Реферат: Производная в курсе алгебры средней школы

 

Нормальный случай(N):

Периодический случай(P) (т. е. f(x+(xn-x0))=f(x)):

Заданное сглаживание на границах:

Пример: сплайн-интерполяция функции f(x)=sin x, n=4.

Функция периодическая, поэтому используем случай P.

j	xj	yj	hj	yj-yj-1
0	0	0	π/2	1
1	π/2	1	π/2	-1
2	π	0	π/2	-1
3	3π/2	-1	π/2	1
4	2π	0

Сплайн-функция получается такая:

 

5-2. Формула Тейлора

Разложение функций в бесконечные ряды позволяет получить значение функции в данной точке с любой точностью. Этот прием широко используется в программировании и других дисциплинах

Говорят, что функция разлагается на данном  промежутке в степенной ряд, если существует такой степенной ряд a0 + a1(x - a) + a2(x - a)2 + … + an(x - a)n + …, который на этом промежутке сходится к данной функции. Можно доказать, что это разложение единственно:

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в точке a. Степенной ряд вида

называется рядом Тейлора для функции f(x), записанным по степеням разности (x - a). Вообще, чтобы ряд Тейлора сходился к f(x) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член ряда стремился к 0. При a = 0 ряд Тейлора обычно называют рядом Маклорена.

С помощью ряда Маклорена можно получить простые разложения элементарных функций:

5-3. Приближенные вычисления

Часто бывает, что функцию f(x) и ее производную легко вычислить при x = a, а для значений x, близких к a, непосредственное вычисление функции затруднительно. Тогда пользуются приближенной формулой, полученной с помощью формулы Тейлора:

Пример: Извлечь квадратный корень из 3654

Решение: , x0=3654. Легко вычисляются значения f(x) и  при x = 3600. Формула при a = 3600, b=54 дает:

С помощью этой формулы можно получить несколько удобных формул для приближенных вычислений:

Производная в школьном курсе алгебры

1. Структура учебников

Колмогоров:

§4. Производная

   12. Приращение функции

   13. Понятие о производной

   14. Понятия о непрерывности и предельном переходе

   15. Правила вычисления производных

   16. Производная сложной функции

   17. Производные тригонометрических функций

§5. Применение непрерывности и производной

   18. Применения непрерывности

   19. Касательная к графику функции

   20. Приближенные вычисления

   21. Приоизводная в физике и технике

§6. Применение производной к исследованию функций

   22. Признак возрастания (убывания) функции

   23. Критические точки функции, максимумы и минимумы

   24. Примеры применения производной к исследованию функции

   25. Наибольшее и наименьшее значения функции

Алимов:

Глава V. Производная и ее применение

   §22. Производная

   §23. Производная степенной функции

   §24. Правила дифференцирования

   §25. Производные некоторых элементарных функций

   §26. Геометрический смысл производной

Глава VI. Применение производной к исследованию функций

   §27. Возрастание и убывание функции

   §28. Экстремумы функции

   §29. Применение производной к построению графиков функции

   §30. Наибольшее и наименьшее значения функции

Башмаков:

Глава II. Производная и ее применение

   Вводная беседа

      Механический смысл производной

      Геометрический смысл производной

      Определение производной

      Предельные переходы     

   §1. Вычисление производной

      Схема вычисления производной

      Правила дифференцирования

      Производная степени

      Линейная замена аргумента

   §2. Исследование функций с помощью производной

      Связь свойств функции и ее производной

      Особые точки

      Решение задач

      Построение графика функции

   §3. Приложения производной

      Скорость и ускорение

      Скорость криволинейного движения

      Дифференциал

      Дифференциал в физике

      Задачи на максимум и минимум

      Приближенные формулы

2. Понятие производной

2-1. Определение производной

В учебниках Алимова и Башмакова вначале определение производной дается через механический смысл: производная – это мгновенная скорость. Это соответствие, пожалуй, наиболее доступно для понимания школьника.

Рассмотрев задачу на скорость, Алимов сразу же переходит к точному определению производной через пределы, кратко объяснив значение понятия «предел» в той же задаче применительно к мгновенной скорости.

Башмаков же последовательно и детально рассматривает механический и геометрический смысл, рассматривая производную на разных случаях, и только потом переходит к точному определению.

Подход Колмогорова отличается тем, что глава, посвященная производной, начинается с пункта, в котором дается определение приращения функции. Понятие приращения рассматривается на примерах. Третий пример показывает, как найти угловой коэффициент секущей через приращение. В следующем пункте автор объясняет, что такое касательная к графику функции и дает определение мгновенной скорости. Причем, определение предела не рассматривается, вместо этого Колмогоров пользуется понятием «стремится к».

Проанализировав систему ознакомления учащегося с понятием производной в этих учебниках, можно выявить следующие особенности: короткое вступление главы о производных в учебнике Алимова дает возможность учащимся, получив минимум информации о производной, как можно быстрее приступить к вычислению производных. Далее, понятие производной обогащается новыми приложениями и свойствами и все это немедленно подкрепляется задачами. Колмогоров и Башмаков стремятся вначале подвести достаточно большую базу примеров и соответствий, опираясь на более легкие по усвояемости понятия и затем приступить к вычислениям.

2-2. Геометрический смысл производной

У Колмогорова и Башмакова понятие касательной к графику функции начинается с аналогии. Важно установить связь у учеников между абстрактным понятием касательной и уже освоенными геометрическими объектами, интуитивные образы которых уже сформированы в сознании. Так, увеличивая масштаб графика функции, авторы обращают внимание школьников на то, что график все больше становится похож на прямую. Также они замечают, что, проводя отрезки между точками графика, мы можем получить его приближенное изображение. Все это позволяет представить себе «устройство» кривых. Используется наглядная иллюстрация «вырезания» графика из бумаги – касательной в данной точке будет являться положение ножниц, когда разрез дойдет до этой точки.

В учебнике Алимова пункт “геометрический смысл производной” расположен в самом конце, после объяснения методов вычисления. Алимов аналогиями пренебрегает, зато дает конкретное определение геометрического смысла производной: значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Определение касательной и вывод ее формулы дается через рассмотрение хорд (см. гл. 1 п.2-1). Используются приращения и пределы.

2-3. Непрерывность функции и предельный переход

Колмогоров дает определение понятия непрерывности функции: если f (x)→f (x0) при x→x0, то функцию f (x) называют непрерывной. Вообще, в этом пункте автор очень углубляется в математический анализ и довольно скрупулезно разбирает свойство непрерывности и предельный переход. У Башмакова предельный переход объясняется на примерах, не вдаваясь в подробности.

3. Вычисление производной

3-1. Правила дифференцирования

Напомним основные правила дифференцирования:

сумма: (u + v)’ = u’ + v’

коэффициент: (Cu)’ = Cu’

произведение: (uv)’ = u’v + uv’

частное: (u / v)'=(u'v - uv') / v2

В учебниках Башмакова и Колмогорова все эти формулы выводятся, каждый шаг объясняется. Учебник Алимова содержит доказательства только двух первых формул, зато к каждой формуле есть по 1-2 примера.

В учебнике Колмогорова рассматривается формула производной сложной функции (гл 2, §16):

f(g(x))’ = f ’(g(x))g’(x)

Вначале автор дает определение сложной функции, затем выводит формулу и приводит несколько примеров нахождения производной сложных функций. Алимов решил упростить данный раздел, заменив формулу сложной функции на ее частный случай – линейную замену аргумента:

(f(kx + b))’ = kf ‘(kx + b)

Эта формула, конечно, гораздо менее емкая, зато ее доказательство короче и менее абстрактно. Башмаков же включил в учебник обе формулы.

3-2. Производные элементарных функций

Проблема заключается в том, что если тема «производные» дается перед рассмотрением каких-либо элементарных функций, то производные этих функций придется рассматривать позже, что может отвлечь от сути. С другой стороны, помещая производные в самый конец учебника, сложность материала может повышаться неравномерно, что может сказаться на успеваемости.

Башмаков посвящает вычислению производной через приращения целый пункт, где выводит 5 формул (для линейной функции, квадрата, куба, гиперболической функции, корня). С этого пункта и начинается собственно вычисление производных. Далее, после рассмотрения правил дифференцирования, выводится формула производной степени. Производные показательной и логарифмической функций рассматривается в соответствующей главе, а производные тригонометрических функций вовсе исключены из курса.

В учебнике Колмогорова формулы производных показательной и логарифмической функций также выводятся и применяются в решении задач позже. Однако, производные тригонометрических функций, уже изученных к этому моменту, даются в главе «производная» в виде отдельного пункта. Кстати говоря, в ходе вывода формулы производной синуса, доказывается следующее утверждение:

lim (sin (x) / x) = 1

Доказательство усложнено тем, что переменная выступает как угол и длина, необходим переход от длины дуги к длине отрезка. Он обосновывается довольно расплывчато, но объяснения интуитивно вполне понятны. Имея в распоряжении формулу производной синуса, нетрудно найти производные остальных функций.

Алимов рассматривает степенную функцию перед правилами дифференцирования, а формулы производных других элементарных функций (показательной, логарифмической, тригонометрических) – после и в отдельном пункте. Доказательство приводится только для синуса, но для каждой функции есть решенная задача. Удобство заключается в том, что все элементарные функции и правила дифференцирования рассматриваются последовательно и нет необходимости возвращаться к уже пройденному материалу.

4. Исследование функций

4-1. Возрастание и убывание функций

В начале раздела о исследовании функций в учебнике Башмакова приводятся две теоремы: о том, что функция имеющая на промежутке производную, тождественно равную 0, постоянна на этом промежутке и признак монотонности функции. Затем идет формулировка признаков возрастания / убывания функции – они находятся в начале разделов учебников Алимова и Колмогорова. Колмогоров доказывает эти признаки на основе формулы Лагранжа:

Алимов доказательство не приводит. Затем идут примеры, наглядно показывающие, как находить промежутки возрастания / убывания.

4-2. Экстремумы функций

Основополагающими теоремами в этом пункте являются: необходимое условие экстремума (производная в точке экстремума должна быть равна 0), признаки максимума / минимума функции. Согласно просматривающемуся стилю авторов, Колмогоров методично доказывает каждую теорему, Алимов делает упор на рассмотрение задач, а Башмаков по возможности в доказательствах и рассуждениях обходится без формул, предпочитая рассказ о свойствах производной.

Замечу, что Башмаков выделил пункт для рассмотрения т. н. особых точек. Это точки, в которых производная не существует, но функция может быть непрерывной. Колмогоров рассматривает их в пункте «применение непрерывности» . Кроме того, там же рассматривается важнейший метод исследования поведения функции – метод интервалов.

4-3. Схема исследования функций

Колмогоров:

1)    Нахождение области определения

2)    Проверка на четность / нечетность

3)    Нахождение точек пересечения с осями

4)    Нахождение промежутков знакопостоянства

5)    Нахождение промежутков возрастания и убывания

6)    Нахождение точек экстремума и значений функции в этих точках

7)    Исследование поведения функции в окрестностях «особых» точек и бесконечности

Башмаков и Алимов исследуют функцию только на монотонность.

5. Приложения производной

5-1. Применение производной в физике

Ранее уже был рассмотрен механический смысл производной – как найти скорость (ускорение – производная от скорости – вторая производная функции). Учебник Башмакова показывает, как производная используется также при нахождении таких физических характеристик, как сила, импульс, кинетическая энергия. Разъясняется суть понятия дифференциала: дифференциалом функции называют произведение производной на приращение аргумента. Рассказывается, как с помощью дифференциала можно найти заряд, работу, массу тонкого стержня, теплоту.

Колмогоров также приводит примеры использования производной в физике: нахождение мощности, линейной плотности. Также он объясняет с помощью производной принцип действия параболических телескопов.

5-2. Приближенные вычисления

Формула для приближенных вычислений разбирается в учебнике Колмогорова и Башмакова. Авторы указывают на сходство графиков функции и касательной и значения будут ненамного различаться при достаточно малом приращении. Эта тема носит практический характер. Рассмотрены несколько примеров.

Заключение

Принимая в расчет вышеизложенное, я могу дать такую характеристику этим учебникам:

Учебник под редакцией Колмогорова характеризуется большим объемом материала по производной и высокой степенью детальности. Как следствие – высокий уровень подготовки и некоторая сложность в понимании. Этот учебник по праву наиболее часто используется в обычных школах.

Учебник Алимова делает больший упор на практическую сторону. В тексте много примеров решения задач, некоторые пункты даже целиком состоят из них. К каждому пункту прилагается большой набор задач для самостоятельного решения. Доказательства – слабая сторона учебника, т. к. они кратки, а зачастую их нет совсем. Некоторые аспекты темы опущены.

В учебнике Башмакова материал излагается крайне сжато, но последовательно и доказательства более просты и понятны. Все абстрактные математические понятия находят свои житейские прототипы и рассматриваются на конкретных примерах. Учебник больше подходит для самостоятельного изучения материала.

Литература

М. Я. Выгодский	Справочник по высшей математике
И. Н. Бронштейн,  К. А. Семендяев	Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов
И. М. Уваренков,  М. З. Маллер	Курс математического анализа,т.1
В. А. Дударенко,  А.А. Дадаян	Математический анализ
Н. С. Пискунов	Дифференциальное и интегральное исчисления
Т. И. Трофимова	Курс физики
О. О. Замков А. В. Толстопятенко Ю. Н. Черемных	Математические методы в экономике
А. С. Солодовников В. А. Бабайцев А. В. Браилов И. Г. Шандра	Математика в экономике
Под редакцией А.М Колмогорова	Алгебра и начала анализа
Ш. А. Алимов Ю. М. Колягин Ю. В. Сидоров Н. Е. Федорова М. И. Шабунин	== << ==
М. И. Башмаков	== << ==

Содержание:

Введение

Глава 1. Производная и ее применение

1. Понятие производной

  1-1. Исторические сведения

  1-2. Понятие производной

  1-3. Правила дифференцирования и таблица производных

2. Геометрический смысл производной

  2-1. Касательная к кривой

  2-2. Касательная плоскость к поверхности

3. Использование производной в физике

  3-1. Скорость материальной точки

  3-2. Теплоемкость при данной температуре

  3-3. Мощность

4. Дифференциальное исчисление в экономике

  4-1. Исследование функций

  4-2. Эластичность спроса

  4-3. Предельный анализ

5. Производная в приближенных вычислениях

  5-1. Интерполяция

  5-2. Формула Тейлора

  5-3. Приближенные вычисления

Глава 2. Производная в школьном курсе алгебры

1. Структура учебников

2. Понятие производной

  2-1. Определение производной

  2-2. Геометрический смысл производной

  2-3. Непрерывность функции и предельный переход

3. Вычисление производной

  3-1. Правила дифференцирования

  3-2. Производные элементарных функций

4. Исследование функций

  4-1. Возрастание и убывание функций

  4-2. Экстремумы функций

  4-3. Схема исследования функций

5. Приложения производной

  5-1. Применение производной в физике

  5-2. Приближенные вычисления

Заключение

Список использованной литературы