Реферат: Построение экономической модели c использованием симплекс-метода
В модели , построенной для нашей задачи , фигурирует ограничение со знаком <= . Это требование можно рассматривать как ограничение на соответствующий « ресурс » , так как увеличение спроса на продукцию эквивалентно расширению « представительства » фирмы на рынке сбыта .
Из
вышеизложенного следует , что статус ресурсов ( дефицитный
или недефицитный ) для любой модели ЛП можно установить не-
посредственно из результирующей симплекс-таблицы , обращая вни-
мание на значения остаточных переменных . Применительно к нашей задаче можно
привести следующую сводку результатов
:
| Ресурсы | Остаточная переменная | Статус ресурса |
| Ограничение по бюджету |
S1 |
Дефицитный |
| Превышение времени рекламы радио над теле |
S2 |
Дефицитный |
Положительное
значение остаточной переменной указывает на
неполное использование соответствующего ресурса , т . е . данный
ресурс является недефицятным. Если же остаточная переменная рав-
на нулю , это свидетельствует о полном потреблении соответствующе-
го ресурса. Из таблицы видно , что наши ресурсы являются дефицитными . В случае
недефицитности любое увиличение ресурсов сверх установленного максимального
значения привело бы лишь к тому , что они стали бы еще более недефнинтными .
Оптимальное решение задачи при этом осталось бы неизменным.
Ресурсы, увеличение
запасов которых позволяет улучшить ре-
шение ( увеличить прибыль ) , — это остаточные переменные S1 и S2 , по-
скольку из симплекс-таблицы для оптимального решения видно ,
что они дефицитные . В связи с этим логично поставить
следующий
вопрос: какому из дефицитных ресурсов следует отдать предпочте-
ние при вложении дополнительных средств на увеличение их запа-
сов , с тем чтобы получить от них максимальную отдачу ? Ответ на
этот вопрос будет дан в следующем подразделе этой главы , где рас-
сматривается ценность различных ресурсов .
Ценность ресурса
Ценность
ресурса
характеризуется величиной улучшения опти-
мального значения Z , приходящегося на единицу прироста
объема
данного ресурса .
Информация для оптимального решения задачи представлена в симплекс-таблице . Обратим внимание на значения коэффициентов Z - уравнения , стоящих при переменных начального базиса S1 и S2 . Выделим для удобства соответстзующую часть симплекс-таблицы :
| Базисные переменные | Z | X1 | X2 | S1 | S2 | Решение |
| Z | 1 | 0 | 0 |
27/110 |
5/22 |
2455/11 |
Как следует из теории решения задач ЛП , ценность ресурсов всегда можно определить по значениям коэффициентов при переменных начального базиса , фигурирующих в Z - уравнении оптимальной симплекс-таблицы , таким образом Y1 = 27/110 , а Y2 = 5/22 .
Покажем , каким образом аналогичный результат можно получить непосредственно из симплекс-таблицы для оптимального решения . Рассмотрим Z - уравнение симплекс-таблицы для оптимального решения нашей задачи
Z = 2455/11 - ( 27/110S1 + 5/22S2 ) .
Положительное приращение переменной S1
относительно ее текущего
нулевого значения приводит к пропорциональному
уменьшению Z ,
причем коэффициент пропорциональности равен 27/110 . Но , как
следует из первого ограничения модели :
5X1 + 100X2 + S1 = 1000
увеличение S1 эквивалентно снижению количества денег выделеных на рекламу ( далее мы будем использовать в тексте , как первый ресурс ) .
Отсюда следует , что уменьшение количества денег выделеных на рекламу
вызывает пропорциональное уменьшение целевой функции с тем же коэффициентом пропорциональности,равным27/110.Так как
мы оперируем с линейными функциями , полученный вывод можно
обобщить , считая , что и увеличение
количества денег выделеных на рекламу ( эквивалентное
введению избыточной
переменной S1 < 0 ) приводит к пропорциональному увеличению Z с тем же коэффициентом пропорциональности , равным 27/110 . Аналогичные рассуждения справед-
ливы для ограничения 2 .
Несмотря на то что
ценность различных ресурсов , определяемая
значениями переменных Yi , была представлена в стоимостном
выражении , ее нельзя отождествлять с действительными це-
нами , по
которым возможна закупка соответствующих ресурсов .
На самом деле речь идет о некоторой мере , имеющей экономическую
природу н количественно характеризующей ценность
ресурса только относительно полученного оптимального значения целевой функции .
При изменении ограничении модели соответствующие экономические
оценки будут меняться даже тогда , когда оптимизируемый процесс
предполагает применение тех же ресурсов . Поэтому при характерис-
тике ценности ресурсов экономисты предпочитают использовать
такие терминыт , как теневая цена , скрытая цена , или более специ-
фичный термин — двойственная оценка .
Заметим , что
теневая цена ( ценность ресурса ) характеризует ин-
тенсивность улучшения оптимального значения Z . Однако при этом
не фиксируется интервал значений увеличения запасов ресурса ,
при которых интенсивность улучшения целевой функции остается
постоянной . Для большинства практических ситуаций логично пред-
положить наличие верхнего предела увеличения запасов , при пре-
вышении которого соответствующее ограничение становится избы-
точным , что в свою очередь приводит к новому базисному решению
и соответствующим ему новым теневым ценам . Ниже определяется
нитервал значений запасов ресурса , при которых соответствую-
щее ограничение не становится избыточным .
Максимальное изменение запаса ресурса
При решении
вопроса о том , запас какого из ресурсов следует
увеличивать в первую очередь , обычно используются теневые цены
Чтобы определить интервал значений изменения запаса ресурса ,
при которых теневая цена данного ресурса
, ( фигурирующая в заклю-
чительной симплекс-таблице , остается неизменной , необходимо выполнить ряд
дополнительных вычислений . Рассмотрим сначала
соответствующие вычислительные процедуры , а затем покажем , как
требуемая информация может быть получена из симплекс-таблицы
для оптимального решения .
В нашей задаче запас первого ресурса изменился на D1 т. е. запас бюджета составит 1000 + D1 . При положительной величине D1 запас данного ресурса увеличивается , при отрицательной — уменьшается . Как правило , исследуется ситуация , когда объем ресурса увеличивается ( D1 > 0 ) , однако , чтобы получить результат в общем виде , рассмотрим оба случая .
Как
изменится симплекс-таблица при изменении величины за-
паса ресурса на D1 ? Проще всего получить ответ на этот вопрос .
если ввести D1 в правую часть первого ограничения
начальной сим-
плекс-таблицы и затем выполнить все алгебраические преобразова-
ния , соответствующие последовательности итераций . Поскольку
правые части ограничений никогда не используются в качестве
ведущих элементов , то очевидно , что на каждой итерации D1 будет
оказывать влияние только на правые части ограничений .
| Уравнение | Значения элементов правой части на соответствующих итерациях | ||
| ( начало вычислений ) | 1 | 2 ( оптимум ) | |
| Z | 0 | 0 |
2455/11 |
| 1 | 1000 |
1000 + D1 |
1000/55 + D1 |
| 2 | 0 | 0 |
91/11 |
Фактически вce изменения
правых частей ограничений , обуслов-
ленные введением D1 , можно определить непосредственно по данным ,
содержащимся в симплекс-таблицах . Прежде всего заметим , что
на каждой итерации новая правая часть каждого ограничения пред-
ставляет собой сумму двух величин: 1) постоянной и 2) члена , ли-
нейно зависящего от D1 . Постоянные соответствуют числам , которые
фигурируют на соответствующих итерациях в правых частях ограничений симплекс-таблиц до введения D1 . Коэффициенты при D1 во вторых слагаемых равны
коэффициентам при S1 на
той же итерации . Так , например , на последнеи итерации ( оптимальное решение
) постоянные ( 2455/11 ; 1000/55 ; 91/11
) представляют собои
числа , фигурирующие
в правых частях ограничении оптимальной симплекс-таблицы до введения D1.
Коэффициенты ( 27/110
; 1/55 ; 1/110 ) равны коэффициентам при S1 в той же симплекс-таблице потому ,
что эта переменная связана только с первым ограничением . Другими словами , при
анализе влияния изменений в правой части второго ограничения нужно пользоваться
коэффициентами при переменной S2 .
Какие
выводы можно сделать из полученных результатов?
Так как введение D1 сказывается лишь на правой части симплекс-
таблицы , изменение запаса ресурса может
повлиять только на
допустимость решения . Поэтому D1 не может принимать значений ,
при которых какая-либо из ( базисных ) переменных становится отри-
цательной . Из этого следует , что величина D1 должна быть огра-
ничена таким интервалом значений , при
которых выполняется ус-
ловие неотрицательности правых частей ограничений в результи-
рующей симплекс-таблице , т . е .
X1 = 1000/55 + ( 1/55 )D1 => 0 ( 1 )
X2 = 91/11 + ( 1/110 )D1 => 0 ( 2 )
Для
определения допустимого интервала изменения D1 рассмо-
трим два случая .
Случай 1: D1 => 0 Очевидно , что оба неравнества при этом условии всегда будут неотрицательными .
Случай 2: D1 < 0 .
( 1/55 )D1 => - 1000/55 . Из этого следует , что D1 => - 1000
( 2 )
( 1/110 )D1 => - 91/11 . Из этого следует , что D1 => - 1000
Объединяя
результаты , полученные для обоих случаев , можно
сделать вывод , что при - 1000 <= D1 <= + ¥ решение рассматриваемой зада-
чи всегда будет допустимым , любое значение D1 , выходящее за
пределы указанного интервала , приведет к недопустимости решения и
новой совокупности базисных переменных .
Теперь рассмотрим в каких пределах может изменяться запас ресурса 2 анализ проведем по аналогичной схеме :
Запас 2-ого ресурса изменился на D2 т . е . запас рекламного времени составит 0 + D2 . Как изменилась симплекс-таблица при изменении величины запаса ресурса на D2 .
| Уравнение | Значения элементов правой части на соответствующих итерациях | ||
| ( начало вычислений ) | 1 | 2 ( оптимум ) | |
| Z | 0 | 0 |
2455/11 |
| 1 | 1000 | 1000 |
1000/55 |
| 2 | 0 |
0 + D2 |
91/11 + D2 |
Найдем интервал ограничивающий величину D2
X1 = 1000/55 - ( 50/55 )D2 ( 1 )
X2 = 91/11 + ( 1/22 )D2 ( 2 )
Для
определения допустимого интервала изменения D1 рассмо-
трим два случая .
Случай 1: D2 => 0: ( 1 )
( 50/55 )D2 <= 1000/55 из этого неравенства следует , что D2 <= 20
( 2 )
Очевидно , что 2-ое уравнение неотрицательно на данном участке .
Объединяя 2 уравнения для Случая 1 мы получим интервал для D2 .
D2 Î [ 0 ; 20 ]
Случай 2: D2 < 0 . : ( 1 )
( 50/55 )D2 => - 1000/55 . Из этого следует , что D2 <= 20
( 2 )
( 1/22 )D2 => - 91/11 . Из этого следует , что D2 => - 200
Объединяя 2 уравнения для Случая 2 мы получим интервал для D2 .
D2 Î [ - 200 ; 0 ]
Объединяя 2 случая мы получим интервал [ - 200 ; 20 ]
Максимальное изменение коэффициентов удельной
прибыли ( стоимости )
Наряду
с определением допустимых изменений запасов ресур-
сов представляет интерес и установление интервала допустимых
изменений коэффициентов удельной прибыли ( или стоимости ) .
Следует отметить , что уравнение целевой функции
никогда не используется в качестве ведущего уравнения . Поэтому лю-
бые изменения коэффициентов целевой функции окажут влияние
только на Z-уравнение результирующей
симплекс-таблицы . Это
означает , что такие изменения могут сделать
полученное решение
неоптимальным . Наша цель заключается в том , чтобы найти интер-
валы значений изменений коэффициентов целевой функции ( рас-
сматривая каждый из коэффициентов отдельно ) , при которых оп-
тимальные значения
переменных остаются неизменными .
Чтобы показать, как выполняются
соответствующие вычисле-
ния , положим , что удельный объем сбыта ,
ассоциированной с переменной
X1 изменяется от 1 до 1 + d1 где d1 может быть как положительным , так и отрицательным числом . Целевая функция в этом случае принимает следующий вид:
Z = ( 1 + d1 )X1 + 25X2
Если
воспользоваться данными начальной симплекс-таблицы и
выполнить все вычисления , необходимые для ( получения заключн-
тельной симплекс-таблицы , то последнее Z-уравнение будет выгля-
деть следующим образом:
| Базисные переменные | X1 | X2 | S1 | S2 | Решение |
| Z | 0 | 0 |
27/110+1/55d1 |
5/22-50/55d1 |
2455/11+1000/55d1 |
Коэффициенты при базисных переменных X1 , X2 и остаточных я равными нулю . Это уравнение отличается от Z-уравнения до введения d1 , только наличием членов , содержащих d1 . Коэффициенты при d1 равны Коэффициентам при соответствующих переменных в Z-уравнении симплекс-таблицы для полученного ранее оптимального решения
| Базисные переменные | X1 | X2 | S1 | S2 | Решение |
| X1 | 1 | 0 |
1/55 |
-50/55 |
1000/55 |
Мы рассматриваем X1 - уравнение , так как коэффициент именно при
этон переменной в выражении для целевои функции изменился
на d1 .
Оптимальные значения
переменных будут оставаться неизмен-
ными при значениях d1 , удовлетворяющих условию неотрицатель-
ности ( задача на отыскание максимума ) всех коэффициентов при не-
базисных переменных в Z-уравнении
. Таким образом , должны выполняться следующие неравенства :
27/110 + 1/55d1 => 0
5/22 - 50/55d1 => 0
Из первого неравенства
получаем , что d1 => - 13,5 , а из второго следует что d1 <= 1/4
. Эти результаты
определяют пределы изменения коэффициента C1 в виде следующего соотношения : - 13,5 <= d1 <= 1/4 . Та-
ким образом , при уменьшении коэффициента целевой функции при
переменной X1 до значения , равного 1 + ( - 13,5 ) = - 12,5 или при его увеличении до 1 + 13,5 = 14,5 оптимальные значения переменных
остаются
неизменными . Однако оптимальное значение Z будет изменяться ( в
соответствии с выражением 2455/11 + 1000/55d1 , где - 13,5 <= d1 <= 1/4
X2 изменяется от 25 до 25 + d2 где d2 может быть как положительным , так и отрицательным числом . Целевая функция в этом случае принимает следующий вид:
Z = ( 25 + d2 )X2 + X1
Все предыдущее обсуждение касалось исследования изменения коэффициента при переменной , которой поставлено в соответствие ограничение , фигурирующее в симплекс-таблице . Однако такое ограничение имеется лишь в том случае , когда данная переменная является базисной ( например X1 и X2 ) . Если переменная небазисная , то в столбце , содержащем базисные переменные , она не будет представлена .
Любое изменение коэффициента целевой функции при небазисной переменной приводит лишь к тому , что в заключительной симплкс-таблице изменяется только этот коэффициент . Рассмотрим в качестве иллюстрации случай , когда коэффициент при переменной S1 ( первой остаточной переменной ) изменяется от 0 до d3 . Выполнение преобразований , необходимых для получения заключительной симплекс таблицы , приводит к следующему результирующему Z-уравнению :
| Базисные переменные | X1 | X2 | S1 | S2 | Решение |
| Z | 0 | 0 |
27/110+1/55d1 |
5/22 |
2455/11 |
Заключение
В результате проведенного исследования, было получено подтверждение о выгодности использования математико-экономического проектирования и методов системного анализа для анализа и планирования экономических систем.
Список литературы :
В этом месте должна указываться литература использованная в курсовой работе, но прогресс привел к тому, что вся информация черпалась на страницах INTERNET, а следовательно
Список серверов:
www.citforum.ru
www.rambler.ru
www.msu.ru
www.ntcf.ru
www.yandex.ru
