Реферат: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений
. (28)
Рассмотрим вначале задачу (28) не требуя, чтобы . Так как для любого измеримого
, (29)
и достигается на
, (30)
то, как нетрудно убедиться,
, (31)
где звездочка * означает то же самое, что и в равенстве (14): точки xÎX, в которых выполняется равенство могут быть произвольно отнесены к одному из множеств Ai или Aj.
Пусть - разбиение , в котором
(32)
а F: Rn-> Rn оператор, определенный условием
(33)
Тогда решение задачи (28) можно представить в виде
, (34)
где - индикаторная функция множества Ai (31), i=1,...,q и F -оператор, действующий в по формуле (34) (см. сноску 4 на стр. 13).
Нетрудно убедиться, что задача на минимум (29) с условием физичности
(35)
имеет решение
(36)
Соответственно решение задачи (28) с условием физичности имеет вид
, (37)
где - индикаторная функция множества
, (38)
В ряде случаев для построения (34) полезно определить оператор F+: Rn-> Rn, действующий согласно формуле
(39)
где
, так что ,i=1,...q. (40)
Подытожим сказанное.
Теорема 4. Решение задачи (28) наилучшего в приближения изображения изображениями на искомых множествах A1,...,Aq разбиения X заданные цветами j1,..., jq соответственно, дается равенством (34), искомое разбиение A1,...,Aq определено в (31). Требование физичности наилучшего приближения приводит к решению (37) и определяет искомое разбиение формулами (38). Решение (34) инвариантно относительно любого, а (37) - относительно любого, сохраняющего физичность, преобразования, неизменяющего его цвет.
Формой в широком смысле изображения, имеющего заданный набор цветов j1,..., jq на некоторых множествах положительной меры A1,...,Aq разбиение поля зрения можно назвать оператор (34), формой такого изображения является оператор F+ (37). Всякое такое изображение g(×), удовлетворяющее условиям физичности (неотрицательности яркостей), удовлетворяет уравнению F+g(×)=g(×), те из них, у которых m(Ai)>0, i=1,...,q, изоморфны, остальные имеют более простую форму. n
В заключение этого раздела вернемся к понятию формы изображения, заданного с точностью до произвольного, удовлетворяющего условиям физичности, преобразования яркости. Речь идет о форме изображения , заданного распределением цвета , при произвольном (физичном) распределении яркости, например, . Для определения формы рассмотрим задачу наилучшего в приближения изображения такими изображениями
, (41)
Теорема 5. Решение задачи (41) дается равенством
, (42)
в котором , где . Невязка приближения
, (43)
( !) n
Определение. Формой изображения, заданного распределением цвета , назовем выпуклый, замкнутый конус изображений
или - проектор на .
Всякое изображение g(×), распределение цвета которого есть j(×) и только такое изображение содержится в и является неподвижной точкой оператора
: g(×) = g(×). (#)
Поскольку на самом деле детали сцены, передаваемые распределением цвета j(×), не представлены на изображении f(×) = f(×)j(×) в той области поля зрения, в которой яркость f(x)=0, xÎX, будем считать, что - форма любого изображения f(x) = f(x)j(x), f(x)>0, xÎX(modm), все такие изображения изоморфны, а форма всякого изображения g(×), удовлетворяющего уравнению (#), не сложнее, чем форма f(×).
Замечание 5. Пусть j1,..., jN - исходный набор цветов, , A1,...,AN - соответствующее оптимальное разбиение X, найденное в теореие 4 и
, (34*)
- наилучшее приближение f(×). Тогда в равенстве (24)
если A1,...,AN - исходное разбиение X в теореме 3. Наоборот, если A1,...,AN - заданное в теореме 3 разбиение X и f1,...,fN - собственные векторы операторов Ф1,...,ФN (23) соответственно, отвечающие максимальным собственным значениям, то f1,...,fN и будет выполнено равенство (24), если в (34*) определить ji как цвет fi в (24), i=1,...,N.
Проверка этого замечания не представляет затруднений.
В. Случай, когда допускаются небольшие изменения цвета в пределах каждого Ai, i=1,...,N.
Разумеется, условие постоянства цвета на множествах Ai, i=1,...,N, на практике может выполняться лишь с определенной точностью. Последнюю можно повысить как путем перехода к более мелкому разбиению , так и допустив некоторые изменения цвета в пределах каждого Ai, i=1,...,N, например, выбрав вместо (17) класс изображений
(17*)
в котором в (3).
Поскольку в задаче наилучшего приближения f(×) изображениями этого класса предстоит найти , векторы при любом i=1,...,N, можно считать ортогональными, определив
, (*)
из условия минимума невязки по . После этого для каждого i=1,...,N векторы должны быть определены из условия
(**)
при дополнительном условии ортогональности
. Решение этой задачи дается в следующей лемме
Лемма 5. Пусть ортогональные собственные векторы оператора Фi (23), упорядоченные по убыванию собственных значений:
.
Тогда решение задачи (**) дается равенствами .
Доказательство. Заметим, что, поскольку Фi - самосопряженный неотрицательно определенный оператор, его собственные значения неотрицательны, а его собственные векторы всегда можно выбрать так, чтобы они образовали ортогональный базис в Rn. Пусть Pi - ортогонально проецирует в Rn на линейную оболочку собственных векторов и
[Pi Фi Pi] - сужение оператора Pi Фi Pi на . Тогда левая часть (*) равна следу оператора [Pi Фi Pi]
, где - j-ое собственное значение оператора (см., например, [10]). Пусть . Тогда согласно теореме Пуанкаре, [10], , откуда следует утверждаемое в лемме. ■
Воспользовавшись выражениями (*) и леммой 5, найдем, что в рассматриваемом случае имеет место утверждение, аналогичное теореме 3.
Теорема 3*. Наилучшее приближение любого изображения f(×) изображениями (17*) имеет вид
,
Где : ортогональный проектор на линейную оболочку , собственных векторов задачи
.
Невязка наилучшего приближения равна
. n
Рассмотрим теперь задачу наилучшего приближения изображения f(×) изображениями (17), в которых заданы и фиксированы векторы , и надлежит определить измеримое разбиение и функции , как решение задачи
(30)
При любом разбиении минимум в (30) по достигается при , определяемых равенством (20). В свою очередь, очевидно, что
(31)
где точки , в которых выполняется равенство могут быть произвольно включены в одно из множеств : либо в , либо в . Это соглашение отмечено звездочкой в (31).
Таким образом доказана
Теорема 6. Пусть заданные векторы Rn. Решением задачи (30) является изображение
,
где ортогональный проектор определен равенством (25), а - индикаторная функция множества (31), i=1,...,N. Невязка наилучшего приближения равна
. n
Замечание 5. Так как при
,
то условия (31), определяющие разбиение , можно записать в виде
, (32)
показывающем, что множество в (32) инвариантно относительно любого преобразования изображения , не изменяющего его цвет.
Теоремы 3 и 6 позволяют сформулировать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f(×) изображениями (17), при котором должны быть найдены и ci0 , i=1,...,N, такие, что