Реферат: Шпора
Вопрос№11Если пов-ть Р задана параметрич. ур-ями (u,v) G ф-ии x,y,z непрерывны с частными производными то поверхностный интеграл 1-го рода вычисл. С помощью интеграла двойного рода,взятого по обл. G по ф-ле: Если пов-ть Р задается явным урав. Z=F(x,y)=z(x,y) Где (x,y),причем ф-ия F-непрерыв. Со своими Часными произв.,то поверхностный интегр.1-го рода Вычисл.по ф-ле : где P и Q соотв.часные произв. Поверхн.интеграл 2-го рода
Криволин.интеграл 2-го рода: Пусть задана двусторонняя пов-ть S и на верхн. Стороне задана ф-ция U=F(x,y,z).Разобьем задан. Повер.S непрерывн.кривыми на конечное число Частичных поверх. S1,S2….Sn.Проэктир.эти поверх. На XOY , -площадь прэкции повер.Si:
Если сущ.предел Lim s n при не зависит От способа дел.области на части и выбора точек Mi, То его наз.повер.интегалом 2-го рода по поверхн.и Обознач. : Если же проэктировать пов-ть на другие плоскости ,то Получится: Пусть на пов-ти заданы три ф-ции P(x,y,z), Q(x,y,z) R(x,y,z) тогда повер.интегр.2-го рода общего вида наз. Пусть пов-ть S явл.гладкой поверхн.,такой что в каждой точке ее Сущ. Пл-ть такая что в каждой т.пов-ти сущ.нормаль.Обозначим Через ,,-углы ,которые образуют углы с осями OX,OY,OZ. Тогда,как и для криволин.интеграла имеет место форма между повер.Интегр.1 и 2 рода: Имеет место следующ.ф-ла замены перем.в пов.интегр.2-го. Пусть пов-ть S задается своими парам.ур-ми: ф-ции x,y,z –непрерыв.и имеют непрер.частн. произв.Тогда: Имеет место ф-ла Стакса ,связывающ.криволин.интеграл по контуру Пов-ти с повер.интегралом 2-го по задан.пов-ти. Пусть задана некоторая гладкая повер.S на верхн.стороне этой повер. Заданы три ф-ии P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) непрерыв.и имеющ.непрер. Частн.произв.по своим аргументам и L-контур повер.,проходящий в Полож.направления.Тогда: |
Билет №14 Поток вектора через поверхность Пусть задана некоторая область(тело) ДÌR3 Пусть над этой областью определено поле вектора (М), МÎД , Аx ,Ay ,Az Возьмем в области Д некоторую поверхность S обозначим через - нормальный вектор поверхности -единичный вектор , данного нормального вектора где l,m,n -углы , которые образует нормаль с осями координат Потоком вектора через заданную поверхность S (во внешнюю поверхность) называют следующий поверхностный интеграл 1-го рода Проекция вектора на ось Ап – проекция вектора на вектор Ап =пр А тогда поток вектора будет равен |
Вопрос №16Общий вид диф уравнения F(x, y, y’)=0 y’=f(x,y) (1). Решением дифференциальное уравнение первого порядка называется всякая функция y=j(x), которая будучи подставлена в данное уравнение обращает его в тождество. j’(x)= f (x, j(x)); Задача Коши для диф. уравнения 1 порядка. Требуется найти решение диф. ур-я (1) удовлетворяющего следующему условию (2). Теорема Коши. Пусть задана на плоскости XOY некоторая обл. Д и задано диф. ур-е разрешённое относительно производной, тогда если функция f(x, y) и её частная производная непрерывны в обл. Д, и некоторая фиксированная точка обл. Д, то существует и единственная функция y=j(x) являющаяся решением (1) и такая, которая в т. принимает значение , т.е. удовлетворяющая заданному начальному условию .
Т.е. если существует решение диф. ур-я, то таких решений бесконечное множество. График функции являющийся решением диф. ур-я принято называть интегральной кривой, процесс решение принято называть интегрированием. Точкув плоскости XOY называют особой точкой диф. ур-я если в этой т. не выполняется условие теоремы Коши, т.е. особая т. это такая т. через которую может вообще не проходить ни одной интегральной кривой, либо проходить множество. Решения диф. ур-я в каждой т. которого нарушается условие единственности из теоремы Коши, принято называть особым решением диф. ур-я. График особого решения называется особой кривой. Определение общего решения диф. ур-я 1 порядка: Функция y=j(x, C), где С произвольная константа, называется общим решением диф. ур-я (1) если выполнены следующие условия: 1. Функция y=j(x, C) является решением ур-я (1) при любом значении произвольной константы С; 2. Какова бы ни была т. Î Д найдётся такое значение произвольной константы , что функция y=j(x,) удовлетворяет заданному начальному условию, т.е. j Частным решением данного диф. ур-я называется решение этого ур-я которое может быть получено из общего решения при некотором фиксированном значении произвольной константы С. Определение: Если решение диф. ур-я (1) может быть получено в виде, причём это ур-е не может быть явно разрешено относительно y, то функцию принято называть общим интегралом диф. ур-я (1), где С – произвольная константа. Если решение получено в виде , где - явная константа – частным интегралом диф. ур-я. Особое решение данного диф. ур-я (1) ни при каком значении константы С не может быть получено из общего решения.. |
|||||
Вопрос №17Диф. ур-ем с разделёнными перемеными принято называть ур-е вида (1): (1) Если y=y(x) является решением ур-я (1), то и правая и левая части этого ур-я представляют собой дифференциалы от переменной x, т.е. имеем равенство двух дифференциалов, то тогда неопределённые интегралы отличается разве лишь на константу. Т.е. интегрируя равенство (1), получаем общее решение данного диф. ур-я: Уравнения с разделяющимися переменными:
Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделёнными переменными. докажем, что это ур-е можно привести к ур-ю с разделёнными переменными. Т.е. Если т.е. Пример: |
Билет №15Дивергенция , циркуляция ротор вектораПусть задана некоторая пространственная область Д над которой определенно поле вектора и S –некоторая поверхность в данной поверхности Д Рассмотрим интеграл , выражающий поток вектора через поверхность S Обозначим Аx = P(x,y,z) , Ay =Q(x,y,z) , Az = R(x,y,z) поверхность S ограничивает тело Д1 - расходимость (дивергенция ) вектора - уравнение Остроградского-Гаусса Ап – проекция вектора на нормаль поверхности Циркуляция , вихрь и ротор вектораПусть в пространстве задано некоторое тело Д и пусть в теле Д рассматривается некоторая кривая L , которая гладкая , имеет непрерывно изменяющуюся касательную Обозначим через a,b,g углы , образует касательная к кривой L с осями координат Пусть над этим телом определенно поле вектора Тогда криволинейный интеграл по кривой L Рассуждая как и прежде можно показать , что L0 - единичный вектор касательной L1 L1 - касательный вектор к кривой L Если кривая L является замкнутой кривой , то такой интеграл принято называть циркуляцией вектора вдоль замкнутого контура L - циркуляция Пусть теперь в некоторой области Д задана поверхность S , контур которой обозначим через L
- формула Стокса Ротором векторного поля называется вектором (или вихрем) , имеющий следующие координаты и обозначающиеся Циркуляцией вектора вдоль поверхности S равна потоку вектора через заданную поверхность S - формула Стокса |
Билет №13Криволинейные интегралы в пространстве и объем тела в криволинейных координатахПусть в пространстве OXYZзадано тело G.И пусть в другом пространстве OUVW задано тело Д И пусть заданы 3 функции взаимно однозначно отображающие область Д в области G Будем считать функции x,y,z –непрерывными и имеющие непрерывные частные производные Рассмотрим Якобиан Можно показать , что в случае взаимно однозначного отображения области Д и G якобиан ни в одной точке области Д не обращается в 0 А значит в области Д сохраняет один и тот же знак Координаты (U,V,W) принято называть криволинейными координатами точек области G И тогда можно показать , что объем области G в криволинейных координатах выражается по следующей формуле Если теперь в области G будет задана функция f(x,y,z) –непрерывная в этой области, то справедлива следующая формула замены переменных в тройном интеграле При замене переменных в тройном интеграле наиболее часто используются цилиндрические и сферические координаты Под цилиндрическими координатами следует понимать объединение полярных координат на плоскости XOY и аппликаты z r,q,z r-расстояние от начала координат до проекции тМ на плоскость q-угол , образованный радиус вектором ОМ , в пол направлении циллиндрические координаты 0£ r < +¥ , 0£ q < 2p , -¥< z < +¥ Подсчитаем якобиан в случае цилиндрических координат q- угол , образованный проекцией радиус-вектора тМ j-угол, образованный радиус-вектором тМ r- радиус-вектор тМ, равный ОМ Сферическими координатами принято называть r,j,q Где r- расстояние от начала координат до тМ j- угол , образованный радиус-вектора с осью Z q- угол, образованный проекции радиус-вектора с осью X r=(ОМ) 0£ r < +¥ , 0£ j < p , 0 < q < 2p Найдем якобиан для сферических координат
=cosj[r2 cos2 qcosj sinj + r2 sin2 q sinj cosj] + rsinj [r sin2 j cos2 q + r sin2 j sin2 q] =r2 cos2 j sinj + r2 sin3 j=r2 sin j I(r,j,q)=r2sinj |
|||||