Учебное пособие: Матричная математическая система MATLAB
Команды управления окном
Полезно сразу усвоить некоторые команды управления окном командного режима:
• clс – очищает экран и размещает курсор в левом верхнем углу пустого экрана;
• home – возвращает курсор в левый верхний угол окна;
• echo <file_name> on – включает режим вывода на экран текста Script-файла (файла-сценария);
• echo <file_name> off – выключает режим вывода на экран текста
Script-файла;
• echo <file_name> – меняет режим вывода на противоположный;
• echo on all – включает режим вывода на экран текста всех m-файлов;
• echo off all – отключает режим вывода на экран текста всех m-файлов;
• more on – включает режим постраничного вывода (полезен при просмотре больших m-файлов);
• more off – отключает режим постраничного вывода (в этом случае для просмотра больших фалов надо пользоваться линейкой прокрутки).
В новых версиях MATLAB обе команды clc и home действуют аналогично – очищают экран и помещают курсор в левый верхний угол окна командного режима работы.
Простые вычисления в MATLAB
MATLAB в роли мощного научного калькулятора
Интерпретирующий язык программирования системы MATLAB создан таким образом, что любые (подчас весьма сложные) вычисления можно выполнять в режиме прямых вычислений, то есть без подготовки программы пользователем. При этом MATLAB выполняет функции суперкалькулятора и работает в режиме командной строки.
Работа с системой носит диалоговый характер и происходит по правилу «задал вопрос – получил ответ». Пользователь набирает на клавиатуре вычисляемое выражение, редактирует его (если нужно) в командной строке и завершает ввод нажатием клавиши ENTER. В качестве примера на рисунке показаны простейшие и вполне очевидные вычисления.
Даже из таких простых примеров можно сделать некоторые поучительные выводы:
• для указания ввода исходных данных используется символ >>;
• данные вводятся с помощью простейшего строчного редактора;
• для блокировки вывода результата вычислений некоторого выражения после него надо установить знак ; (точка с запятой);
• если не указана переменная для значения результата вычислений, то MATLAB назначает такую переменную с именем ans;
• знаком присваивания является привычный математикам знак равенства =, а не комбинированный знак :=, как во многих других языках программирования и математических системах;
• встроенные функции (например, sin) записываются строчными буквами, и их аргументы указываются в круглых скобках;
• результат вычислений выводится в строках вывода (без знака >>);
• диалог происходит в стиле «задал вопрос – получил ответ».
Следующие примеры иллюстрируют применение системы MATLAB для выполнения еще ряда простых векторных операций. На рисунке представлено также окно браузера файловой системы, который имеется на вкладке Current Directory. В командном режиме вызов окна браузера файловой системы удобнее производить из панели инструментов активизацией кнопки после списка директорий системы MATLAB. Возможны случаи отказа от вычислений при неправильно установленной текущей директории, если нужные для вычислений m-файлы не обнаруживаются.
В большинстве математических систем вычисление sin(V) или exp(V), где V – вектор, сопровождалось бы выдачей ошибки, поскольку функции sin и exp должны иметь аргумент в виде скалярной величины. Однако MATLAB – матричная система, а вектор является разновидностью матрицы с размером 1×n или n×1. Поэтому в нашем случае результат вычислений будет вектором того же размера, что и аргумент V, но элементы возвращаемого вектора будут синусами или экспонентами от элементов вектора V.
Матрица задается в виде ряда векторов, представляющих ее строки и заключенных в квадратные скобки. Для разделения элементов векторов используется пробел или запятая, а для отделения одного вектора от другого – точка с запятой. Для выделения отдельного элемента матрицы M используется выражение вида M(j,i), где M – имя матрицы, j – номер строки и i – номер столбца.
Для просмотра содержимого массивов удобно использовать браузер рабочего пространства Workspace. Каждый вектор и матрица в нем представляются в виде квадратика с ячейками, справа от которого указывается размер массива. Двойной щелчок по квадратику мышью ведет к появлению окна редактора массивов Array Editor. Работа с редактором массивов вполне очевидна – возможен не только просмотр элементов массивов, но и их редактирование и замена.
Как видно из приведенных примеров, ввод исходных выражений для вычислений в системе MATLAB осуществляется в самом обычном текстовом формате. В этом же формате выдаются результаты вычислений, за исключением графических. Приведем примеры записи вычислений, выполненных системой MATLAB в командной строке:
Работа с редактором массивов
To get started, select "MATLAB Help" from the Help menu.
>> 2+3
ans =
5
>> sin(1)
ans =
0.8415
>> type sin
sin is a built-in function.
>> help sin
SIN Sine.
SIN(X) is the sine of the elements of X.
Overloaded methods
help sym/sin.m
>> V=[1 2 3 4]
V =
1 2 3 4
>> sin(V)
ans =
0.8415 0.9093 0.1411 -0.7568
>> 3*V
ans =
3 6 9 12
>> V^2
??? Error using ==> ^
Matrix must be square.
>> V.^2
ans =
1 4 9 16
>> V+2
ans =
3 4 5 6
>>
Можно обратить внимание на форму ответов при выполнении простых операций без указания переменной, которой присваивается результат. В таких случаях MATLAB сам назначает переменную ans, которой присваивается результат и значение которой затем выводится на экран.
Форма вывода и перенос строки в сессии
Следует отметить особенности вывода в системе MATLAB. Вывод начинается с новой строки, причем числовые данные выводятся с отступом, а текстовые – без него. Для экономии места в данной книге в дальнейшем вывод будет даваться без перевода на новую строку. Например, вывод вектора-строки
ans =
3 4 5 6
будет дан в виде:
ans = 3 4 5 6
Исключением является вывод векторов столбцов и матриц – тут будет сохранена более наглядная и присущая MATLAB по умолчанию форма вывода.
В некоторых случаях вводимое математическое выражение может оказаться настолько длинным, что для него не хватит одной строки. Тогда часть выражения можно перенести на новую строку с помощью знака многоточия «...» (3 или более точек), например:
s = 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 + 1/7 ...
1/8 + 1/9 – 1/10 + 1/11 – 1/12;
Максимальное число символов в одной строке командного режима – 4096, а в m-файле – не ограничено, но со столь длинными строками работать неудобно. В ранних версиях в одной строке было не более 256 символов.
Запуск примеров применения MATLAB из командной строки
MATLAB имеет множество примеров применения, часть из которых можно запускать прямо из командной строки. Например, команда
>> bench
запускает m-файл bench.m демонстрационного примера тестирования системы.
Основные объекты MATLAB
Понятие о математическом выражении
Центральным понятием всех математических систем является математическое выражение. Оно задает то, что должно быть вычислено в численном (реже символьном) виде. Вот примеры простых математических выражений, записанных в MATLAB и в математике.
В MATLAB: В математике:
2+3; 2+3
2^3* sqrt(y)/2; 2+3*003********/2
2.301*sin(x) 2,301sin(x)
4+exp(3)/5 4+e3/5
Разница в записи вполне очевидна. В MATLAB выражения записываются
в виде одной строки и вместо разделительной запятой в числах применяется разделительная точка. Математические выражения строятся на основе чисел, констант, переменных, операторов, функций и разных спецзнаков. Ниже даются краткие пояснения сути этих понятий. Специфика MATLAB в том, что математические выражения задаются в виде одной строки. Например, 23 записывается как 2^3. Знак ; (точка с запятой) в конце строки ввода блокирует вывод результата вычислений, например:
>> 2^3;
Однако специальная переменная ans (от answer – ответ) позволяет вывести результат вычислений:
>> ans
ans = 8
Действительные и комплексные числа
Число – простейший объект языка MATLAB, представляющий количественные данные. Числа можно считать константами. Числа используются в общепринятом представлении о них. Они могут быть целыми, дробными, с фиксированной и плавающей точкой. Возможно представление чисел в хорошо известном научном формате с указанием мантиссы и порядка числа. Ниже приводятся примеры представления действительных чисел:
0
-3
2.301
123.456e-24
-234.456e10
Как нетрудно заметить, в мантиссе чисел целая часть отделяется от дробной не запятой, а точкой, как принято в большинстве языков программирования. Для отделения порядка числа от мантиссы используется символ e. Знак «плюс» у чисел не проставляется, а знак «минус» у числа называют унарным минусом. Пробелы между символами в числах не допускаются.
Числа могут быть комплексными: z=Re(x)+Im(x)*i. Такие числа содержат действительную Re(z) и мнимую Im(z) части. Мнимая часть имеет множитель i или j, означающий корень квадратный из –1:
3i
2j
2+3i
-3.141i
-123.456+2.7e-3i
Функция real(z) возвращает действительную часть комплексного числа,
Re(z), а функция imag(z) – мнимую, Im(z). Для получения модуля комплексного числа используется функция abs(z), а для вычисления фазы – angle(Z). Ниже даны простейшие примеры работы с комплексными числами:
>> i
ans = 0 + 1.0000i
>> j
ans = 0 + 1.0000i
>> z=2+3i
z = 2.0000 + 3.0000i
>> abs(z)
ans = 3.6056
>> real(z)
ans = 2
>> imag(z)
ans = 3
>> angle(z)
ans = 0.9828
Операции над числами по умолчанию выполняются в формате, который принято считать форматом с двойной точностью (правильнее сказать с двойной разрядностью).
Форматы чисел
Для установки определенного формата представления чисел используется команда
>> format name
где name – имя формата. Для иллюстрации различных форматов рассмотрим вектор, содержащий два элемента-числа: x=[4/3 1.2345e-6]
В различных форматах их представления будут иметь следующий вид:
format short 1.3333 0.0000
format short e 1.3333E+000 1.2345E-006
format long 1.333333333333338 0.000001234500000
format long e 1.333333333333338E+000 1.234500000000000E-006
format bank 1.33 0.00
Задание формата сказывается только на форме вывода чисел. Вычисления все равно происходят в формате двойной точности, а ввод чисел возможен в любом удобном для пользователя виде.
Константы и системные переменные
Константа – это предварительно определенное числовое или символьное значение, представленное уникальным именем (идентификатором). Числа (например, 1, –2 и 1.23) являются безымянными числовыми константами.
Другие виды констант в MATLAB принято называть системными переменными, поскольку, с одной стороны, они задаются системой при ее загрузке, а с другой – могут переопределяться. Основные системные переменные, применяемые в системе MATLAB, указаны ниже:
• i или j –мнимая единица (корень квадратный из –1);
• pi – число p = 3,1415926…;
• eps – погрешность операций над числами с плавающей точкой (2–52);
• realmin – наименьшее число с плавающей точкой (2–1022);
• realmax – наибольшее число с плавающей точкой (21023)
• inf – значение машинной бесконечности;
• ans – переменная, хранящая результат последней операции и обычно вызывающая его отображение на экране дисплея;
• NaN – указание на нечисловой характер данных (Not-a-Number).
Вот примеры применения системных переменных:
>> 2*pi
ans = 6.2832
>> eps
ans = 2.2204e-016
>> realmin
ans = 2.2251e-308
>> realmax
ans = 1.7977e+308
>> 1/0
Warning: Divide by zero.
ans = Inf
>> 0/0
Warning: Divide by zero.
ans = NaN
Как отмечалось, системные переменные могут переопределяться. Можно задать системной переменной eps иное значение, например eps=0.0001. Однако важно то, что их значения по умолчанию задаются сразу после загрузки системы.Поэтому неопределенными, в отличие от обычных переменных, системные переменные не могут быть никогда.
Символьная константа – это цепочка символов, заключенных в апострофы, например:
'Hello my friend!'
'Привет'
'2+3'
Если в апострофы помещено математическое выражение, то оно не вычисляется и рассматривается просто как цепочка символов. Так что '2+3' не будет возвращать число 5. Однако с помощью специальных функций преобразования символьные выражения могут быть преобразованы в вычисляемые.
Текстовые комментарии в программах
Поскольку MATLAB используется для достаточно сложных вычислений, важное значение имеет наглядность их описания. Она достигается, в частности, с помощью текстовых комментариев. Текстовые комментарии в программах вводятся с помощью символа %, например так:
% It is factorial function
В новых версиях MATLAB отпала проблема ввода комментариев с символами кириллицы. Так что подобный комментарий также вполне приемлем:
% Это функция вычисления факториала
Обычно первые строки m-файлов служат для описания их назначения, которое выводится на экран дисплея после команды
>> help Имя_файла
Считается правилом хорошего тона вводить в m-файлы достаточно подробные текстовые комментарии. Без таких комментариев даже разработчик программных модулей быстро забывает о сути собственных решений.
Переменные и присваивание им значений
Переменные – это имеющие имена объекты, способные хранить некоторые, обычно разные по значению, данные. В зависимости от этих данных переменные могут быть числовыми или символьными, векторными или матричными. Переменные являются широко распространенными объектами в математике и программировании. На языке программирования MATLAB можно задавать переменным определенные значения. Для этого используется операция присваивания, вводимая знаком равенства:
Имя_переменной = Выражение
Типы переменных заранее не декларируются. Они определяются выражением, значение которого присваивается переменной. Так, если это выражение – вектор или матрица, то переменная будет векторной или матричной. Переменная, имеющая единственное значение, рассматривается как матрица размера 1×1.
Имя переменной (ее идентификатор) может содержать сколько угодно символов, но запоминается и идентифицируется только 31 начальный символ. Имя любой переменной не должно совпадать с именами других переменных, функций и процедур системы, то есть оно должно быть уникальным. Имя должно начинаться с буквы, может содержать буквы, цифры и символ подчеркивания _. Недопустимо включать в имена переменных пробелы и специальные знаки, например +, -, *, / и т. д., поскольку в этом случае правильная интерпретация выражений становится невозможной.
Желательно использовать содержательные имена для обозначений переменных, например speed_1 для переменной, обозначающей скорость первого объекта. Переменные могут быть обычными и индексированными, то есть элементами векторов или матриц (см. выше). Могут использоваться и символьные переменные, причем символьные значения заключаются в апострофы, например s='Demo'. Имена переменных рекомендуется задавать только латинскими буквами, цифрами и различными символами (не допускается применение символов операторов).
Уничтожение определений переменных
