=0, то плоскость проходит через О (0;0;0), параллельно оси oz. Аналогично при A=D=0 и B=D=0.
· Если А=В=0 то уравнение примет вид плоскость параллельна плоскости Oxy.
· Если A=B=D=0, то уравнение имеет вид . Это уравнение плоскости Oxy.
Уравнение плоскости, проходящей через три точки
К (х1;у1) М (х2;у2) N (x3;y3)
Возьмем на плоскости точку P (x;y;z).
Составим векторы:
Эти векторы лежат в одной плоскости, следовательно они компланарны:
Уравнение плоскости в отрезках.
Пусть плоскость отсекает на осях отрезки, т.е. проходит через точки:
; ;
Нормальное уравнение плоскости.
21. Угол между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости.
Прямая L:
Пусть φ – угол между плоскостью и прямой.
Тогда θ – угол между и.
Найдем , если
, т.к.
Расстояние от точки до плоскости.
Дано:
M0 (x0;y0;z0)
Расстояние d от точки М0 до плоскости ∆ равно модулю проекции вектора (где М1(x1;y1;z1) - произвольная точка плоскости) на направление нормального вектора
!!!Если плоскость задана уравнением:
то расстояние до плоскости находится по формуле:
22. Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми.
Уравнение с угловым коэффициентом.
k= tg α – угловой коэффициент.
Если b=0 то прямая проходит через начало координат. Уравнение примет вид
Если α=0, то k = tg α = 0. То прямая пройдет параллельно оси ох.
Если α=π/2, то уравнение теряет смысл. В этом случае уравнение примет вид и пройдет параллельно оси оу.
Общее уравнение прямой.
A, B, C – произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно.
· Если В=0, то уравнение имеет вид или . Это уравнение прямой, параллельной оси оу. и проходящей через точку
· Если В≠0, то получаем уравнение с угловым коэффициентом .
· Если А=0, то уравнение имеет вид . Это уравнение прямой, параллельной оси ох.
· Если С=0, то уравнение проходит через т. О (0;0).
Уравнение прямой, проходящей через точку, в данном направлении.
т М (х0;у0).
Уравнение прямой записывается в виде .
Подставим в это уравнение точку М
Решим систему:
Уравнение прямой, проходящей через 2 точки.
К (х1;у1) М (х2;у2)
Уравнение прямой в отрезках.
К (а;0); М (0;b)
Подставим точки в уравнение прямой: