Реферат: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

            Итак, пусть в согласии с леммой 3

 ,                                        (5)

где,  - индикаторная функция Ai, , функция gi(×) задает распределение яркости

                                                              (6)

в пределах Ai  при постоянном цвете

,  i=1,...,N,                       (7)

причем для изображения (5) цвета j(i), i=1,.…..,N, считаются попарно различными, а функции  g(i), i=1,.…..,N, - удовлетворяющими условиям  i=1,.…..,N.

            Нетрудно заметить, что в выражениях (5),(6) и (7) без потери общности можно принять условие нормировки   , позволяющее упростить выражения (6) и (7)  для распределений яркости и цвета. С учетом нормировки распределение яркости на Ai задается функцией  а цвет на Ai равен

                            (7*)

            Форму изображения (5) определим как класс всех изображений

                                              (8)

,                                                    

каждое из которых, как и изображение (5), имеет постоянный цвет в пределах каждого Ai, i=1,...,N. Форма таких изображений не сложнее, чем форма f(×) (5), поскольку в изображении  на некоторых различных подмножествах Ai, i=1,...,N, могут совпадать значения цвета, которые непременрно различны в изображении f(×) (5). Совпадение цвета  на различных подмножествах Ai, i=1,...,N ведет к упрощению формы изображения  по сравнению с формой f(×)  (5). Все изображения , имеющие различный цвет на различных Ai, i=1,...,N, считаются изоморфными f(×) (и между собой), форма остальных не сложнее, чем форма f(×). Если , то, очевидно, .

            Если в (8) яркость , то цвет  на Ai считается произвольным (постоянным), если же  в точках некоторого подмножества , то цвет  на Ai считается равным цвету  на , i=1,...,N.

            Цвет изображения (8) может не совпадать с цветом (5). Если же по условию задачи все изображения , форма которых не сложнее, чем форма , должны иметь на Ai, i=1,...,N, тот же цвет, что и у  то следует потребовать, чтобы , в то время, как яркости  остаются произвольными (если , то цвет  на Ai определяется равным цвету f(×) на Ai, i=1,...,N).

            Нетрудно определить форму любого, не обязательно мозаичного, изображения f(×) в том случае, когда допустимы произвольные изменения яркости  при неизменном цвете j(x) в каждой точке . Множество, содержащее все такие изображения

                                                  (9)

назовем формой в широком смысле изображения , у которого f(x)¹0, m-почти для всех , [ср. 2].  является линейным подпространством , содержащем любую форму

,                                       (10)

в которой включение определяет допустимые значения яркости. В частности, если означает, что яркость неотрицательна: , то  - выпуклый замкнутый конус в , принадлежащий .

            Более удобное описание формы изображения может быть получено на основе методов аппроксимации цветных изображений, в которых форма определяется как оператор наилучшего приближения. В следующем параграфе дано представление формы изображения в виде оператора наилучшего приближения.

5. Задачи аппроксимации цветных изображений. Форма как оператор наилучшего приближения.

            Рассмотрим вначале задачи приближения кусочно-постоянными (мозаичными)  изображениями. Решение этих задач позволит построить форму изображения  в том случае, когда считается, что   для любого преобразования , действующего на изображение  как на вектор  в каждой точке  и оставляющего  элементом , т.е. изображением. Форма в широком смысле  определяется как оператор  наилучшего приближения изображения  изображениями

                 

где - класс преобразований , такой, что . Иначе можно считать, что

                                                                (10*)

а  - оператор наилучшего приближения элементами множества , форма которых не сложнее, чем форма . Характеристическим для  является тот факт, что, если f(x)=f(y), то для любого .

5.1. Приближение цветного изображения изображениями, цвет и яркость которых постоянны на подмножествах разбиения  поля зрения X.

            Задано разбиение , требуется определить яркость и цвет наилучшего приближения на каждом . Рассмотрим задачу наилучшего приближения в  цветного изображения f(×) (2) изображениями (4), в которых считается заданным разбиение  поля зрения X  и требуется определить  из условия

                           (11)

            Теорема 1.  Пусть . Тогда решение задачи (11) имеет вид

,  i=1,...,N,  j=1,...,n,                                  (12)

и искомое изображение (4) задается равенством

 .                (13)

Оператор  является ортогональным проектором на линейное подпространство (4****)  изображений (4), яркости и цвета которых не изменяются в пределах каждого Ai , i=1,...,N.

            Черно-белый вариант  (4*) цветного изображения (4) является наилучшей в  аппроксимацией черно-белого варианта  цветного изображения f(×) (2), если цветное изображение (4) является наилучшей в  аппроксимацией цветного изображения f(×) (2). Оператор , является ортогональным проектором на линейное подпространство черно-белых изображений, яркость которых постоянна в пределах каждого .

В точках множества  цвет (4**) наилучшей аппроксимации (4) цветного изображения f(×) (2) является цветом аддитивной смеси составляющих f(×) излучений, которые попадают на .

Доказательство.     Равенства (12) - условия минимума положительно определенной квадратичной формы (11), П - ортогональный проектор, поскольку в задаче (11) наилучшая аппроксимация - ортогональная проекция f(×) на . Второе утверждение следует из равенства

, вытекающего из (13). Последнее утверждение следует из равенств

,i=1,...,N вытекающих из (12) и равенства (1), в котором индекс k следует заменить на xÎX.   ■

            Замечание 1. Для любого измеримого разбиения  ортогональные проекторы  и  определяют соответственно форму в широком смысле цветного изображения (4), цвет и яркость которого, постоянные в пределах каждого , различны для различных , ибо , и форму в широком смысле черно-белого изображения, яркость которого постоянна на каждом  и различна для разных ,[2].

Если учесть, условие физичности (2*), то формой цветного изображения следует считать проектор  на выпуклый замкнутый конус  (4***)

Аналогично формой черно-белого изображения следует считать проектор  на выпуклый замкнутый конус изображений (4*), таких, что  [2]. Дело в том, что оператор   определяет форму   изображения (4), а именно

 - множество собственных функций оператора . Поскольку  f(×) - наилучшее приближение изображения  изображениями из , для любого изображения  из  и только для таких - . Поэтому проектор  можно отождествить с формой изображения (4).

            Аналогично для черно-белого изображения a(×)

,[7] [2]. И проектор  можно отождествить с формой изображения (4*), как это сделано в работах [2,3].

            Примечания.

            Формы в широком смысле не определяются связью задач наилучшего приближения элементами  и , которая известна как транзитивность проецирования. Именно, если  оператор наилучшего в  приближения злементами выпуклого замкнутого (в  и в ) конуса , то  . Иначе говоря, для определения наилучшего в  приближения  элементами  можно вначале найти ортогональную проекцию  изображения  на , а затем  спроецировать в  на . При этом конечномерный проектор  для каждого конкретного конуса  может быть реализован методом динамического программирования, а для многих задач морфологического анализа изображений достаточным оказывается использование лишь проектора П .

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7