Быстрый поиск

Реферат: Математика и физика в средней школе

С понятием «вектор» учащиеся знакомятся на уроках геометрии на примере параллельного переноса [9].

Параллельный перенос – это отражение плоскости на себя, при котором все её точки отображаются в одном и то же направлении на одно и тоже расстояние. Параллельный перенос, который иначе называют вектором, отображает точку А в точку В (рис. 2.1.),точку А1 в точку В1 и т. д. Это записывается так: В=Т(А)=(А), и т. д. Один и тот же перенос Т (вектор) можно задать при помощи эквивалентных пар точек (А,В)~(А1,В1)~…~(Аn,Bn). Следовательно, для задания параллельного переноса достаточно взять любую пару точек из класса эквивалентных пар. Если вектор задается точками А и В, то его обозначают . Направленные отрезки и (см. рис.2.1) изображают один и тот же перенос

Определение вектора, которое дается в школьном курсе геометрии, позволяет логически последовательно изучить все операции над векторами: сложение, вычитание, умножение на число и др. Например под суммой двух векторов и понимают отображение плоскости на себя, являющееся результатом последовательного выполнения отображений и (см. рис.2.2).

Рис 2.1

Рис 2.2

Вектор отображает точку А в точку В, а вектор - точку В в точку С. Вектор , являющийся суммой векторов и , отображает точку А в точку С.

направленные отрезки АВ, ВС и АС удовлетворяют правилу треугольника.

Представление о направленном отрезке позволяет перейти к введению физических векторных величин, которые так же, как и параллельный перенос, изображаются направленными отрезками.

В 9 классе учащиеся на уроках математике приобретают необходимые навыки выполнения операций над векторами, которые облегчают изучение механики на векторной основе. Однако порой школьники затрудняются выполнять действия по преобразованию векторных уравнений: переносить слагаемые из одной части уравнения в другую, умножать левую и правую части уравнения на число. Для того чтобы они на уроках физики могли вполне сознательно производить действия с векторными уравнениями, целесообразно договориться с учителем геометрии, чтобы он уделил больше внимания выполнению действий по преобразованию векторных соотношений, например: [8] «По двум коллинеарным векторам , входящим в выражение:

найти и построить вектор », и др.

Наиболее подходящей величиной для введения векторов и операций над ними является перемещение с его «естественным» правилом сложения.

Преступая к объяснению материала о перемещении, учитель физики должен иметь в виду, что в понятие «перемещение» математики вкладывают другой смысл: перемещение в геометрии – это математическое преобразование. С эти понятием учащиеся знакомятся на уроках геометрии на примере параллельного переноса, поворота, осевой симметрии.

Перемещение в физике представляет собой более узкое понятие. Вектор перемещения вводится при рассмотрении движения материальной точки или поступательного движения твёрдого тела. При таком движении все точки тела движутся одинаково. Перемещению при поступательном движении тела в механике соответствует параллельный перенос в геометрии. Следовательно, перемещение есть не что иное, как геометрический вектор .

Следует иметь в виду, что вектор можно определить, не прибегая к геометрической интерпретации, не строя направленных отрезков. Вектор в пространстве при выбранной системе координат определяется тремя числами (проекциями вектора), вектор на плоскости – двумя числами. При сложении векторов () их проекции складываются (s1x+s2x), при вычитании векторов () их проекции вычитаются, при умножении вектора на число , проекция вектора так же умножается на число ksx и т. д.

На уроках физики следует обратить внимание на понятие проекции вектора, теорему о проекциях, формулу .

В начале 9 класса в курсе геометрии после изучения тригонометрических функций (sin(х), cos(x)) вводится понятие координат вектора. Последние определяются так: выбирается координатная плоскость и от начала координат откладывается вектор , точка О является началом вектора, а точка - его концом; координатами вектора называется координаты его конца.

В курсе геометрии вводится формулы, связывающие координаты вектора с его модулем и углом, который вектор составляет с положительным направлением оси абсцисс:

На уроках изучают скалярное произведение векторов (на примере работы). После того как введена формула , следует обратить внимание учащихся на то, что в неё входят модули двух величин.

Для физиков важен распределительный закон , поскольку знание его позволяет сделать важный вывод о том, что работа результирующей силы равна сумме работ составляющих сил.

При решении векторных уравнений наряду с графическим методом используется метод проекций (координатный). Рассмотрим использование данного метода при решении задачи [8]:

Задача 1: Конический маятник массой m вращается в горизонтальной плоскости. Найти угловую скорость вращения и силу натяжения нити, если её длина l, а угол, который она составляет с вертикалью, равен α.

Решение: на маятник действует две силы – сила тяжести и сила упругости нити (см. рис. 2.3)

По II закону Ньютона:

Рис 2.3

От векторной формы записи перейдем к уравнениям в проекциях на оси координат:

Выразив проекции векторов через модули и принимая во внимание, что имеем:

из уравнения (2) получим:

учитывая, что , и подставляя в уравнение (1) найденное значение , вычислим угловую скорость:

§2.2. Векторная величина в средней школе.

Большое место в школьном курсе физике занимают векторные величины. Понятие векторной величины тесно связано с понятием вектора, но не тождественно ему. Векторная величина характеризует какое-либо свойство тела, явления, процесса, существующие реально; её можно измерить. Понятия «измерение вектора» не существует.

Физика оперирует векторными величинами, которые задаются указанием размера и направления в пространстве. Поэтому направленный отрезок является удобным наглядным изображением векторной величины. Операцию построения направленного отрезка MN, для которого равен , можно назвать откладыванием какой-либо векторной величины от точки М [7].

При определении многих физических величин (а также при записях некоторых законов) подчеркивается и векторный характер, в то время как расчет численных значений этих величин выполняется в скалярной форме. В связи с этим возникает необходимость разъяснения учащимся основных приемов и правил перехода от уравнений, записанных в векторной форме, к уравнениям в скалярной форме.

Первые затруднения возникают при записи уравнения кинематики прямолинейного равнопеременного движения. В этом случае [9] для решения основной задачи механики достаточно оперировать двумя уравнениями: уравнением для мгновенной скорости

и уравнением для координаты

где х0 – координата начальной точки, V0x и ax – проекции векторов на ось Х, которая параллельна траектории движения.

Для решения многих задач достаточно знать только численное значение мгновенной скорости, определяемое из соответствующего уравнения в скалярной форме. Для этого нужно уравнения мгновенной скорости записать для её проекции на ось х, т.е.

Таким образом, основная задача механики решается с помощью двух независимых уравнений:

Если начало координат совпадает с начальной точкой движения уравнения упрощаются и принимают вид:

Кроме уравнения координаты вводится также формула для вычисления пути (путь – скалярная величина, равная длине траектории):

Четкое представление о величинах, входящих в уравнения мгновенной скорости и координаты, и об их изменениях с течением времени складывается у учащихся при вычерчивании графиков.

На рисунке 2.4 показано изменения проекций векторов , а также координаты х тела, брошенного вертикально вверх.

Рис 2.4 и 2.5

На рисунке 2.5 изображены графики изменения ускорения и скорости тела по модулю, а также график его пути [7].

Уравнения динамики первоначально также даются в векторной форме. И естественно возникает необходимость перехода к записи их в скалярной форме.

Второй закон Ньютона учащиеся выражают следующим образом [14]: , где - равнодействующая всех сил, приложенных к телу. В некоторых учебных пособиях это же уравнение записывается так:

Для перехода к скалярной форме записи можно рекомендовать следующий прем. Допустим, что к телу приложены две силы и . Тогда телу сообщается ускорение , направленное в сторону равнодействующей (рис.2.6):

Рис 2.6.

Если спроецировать вектора и на произвольную ось х, то, учитывая пропорциональность отрезков, отсеченных на сторонах угла параллельными прямыми, можно записать:

Откуда , где - проекция равнодействующей на ось х.

Из рисунка 2.6 также видно, что проекция равнодействующей равно сумме проекций приложенных сил, то есть

следовательно, .

Последнее уравнение выражает очень важное следствие: сумма проекций сил, приложенных к телу, по любой оси равна произведению массы тела на проекцию ускорения по этой же оси.

В практике средней школы встречаются физические задачи, которые сводятся к нахождению решений системы уравнений, из которых одни есть уравнения динамики, а другие – кинематики. Если в задаче рассматривается равноускоренное движение, то её решение не зависит от того, проекции или модули векторов входят в уравнения кинематики. Если же в задаче рассматривается равнозамедленное движение, то необходимо предварительно выразить все уравнения системы через однородные величины, то есть через модули соответствующих векторов. В этом случае формула скорости имеет вид , формула пути будет, а формула выразится так .

Несоблюдение этого правила часто приводит к ошибочным решениям. Рассмотрим это на примере следующей задачи (задача №4 из упр. 17 учебника для 9 класса):

«Конькобежец, масса которого равна 50 кг, после разгона скользит по льду, пройдя до остановки 40 м. Сила трения постоянна и равна 10 Н. Сколько времени продолжается торможение?»

рис 2.7

Выполнив чертеж, обращаем внимание учащихся на то, что к конькобежцу приложены три силы: сила тяжести , сила реакции (направленная нормально поверхности движения конькобежца) и сила сопротивления . Рассмотрим проекции этих сил на вертикальную ось y и запишем соответствующее уравнение динамики: