Реферат: Синтез комбинацонных схем и конечных автоматов, сети Петри

6    Устойчивость. Сеть Петри называется устойчивой, если для любых двух разрешённых переходов срабатывание одного из них не приводит к запрещению срабатывания другого.

Существуют два основных метода анализа сетей Петри: матричные и основанные на построении дерева покрываемости.

Первая группа методов основана на матричном представлении маркировок и последовательностей запуска переходов. Для этого определим две матрицы размерности количество позиций  количество переходов, связанные со структурой сети. Первая матрица называется матрицей входов:

                                      D – [i, j] = # (pi , I(tj)),                                    (3.2.16)

каждый её элемент равен числу фишек, уходящих из  j- й позиции при запуске  i- го перехода. Вторая матрица называется матрицей выходов:

                                     D + [i, j] = # (pi , O(tj)),                                   (3.2.17)

каждый её элемент равен числу фишек, приходящих в  j- ю позицию при запуске  i- го перехода. Определим единичный вектор  e[j]  размерности  m, содержащий нули во всех позициях кроме той, которая соответствует запускаемому в данный момент переходу. Очевидно, что переход разрешён, если  μ ≥ e[j]·D –. Тогда результат запуска  j- го перехода можно описать так:

                                                   μ’ = μ + e[j]·D,                                           (3.2.18)

где  D = (D + – D –)  –  матрица изменений. Тогда все сформулированные ранее проблемы сети Петри легко интерпретируются матричными уравнениями вида

                                                   μ = μ0 + σ·D,                                               (3.2.19)

где μ – исследуемая маркировка,  σ – вектор, компоненты которого показывают, сколько раз срабатывает каждый переход.

Хотя данный метод достаточно прост, он не лишён некоторых недостатков. А именно, его применение даёт лишь необходимые условия существования какого- либо свойства, иными словами, может гарантировать лишь его отсутствие, а о присутствии мы сможем говорить с уверенностью, только проанализировав дерево покрываемости (смены) маркировок.

Дерево маркировок сети – это связанный граф, в вершинах которого находятся маркировки, которых мы достигли в результате последовательного запуска разрешённых переходов, а на дугах, соединяющих вершины – зпускаемые переходы. Путь от корня к каждой маркировке отражает последовательность запусков, приведшую к ней. Корнем дерева является начальная маркировка. При неограниченном накапливании фишек в позиции на дереве образуется петля, а в маркировке на месте, соответствующем зациклившейся позиции, ставится  ω – символ бесконечно большого числа.

Ясно, что этот метод хотя и требует утомительного перебора всех возможных маркировок сети, но зато по уже готовому дереву достаточно легко анализировать проблемы достижимости, покрываемости, активности, обратимости сети.

Описав поведенческие свойства и методы анализа, можно перейти непосредственно к анализу конкретной сети Петри.

3.3 Расчёты и полученные результаты

Исходная сеть в виде графа:

                     p1                                                                 p6

                ▪                                                                              ▪

                                                                                               

          t1                                         ▪    p4                            t4

                                                      

                                                     

         p2                                                                            p7

          t2                                         ▪    p5                           t5

                                                     

         p3                                                                            p8

              

              

         t3                                                                             t6

Рисунок 3.3.1 – Исходная сеть Петри

Для матричного анализа сети найдём её матрицу изменений.

                                                               (3.3.1)

                                                             (3.3.2)

Матрицу изменений найдём как разность между (3.3.2) и (3.3.1):

                                              (3.3.3)

Таким образом, получив матрицу изменений, можно записать матричное уравнение смены маркировок вида (3.2.19). Вектор начальной маркировки определим так:

                                         μ0 = (10011100)                                           (3.3.4)

Составим дерево покрываемости маркировок сети.

                                              (10011100) ‘Новая’

                                       t1                              t4    

              ‘Новая’                                                          ‘Новая’

                        (01001100)                          (10010010)           

                      

             t2                            t4                         t1                       t5

                                                  

(00100100)               (01000010)            (01000010)         (10000001)

               ‘Новая’               ‘Тупик’            ‘Тупик’                              ‘Новая’

       t3                                                                                        t6

(10011100) ‘Старая’                                                    (10011100) ‘Старая’ 

Рисунок 3.3.1 – Дерево покрываемости маркировок

Дерево покрываемости удобно оформить в виде графа. При этом более наглядно видны зацикливающиеся переходы,  тупиковые маркировки никакими дополнительными пояснениями снабжать не требуется – отсутствие дуг, исходящих из данной маркировки, говорит само за себя. При достижении старой маркировки её не нужно заново наносить на граф – достаточно соединить дугой предыдущую маркировку и уже существующую “старую”.

Граф покрываемости сети выглядит следующим образом:

                                                  μ0

                 t3                                                                            t6

                                              10011100

     00100100         t1                                              t4          10000001

            t2                                                                                  t5

                      01001100                              10010010

                              

                               t4                                          t1

                                              01000010

Рисунок 3.3.2 – Граф покрываемости маркировок сети Петри

Проанализируем сеть двумя методами – матричным и графическим и сравним полученные результаты.

Вопрос достижимости какой- либо маркировки легче всего решается, глядя на граф покрываемости. Действительно, возьмём для примера две маркировки:  μ1 = (01000010)  и  μ2 = (00100010). Первая из них достижима, и возможны два пути прихода к ней:  t1 , t4  или  t4 , t1 . Однако они не единственны, перед вторым запуском перехода возможно бесконечное число раз запустить для первого случая последовательность  t2 , t3 , для второго случая –  t5 , t6 . Вторая маркировка явно недостижима, так как её нет на графе.

С помощью матриц этот вопрос решается следующим образом. Составляем уравнение вида (3.2.19), в котором вместо  σ  ставим неизвестный вектор  x  той же размерности, а вместо  μ  – интересующую нас маркировку  μ1. В итоге получаем систему из 8 уравнений относительно 6 неизвестных компонент вектора x.

                                                                         (3.3.5)

Проанализировав данную систему, видим, что пятое уравнение является следствием из третьего и шестого, шестое – из седьмого и восьмого, первое – из второго и третьего. Из  (1)  и  (4)  следует, что  x5 = 0,  x6 = 0,  из (7) следует, что  x4 = 1. Первые три уравнения в  (3.3.5) являются линейно зависимыми, поэтому за свободное неизвестное примем  x1. Тогда получаем решение в виде  x1 = {y y-1 y-1 1 0 0}, где  y – любое целое число. Полученное решение говорит о достижимости маркировки  μ1  и указывает, какие из переходов и сколько раз должны быть для этого запущены.

Сравнив оба способа решения, сразу можно увидеть недостатки второго. Во- первых, решение  (3.3.5)  не указывает, в какой именно последовательности должны быть запущены указанные переходы.               Во- вторых, глядя на матрицу изменений, мы не можем судить о наличии в сети петель. Кроме того, полученное матричное решение не даёт, вообще говоря, гарантий своей реализуемости – оно является лишь необходимым условием достижимости. Однако, не получив решения, можно говорить о недостижимости маркировки.

Действительно, записав  (3.2.19)  для  μ2, получаем систему:

                                                                         (3.3.6)

Система является несовместной, так как после вычитания третьего уравнения из шестого получаем уравнение, противоречащее пятому. Поэтому можно сделать вывод о недостижимости  μ2, совпадающий с полученным из графа покрываемости маркировок.

Исходя из графа  (3.3.2), можно заключить, что сеть является безопасной. Действительно, ни в одной из позиций на маркировках не накапливается больше одной фишки. Это говорит о том, что реальный процесс, описываемый сетью, протекает без конфликтов. Однако о полном отсутствии конфликтов говорить пока рано. Данный вывод невозможно получить из матричного уравнения, так как он является обобщением, сделанным на основе знания всех возможных маркировок, получающихся в сети.

Данная сеть является активной – в ней каждый переход может сработать хотя бы один раз. Проанализируем уровни активности отдельных переходов. Переходы  t1  и  t4  являются  L1- активными, так как они в худшем случае (то есть при получения тупиковой маркировки) могут сработать хотя бы один раз. Переходы  t2, t3, t5 и t6  являются  L2- активными, так как они могут сработать любое наперёд заданное число раз и даже больше.

Отсюда можно сделать вывод о том, что данная сеть не является бесконфликтной – у неё есть тупиковое состояние.

Можно также сказать, что сеть является обратимой. Этот вывод можно получить и матричным путём – решив уравнение

                                          x·D = 0                                                        (3.3.7)

Получаем систему

                                                                         (3.3.8)

Данная система имеет 2 решения:  {y y y 0 0 0}  и  {0 0 0 y y y},  где  y – любое. Действительно, запуская любое число раз последовательности  t1 t2 t3  или  t4 t5 t6 , каждый раз мы возвращаемся к исходной маркировке.

Из графа  (3.3.2)  также следует, что ни одна из маркировок сети не является покрываемой. Действительно, ни для одной маркировки не существует другой такой, для которой в каждой позиции было бы не меньше фишек, чем в исходной.

Можно сказать, что данная сеть не является устойчивой. У неё есть тупик, и, кроме того, непосредственно перед  переходом в тупиковое состояние всегда существуют два разрешённых перехода. Запуская ‘неправильный’ переход, мы запрещаем оба – и оказываемся в тупике. Такое свойство сети говорит о наличии потенциально возможных конфликтов.

Па основании графа  (3.3.2)  можно выписать множество достижимых из  μ0  маркировок: 

                        

                                                                            (3.3.9)

Для моделирования сети была написана программа на языке Turbo Pascal. Она отображает состояние сети и разрешённые в каждый момент переходы. Для выбора запускаемого перехода используется мышь.

3.4 Выводы по разделу

В данном разделе быа проанализирована и смоделирована сеть Петри, которая служит моделью функционирования двух производственных процессов, связанных двумя общими ресурсами. В результате можно сделать вывод о принципиальном наличии в системе тупиковой ситуации, которая возникает при попытке одновременного запуска обоих процессов на выполнение. Чтобы не возникало тупика, необходимо каждый из процессов доводить до завершения, и не запускать другой процесс, пока не окончены все три цикла первого. Всё вышесказанное полностью подтверждается написанной программой, моделирующей все описанные ситуации, возникающие в сети.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе были рассмотрены вопросы упрощения и синтеза дискретных двоичных устройств с ‘памятью’ и без неё, а также проанализирована сеть Петри, моделирующая конкретный производственный процесс и сделаны соответствующие выводы относительно самого процесса.

ЛИТЕРАТУРА

1    Сигорский В.П. Математический аппарат инженера.– Киев:Техника, 1975. –538 с.

2    Г.Корн, Т.Корн  Справочник по математике для научных работников и инженеров.– М.: Наука, 1984. –831 с.

3    В.Брауэр Введение в теорию конечных автоматов.– М.: Радио и связь, 1987. –392 с.

4    Фаронов В.В. Турбо Паскаль 7.0: практика программирования. – М.: Нолидж, 1997. –432 с.

Приложение А

Программа моделирования сети Петри

Program Farewell_Pascal_Please_Forgive_Me;

Uses graph,crt;

Const m_0=$9C;

      r_0=$90;

     path='cursor.dat';

 mask:array[0..5] of byte = ($90,$48,$20,$0C,$12,$01);

 jump:array[0..5] of word = ($406F,$20B7,$98DF,$02F3,$01ED,$1CFE);

Var

  i,j,counter,number:integer;

  flag_of_exit:boolean;

  ok:word;

  bm:integer;

  ScrMask:array[1..64] of byte;

  r,m,old_m,old_r:byte;

  f:file of byte;

  procedure Init_Graph_Mode;

  var

    Driver,

    Mode,

    ErrCode: Integer;

  begin

   Driver := Detect;

   InitGraph(Driver, Mode, '');

   ErrCode := GraphResult;

   if ErrCode <> grOk then

   begin

     Writeln('Ошибка графического режима:',

                                     GraphErrorMSG(ErrCode));

     Halt(1);

  end;

  SetTextStyle(DefaultFont, HorizDir, 1);

  SetColor(15);

  SetLineStyle(0,0,1);

  SetFillStyle(1,0)

  end;

  function Init_Mouse:word;

  begin

    asm

      push ax

      mov ax,00h

      int 33h

      mov @Result,ax

      pop ax

    end

  end;

  procedure Show_Mouse;

  begin

    asm

      push ax

      mov ax,01h

      int 33h

      pop ax

    end

  end;

  procedure Hide_Mouse;

  begin

    asm

      push ax

      mov ax,02h

      int 33h

      pop ax

    end

  end;

  procedure Set_Graph_Cursor(segm,ofst:word;x,y:integer);

  begin

    asm

      push ax

      push bx

      push cx

      push dx

      mov bx,x

      mov cx,y

      mov es,segm

      mov dx,ofst

      mov ax,09h

      int 33h

      pop dx

      pop cx

      pop bx

      pop ax

    end

  end;

  procedure Get_Mouse_State(var bt,x,y:integer);

  begin

    asm

      push ax

      push bx

      push cx

      push dx

      mov ax,03h

      int 33h

      lds di,bt

      mov [di],bx

      lds di,x

      mov [di],cx

      lds di,y

      mov [di],dx

      pop dx

      pop cx

      pop bx

      pop ax

    end

  end;

  procedure Get_Web_State;

  begin

    r := 0;

    for counter:= 0 to 5 do

      if (mask[counter] and m) = mask[counter] then

        r := r or ($80 shr counter)

  end;

  procedure Design_Kernel;

  begin

    OutTextXY(190,20,'Распределение ресурсов для');

    OutTextXY(207,27,'случая двух процессов');

    for counter := 0 to 2 do

      Circle(150,counter*150+50,15);

    for counter := 0 to 2 do

      Circle(450,counter*150+50,15);

    for counter := 0 to 1 do

      Circle(300,counter*150+120,15);

    for counter := 0 to 2 do

      begin

        Line(140,counter*150+123,160,counter*150+123);

        Line(140,counter*150+127,160,counter*150+127);

        Line(140,counter*150+123,140,counter*150+127);

        Line(160,counter*150+123,160,counter*150+127)

      end;

    for counter := 0 to 2 do

      begin

        Line(440,counter*150+123,460,counter*150+123);

        Line(440,counter*150+127,460,counter*150+127);

        Line(440,counter*150+123,440,counter*150+127);

        Line(460,counter*150+123,460,counter*150+127)

      end;

    for counter := 0 to 1 do

      begin

        Line(counter*300+150,65,counter*300+150,123);

        Line(counter*300+150,127,counter*300+150,185);

        Line(counter*300+150,215,counter*300+150,273);

        Line(counter*300+150,277,counter*300+150,335);

        Line(counter*300+150,365,counter*300+150,423);

        Line(counter*300+150,123,counter*300+148,114);

        Line(counter*300+150,123,counter*300+152,114);

        Line(counter*300+150,185,counter*300+148,176);

        Line(counter*300+150,185,counter*300+152,176);

        Line(counter*300+150,273,counter*300+148,264);

        Line(counter*300+150,273,counter*300+152,264);

        Line(counter*300+150,335,counter*300+148,326);

        Line(counter*300+150,335,counter*300+152,326);

        Line(counter*300+150,423,counter*300+148,414);

        Line(counter*300+150,423,counter*300+152,414)

      end;

    Arc(120,427,180,360,25);Arc(480,427,180,360,25);

    Arc(122,35,0,180,27);Arc(478,35,0,180,27);

    Line(95,35,95,425);Line(505,35,505,425);

    Line(293,134,163,431);Arc(159,427,180,330,5);

    Line(290,281,170,436);Arc(162,427,180,320,12);

    Line(307,134,436,431);Arc(440,427,210,360,5);

    Line(310,281,429,436);Arc(438,427,220,360,12);

    Line(283,117,169,106);Arc(171,121,80,180,15);

    Line(312,129,439,262);Arc(429,273,0,45,15);

    Line(283,267,169,256);Arc(171,271,80,180,15);

    Line(311,257,426,110);Arc(432,121,0,160,12);

    Line(150,35,145,26);Line(150,35,150,26);

    Line(450,35,455,26);Line(450,35,450,26);

    Line(155,123,156,114);Line(155,123,159,115);

    Line(155,273,156,264);Line(155,273,159,265);

    Line(445,123,444,114);Line(445,123,440,115);

    Line(445,123,444,114);Line(445,123,441,116);

    Line(445,273,444,264);Line(445,273,440,265);

    Line(293,135,287,142);Line(293,135,291,143);

    Line(307,135,309,143);Line(307,135,312,142);

    Line(290,282,282,288);Line(290,282,285,290);

    Line(311,282,315,290);Line(311,282,317,288);

    SetFillStyle(1,8);

    for counter := 0 to 1 do

      begin

        Line(540,counter*70+150,600,counter*70+150);

        Line(540,counter*70+170,600,counter*70+170);

        Line(600,counter*70+150,600,counter*70+170);

        Line(540,counter*70+150,540,counter*70+170);

        FloodFill(570,counter*70+160,15)

      end;

    SetFillStyle(1,15);

    OutTextXY(543,159,'Restore');

    OutTextXY(555,229,'Exit');

  end;

  procedure Design_Mark_and_Jumps;

  begin

      SetColor(15);

      SetLineStyle(0,0,3);

      SetFillStyle(1,15);

      Hide_Mouse;

      for counter := 0 to 2 do

        if ((m shr (7 - counter)) and 1) = 1 then

          begin

            SetColor(15);

            SetFillStyle(1,15);

            FillEllipse(150,counter*150+50,1,1)

          end

          else

          begin

            SetColor(0);

            SetFillStyle(1,0);

            FillEllipse(150,counter*150+50,1,1)

          end;

      for counter := 3 to 4 do

        if ((m shr (7 - counter)) and 1) = 1 then

          begin

            SetColor(15);

            SetFillStyle(1,15);

            FillEllipse(300,(counter-3)*150+120,1,1)

          end

          else

          begin

            SetColor(0);

            SetFillStyle(1,0);

            FillEllipse(300,(counter-3)*150+120,1,1)

          end;

      for counter := 5 to 7 do

        if ((m shr (7 - counter)) and 1) = 1 then

          begin

            SetColor(15);

            SetFillStyle(1,15);

            FillEllipse(450,(counter-5)*150+50,1,1)

          end

          else

          begin

            SetColor(0);

            SetFillStyle(1,0);

            FillEllipse(450,(counter-5)*150+50,1,1)

          end;

      for counter := 0 to 2 do

        if ((r shr (7 - counter)) and 1) = 1 then

          begin

            SetFillStyle(1,10);

            FloodFill(150,counter*150+125,15)

          end

          else

          begin

            SetFillStyle(1,12);

            FloodFill(150,counter*150+125,15)

          end;

      for counter := 3 to 5 do

        if ((r shr (7 - counter)) and 1) = 1 then

          begin

            SetFillStyle(1,10);

            FloodFill(450,(counter-3)*150+125,15)

          end

          else

          begin

            SetFillStyle(1,12);

            FloodFill(450,(counter-3)*150+125,15)

          end;

      SetColor(15);

      SetFillStyle(1,15);

      Show_Mouse

  end;

  Begin

    Init_Graph_Mode;

    ok := Init_Mouse;

    flag_of_exit := false;

    m := m_0;

    r := r_0;

    old_m := 0;

    old_r := 0;

    if ok = $FFFF then

      begin

{$I-}   assign(f,path);

        reset(f);

        ok := filesize(f);

{$I+}   if (IOResult = 0) and (ok = 64) then

          begin

            for i := 0 to 63 do

              read(f,ScrMask[i]);

            Set_Graph_Cursor(seg(ScrMask),ofs(ScrMask),2,2)

          end;

        Design_Kernel;

        Show_Mouse;

        repeat

          Get_Mouse_State(bm,i,j);

          if (m <> old_m) or (r <> old_r) then

            begin

              Get_Web_State;

              Design_Mark_and_Jumps;

              old_m := m;

              old_r := r

            end;

          if bm = 1 then

          begin

            number := 6;

            for counter := 0 to 2 do

              if (i < 165) and (i > 135) and

                 (j < counter*150+130) and (j > counter*150+120)

              then

                number := counter;

            for counter := 3 to 5 do

              if (i < 465) and (i > 435) and

                 (j < (counter-3)*150+130) and (j > (counter-3)*150+120)

              then

                number := counter;

            if (number < 6) and (((1 shl (7-number)) and r) <> 0) then

              begin

                m := m and (jump[number] and $FF);

                m := m or (jump[number] shr 8)

              end;

            if (i < 600) and (i > 540) and (j < 170) and (j > 150)

              then

                m := m_0;

            if (i < 600) and (i > 540) and (j < 240) and (j > 220)

              then

                flag_of_exit := true

          end;

        until flag_of_exit;

        Hide_Mouse;

        CloseGraph

      end

      else

        begin

          CloseGraph;

          WriteLn('Ошибка мыши: Device or driver not found.')

        end

  End.