Реферат: Расчет затвердевания плоской отливки
Реферат: Расчет затвердевания плоской отливки
Министерство образования Российской Федерации
Сибирский государственный индустриальный университет
Кафедра литейного производства
Расчет затвердевания плоской отливки
в массивной форме
Выполнили: ст. гр. МЛА-97
Злобина С. А.
Карпинский А. В.
Кирина Л. В.
Тимаревский А. В.
Токар А. Н.
Проверил: доцент, к.т.н.
Передернин Л.В.
Новокузнецк 2001
СодержаниеСодержание. 2
Задание. 3
Постановка задачи. 4
1. Графическое представление. 4
2. Математическая формулировка задачи. 5
Метод расчета. 7
Схема апроксимации. 8
Алгоритм расчета. 11
Идентификаторы.. 13
Блок-схема. 14
Программа. 17
Сравнение с инженерными методами расчета. 20
Результаты расчета. 21
ЗаданиеОтливка в виде бесконечной плиты толщиной 2Lo=30 мм
Сплав: Латунь (10% Zn).
Форма: Песчано-глинистая объемная сырая (ПГФ).
Индексы: 1-Метв, 2- Меж, 4-форма.
а1=3,6×10-5 м2/с
а2=2,1×10-5 м2/с
l1=195 Вт/м×К
l2=101 Вт/м×К
r1=8600 кг/м3
r2=8000 кг/м3
L=221000 Дж/кг
b4=1300 Вт×с1/2/(м2×К)
Tф=293 К
Ts=1312,5 К
Tн=1345 К
N=100
et=0,01 c
eТ=0,01 oC
Постановка задачи1.
Графическое представление
Принимаем следующие условия:
Отливка в виде бесконечной плиты толщиной 2Lo затвердевает в объемной массивной песчано-глинистой форме. Принимаем, что теплофизические характеристики формы и металла постоянны и одинаковы по всему объему, системы сосредоточенные, геометрическая ось совпадает тепловой и поэтому можно рассматривать только половину отливки. Lo<<Lф - форма массивная, т.е. форма за все время охлаждения не прогревается до конца, Тпов=Тнач; такая форма называется бесконечной
Вектор плотности теплового потока (удельный тепловой поток) имеет направление перпендикулярное к поверхности раздела отливка-форма в любой момент времени tk;
Нестационарное температурное поле – одномерное, Тj(х, tk), j=1,2,4;
Температура затвердевания принимается постоянной, равной Ts;
Теплофизические характеристики сред, aj=lj/cjrj, j=1,2,4;
Теплоаккумулирующую способность формы примем постоянной, bф==const;
C,l,r - теплофизические характеристики формы;
Переохлаждение не учитываем;
Удельная теплота кристаллизации L(Дж/кг) выделяется только на фронте затвердевания (nf) - условие Стефана;
Не учитывается диффузия химических элементов – квазиравновесное условие;
Перенос тепла за счет теплопроводности и конвекции учитывается введением коэффициента эффективной электропроводности:
для жидкой среды l2=n*l0, где l0 – теплопроводность неподвижного жидкого металла; n=10;
Не учитывается усадка металла при переходе из жидкого состояния в твердое;
Передача тепла в жидком и твердом металле происходит за счет теплопроводности и описывается законом Фурье:
q = - ljgradT, плотность теплового потока,Дж/(м2с);
Отливка и форма имеют плотный контакт в период всего процесса затвердевания (что реально для ПГФ);
теплоотдача на границе отливка – форма подчиняется закону Ньютона(-Рихтмона): q1(tk)=a(T1к - Tф) – для каждого момента времени tк, где a - коэффициент теплоотдачи, для установившегося режима (автомодельного) a=;
Полученная таким образом содержательная модель и ее графическая интерпретация затвердевания плоской отливки в объемной массивной форме, упрощает формулировку математической модели и достаточно хорошо отражает затвердевание на тепловом уровне, т.е. позволяет получить закон T=f(x;t).
2. Математическая формулировка задачи
Математическая модель формулируется в виде краевой задачи, которая включает следующие положения:
а) Математическое выражение уравнения распределения теплоты в изучаемых средах.
Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье, которое имеет смысл связи, между временным изменением температуры и ее пространственным распределением:
Или в соответствии с условием 5 запишем:
; xÌ[0,lo], j= (1)
б) Условия однозначности:
1. Теплофизические характеристики сред
rj, lj, cj, bj, aj, TL, TS
2. Начальные условия
2.1 Считаем, что заливка происходит мгновенно и мгновенно же образуется тончайшая корка твердого металла.
T1н(x, tн)= TS(E) (2)
2.2 Положение фронта затвердевания
t=tнзадан. ,x=0, y(tн)=0 (3)
2.3 Температура металла в отливке
Tj,iн=Tн ; j=2, iÌ(2,n) (4)
2.4 Температура на внешней поверхности формы (контакт форма - атмосфера) и температура формы.
T4н=Tф (5)
3. Граничные условия
3.1 Условия сопряжения на фронте затвердевания (условия Стефана) i=nf
(6)
3.2 Температура на фронте затвердевания
(7)
3.3 Условие теплоотдачи на границе отливка-форма
(8)
- граничное условие третьего рода
3.4 Условие на оси симметрии
(9)
Задача, сформулированная в выражениях (1-9) есть краевая задача, которая решается численным методом.
Аппроксимировав на сетке методом конечных разностей (МКР), получим дискретное сеточное решение.
Ti=f(xi;tk).
Метод расчетаБудем использовать МКР – метод конечных разностей.
Сформулированную краевую задачу дискретизируем на сетке.
= - шаг по пространству постоянный; - шаг по времени переменный
Для аппроксимации задачи на выбранной сетке можно использовать разные методы – шаблоны. Наиболее известные из них для данного типа задач четырех точечный конечно разностный шаблон явный и неявный.
Явный четырех точечный шаблон Неявный четырех точечный шаблон
Использование явного шаблона для каждого временного шага получаем n+1 уравнение с n неизвестными и система решается методом Гауса, но сходимость решения только при очень малых шагах.
Использование неявного шаблона обеспечивает абсолютную сходимость, но каждое из уравнений имеет 3 неизвестных, обычным методом их решить невозможно.
По явному:
(10)
По неявному:
(11)
Сходимость обеспечивается при:
при явном шаблоне (12)
-точность аппроксимации
(13)
Схема апроксимацииАппроксимируем задачу 1-9 на четырех точечном неявном шаблоне
Начальные условия:
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
Граничные условия:
(19)
(20)
(21 a)
=> (21)
Условие идеального контакта на границе отливка форма
(22)
Расчет временного шага :
Величина -var рассчитывается из условия, что за промежуток времени фронт перейдет из точки nf в точку nf+1
Расчет ведут итерационными (пошаговыми) методами
Строим процедуру расчета следующим образом:
Вычисляем нулевое приближенное для каждого шага,
За шаг итерации примем S,
Нулевое приближение S=0.
(23)
Уточняем шаг: S+1
(24)
d – параметр итерации от 0 до 1
для расчета возьмем d=0.
Число S итераций определяется заданной точностью:
Временного шага (25)
И по температуре (26)
et и eT – заданные точности по времени и температуре
et=0,01c, eT=0,1°C
DtI=0,01c – время за которое образовалась корочка.
Описанный итерационный процесс называют ''Ловлей фазового фронта в узел''.
Можно задать Dх, DtK=const, тогда неизвестно будет положение фронта, при помощи линейной интерполяции.
Расчет температурных полей:
Метод «прогонки»:
Считается наиболее эффективным для неявно заданных конечно-разностных задач.
Суть метода:
Запишем в общем виде неявно заданное конечноразностное уравнение второго порядка (14) в общем виде:
AiTi-1 – BiTi + CiTi+1 + Di = 0 ; i = 2, 3, 4, …n-1 (27)
действительно для всех j и k.
и краевые условия для него:
T1 = p2T2 + q2 (28 а)
Tn = pnTm-1 + qn (28 б)
Ti = f(Ai; Xi; tk) - сеточное решение.
Ai, Bi, Ci, Di – известные коэффициенты, определенные их условий однозначности и дискретизации задачи.
Решение уравнения (27) – ищем в том же виде, в котором задано краевое условие (28 а)
Ti = аi+1Ti+1 + bi+1 ; i = 2, 3, 4, …n-1 (29)
Ai+1, bi+1 – пока не определенные «прогоночные» коэффициенты (или коэффициенты разностной факторизации)
Запишем уравнение (29) с шагом назад:
Ti-1 = аiTi + bi (30)
Подставим уравнение (30) в уравнение (27):
Ai(aiTi + bi) – BiTi + CiTi+1 + Di = 0
Решение нужно получить в виде (29):
(31)
Найдем метод расчета прогоночных коэффициентов.
Сравним уравнение (29) и (31):
(32)
(33)
(32),(33)– рекуррентные прогоночные отношения позволяющие вычислить прогоночные коэффициенты точке (i+1) если известны их значения в точке i.
Процедура определения коэффициентов аi+1 и bi+1 называется прямой прогонкой или прогонкой вперед.
Зная коэффициенты конечных точек и температуру в конечной точке Тi+1 можно вычислить все Тi.
Процедура расчета температур называется обратной прогонкой. То есть, чтобы вычислить все Т поля для любого tk нужно вычислить процедуры прямой и обратной прогонки.
Чтобы определить начальные а2и b2, сравним уравнение (29) и уравнение (28 а):
a2 = p2; b2 = q2
Запишем уравнение 29 с шагом назад:
Tn = pnTn-1 + qn
Tn-1 = qnTn + bn
(34)
Новая задача определить pn , qn
Вывод расчетных формул:
Преобразуем конечноразностное уравнение (14) в виде (27)
, j=1,2 (35)
Страницы: 1, 2